Title: Die Grundlagen der Arithmetik - Eine logische mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl
Author: Frege, Gottlob
Language: German
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    Anmerkungen zur Transkription


    Im Original gesperrter Text ist _so ausgezeichnet_.

    Im Original fett gesetzter Text ist =so ausgezeichnet=.

    Die Bezeichnung a^{b} bedeutet die b-te Potenz von a.

    Der Text enthält akzentuierte griechische Buchstaben und
    mathematische Sonderzeichen, die nicht in jedem Zeichensatz
    erhalten sind.

    Weitere Anmerkungen finden sich am Ende des Buches.



    Die
    Grundlagen der Arithmetik.

    Eine logisch mathematische Untersuchung
    _über den Begriff der Zahl_

    von

    Dr. G. Frege,
    a. o. Professor an der Universität Jena.

    BRESLAU.
    _Verlag von Wilhelm Koebner._
    1884.



Inhalt.


                                                                   Seite

    § 1.   In der Mathematik ist in neuerer Zeit ein auf der Strenge
           der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes
           Bestreben erkennbar.                                        1

    § 2.   Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff
           der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises.                  2

    § 3.   Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die
           Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder
           synthetische Wahrheiten, apriori oder aposteriori sind.
           Sinn dieser Ausdrucke.                                      3

    § 4.   Die Aufgabe dieses Buches.                                  4


           I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der
           arithmetischen Sätze.

           _Sind die Zahlformeln beweisbar?_

    § 5.   Kant verneint dies, was Hankel mit Recht paradox nennt.     5

    § 6.   Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke.
           Grassmanns Definition von a + b ist fehlerhaft.             7

    § 7.   Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen
           beobachtete Thatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen
           folgen, ist unbegründet.                                    9

    § 8.   Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die
           Beobachtung jener Thatsachen nicht erforderlich.           11


           _Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?_

    § 9.   Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten
           Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren
           Anwendungen.                                               12

    § 10.  Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze inductive
           Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben
           nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer
           Eigenschaften der Zahlen; die Induction ist wahrscheinlich
           umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen.                   14

    § 11.  Leibnizens »Eingeboren«.                                   17


           _Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch-apriori oder
           analytisch?_

    § 12.  Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Die innere Anschauung
           als Erkenntnissgrund.                                      17

    § 13.  Unterschied von Arithmetik und Geometrie                   19

    § 14.  Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen
           beherrschte Gebiet                                         20

    § 15.  Ansichten von Leibniz und St. Jevons                       21

    § 16.  Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens
           der Sprache.« Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie
           nichts Wahrnehmbares bedeuten                              22

    § 17.  Unzulänglichkeit der Induction. Vermuthung, dass die
           Zahlgesetze analytische Urtheile sind; worin dann ihr
           Nutzen besteht. Werthschätzung der analytischen Urtheile.  23


           II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der
           Anzahl.

    § 18.  Notwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl zu
           untersuchen.                                               24

    § 19.  Die Definition darf nicht geometrisch sein.                25

    § 20.  Ist die Zahl definirbar? Hankel. Leibniz.                  26


           _Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äussern Dinge?_

    § 21.  Meinungen von M. Cantor und E. Schröder                    27

    § 22.  Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen
           Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer
           Auffassung ab                                              28

    § 23.  Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des
           Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar                    29

    § 24.  Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke.
           Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die
           Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem
           beigelegt werden                                           30

    § 25.  Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach
           Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen,
           sondern durch den Geist geschaffen                         32


           _Ist die Zahl etwas Subjectives?_

    § 26.  Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht
           und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl
           ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas
           Objectives                                                 33

    § 27.  Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will, Vorstellung der
           Stelle eines Objects in einer Reihe                        36


           _Die Anzahl als Menge._

    § 28.  Thomaes Namengebung                                        38


           III. Meinungen über Einheit und Eins.

           _Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von
           Gegenständen aus?_

    § 29.  Vieldeutigkeit der Ausdrücke »μονάς« und »Einheit.« E.
           Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden
           Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjectiv »Ein«
           enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Praedicat
           dienen                                                     39

    § 30.  Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann
           scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen   41

    § 31.  Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit.
           Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objecte
           zugeführt (Locke)                                          41

    § 32.  Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der
           Ungetheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der
           Sinn verschoben wird                                       42

    § 33.  Die Untheilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit
           nicht haltbar                                              43


           _Sind die Einheiten einander gleich?_

    § 34.  Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit.« E.
           Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraction von den
           Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff
           der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander
           gleich                                                     44

    § 35.  Die Verschiedenheit ist sogar nothwendig, wenn von
           Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder.
           St. Jevons                                                 46

    § 36.  Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stösst
           auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei
           St. Jevons                                                 46

    § 37.  Lockes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der
           Einheit oder Eins                                          48

    § 38.  »Eins« ist Eigenname, »Einheit« Begriffswort. Zahl kann
           nicht als Einheiten definirt werden. Unterschied von
           »und« und +                                                48

    § 39.  Die Schwierigkeit, Gleichheit und Unterscheidbarkeit der
           Einheiten zu versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von
           »Einheit« verdeckt                                         50


           _Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden._

    § 40.  Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens. Hobbes.
           Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St. Jevons              51

    § 41.  Der Zweck wird nicht erreicht                              53

    § 42.  Die Stelle in einer Reihe als Mittel des Unterscheidens.
           Hankels Setzen                                             54

    § 43.  Schröders Abbildung der Gegenstände durch das Zeichen 1    54

    § 44.  Jevons Abstrahiren vom Charakter der Unterschiede mit
           Festhaltung ihres Vorhandenseins. Die 0 und die 1 sind
           Zahlen wie die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen   55


           _Lösung der Schwierigkeit._

    § 45.  Rückblick                                                  58

    § 46.  Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe.
           Einwand, dass bei unverändertem Begriffe die Zahl sich
           ändere                                                     59

    § 47.  Die Thatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der
           Objectivität des Begriffes                                 60

    § 48.  Auflösung einiger Schwierigkeiten                          61

    § 49.  Bestätigung bei Spinoza                                    62

    § 50.  E. Schröders Ausführung                                    62

    § 51.  Berichtigung derselben                                     63

    § 52.  Bestätigung in einem deutschen Sprachgebrauche             64

    § 53.  Unterschied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines
           Begriffes. Existenz und Zahl                               64

    § 54.  Einheit kann man das Subject einer Zahlangabe nennen.
           Untheilbarkeit und Abgegrenztheit der Einheit. Gleichheit
           und Unterscheidbarkeit                                     65


           IV. Der Begriff der Anzahl.

           _Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand._

    § 55.  Versuch, die leibnizischen Definitionen der einzelnen
           Zahlen zu ergänzen                                         67

    § 56.  Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie
           eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Theil ist  67

    § 57.  Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen
           anzusehen                                                  68

    § 58.  Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines
           selbständigen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt
           unvorstellbar                                              69

    § 59.  Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung
           auszuschliessen, weil er unvorstellbar ist                 70

    § 60.  Selbst concrete Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man
           muss die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer
           Bedeutung fragt                                            71

    § 61.  Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder
           objective Gegenstand ist räumlich                          72


           _Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn
           einer Zahlengleichung feststellen._

    § 62.  Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit   73

    § 63.  Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches.
           Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall
           besonders erklärt wird                                     73

    § 64.  Beispiele für ein ähnliches Verfahren: die Richtung, die
           Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks           74

    § 65.  Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den
           Gesetzen der Gleichheit genügt wird                        76

    § 66.  Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist
           unzureichend                                               77

    § 67.  Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, dass man
           zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein
           Gegenstand eingeführt ist                                  78

    § 68.  Die Anzahl als Umfang eines Begriffes                      79

    § 69.  Erläuterung                                                80


           _Ergänzung und Bewährung unserer Definition._

    § 70.  Der Beziehungsbegriff                                      81

    § 71.  Die Zuordnung durch eine Beziehung                         83

    § 72.  Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl   84

    § 73.  Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der
           Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt, wenn es eine
           Beziehung giebt, welche die unter F fallenden Gegenstände,
           den unter G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet       83

    § 74.  Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst
           ungleich« zukommt                                          86

    § 75.  Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter
           den nichts fällt. Kein Gegenstand fällt unter einen
           Begriff, wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist        88

    § 76.  Erklärung des Ausdrucks »n folgt in der natürlichen
           Zahlenreihe unmittelbar auf m.«                            89

    § 77.  1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt   90

    § 78.  Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisen sind   91

    § 79.  Definition des Folgens in einer Reihe                      92

    § 80.  Bemerkungen hierzu. Objectivität des Folgens               92

    § 81.  Erklärung des Ausdrucks »x gehört der mit y endenden
           φ-Reihe an«                                                94

    § 82.  Andeutung des Beweises, dass es kein letztes Glied der
           natürlichen Zahlenreihe giebt                              94

    § 83.  Definition der endlichen Anzahl. Keine endliche Anzahl
           folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber       95


           _Unendliche Anzahlen._

    § 84.  Die Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl«
           zukommt, ist eine unendliche                               96

    § 85.  Die cantorschen unendlichen Anzahlen; »Mächtigkeit«.
           Abweichung in der Benennung                                97

    § 86.  Cantors Folgen in der Succession und mein Folgen in der
           Reihe                                                      98


           V. Schluss.

    § 87.  Die Natur der arithmetischen Gesetze                       99

    § 88.  Kants Unterschätzung der analytischen Urtheile             99

    § 89.  Kants Satz: »Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand
           gegeben werden«. Kants Verdienst um die Mathematik        101

    § 90.  Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der
           arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlusskette 102

    § 91.  Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift
           möglich                                                   103


           _Andere Zahlen._

    § 92.  Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach
           Hankel                                                    104

    § 93.  Die Zahlen sind weder räumlich ausser uns noch subjectiv  105

    § 94.  Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verbürgt nicht,
           dass etwas unter ihn falle, und bedarf selbst des
           Beweises                                                  105

    § 95.  Man darf nicht ohne Weiteres (c - b) als ein Zeichen
           ansehn, das die Subtractionsaufgabe löst                  106

    § 96.  Auch der Mathematiker kann nicht willkührlich etwas
           schaffen                                                  107

    § 97.  Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden           108

    § 98.  Hankels Erklärung der Addition                            108

    § 99.  Mangelhaftigkeit der formalen Theorie                     109

    § 100. Versuch, complexe Zahlen dadurch nachzuweisen, dass
           die Bedeutung der Multiplication in besonderer Weise
           erweitert wird                                            110

    § 101. Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für die
           Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig                   111

    § 102. Die blosse Forderung, es solle eine Operation ausführbar
           sein, ist nicht ihre Erfüllung                            111

    § 103. Kossaks Erklärung der complexen Zahlen ist nur eine
           Anweisung zur Definition und vermeidet nicht die
           Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische
           Darstellung                                               112

    § 104. Es kommt darauf an, den Sinn eines
           Wiedererkennungsurtheils für die neuen Zahlen
           festzusetzen                                              114

    § 105. Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vernunftcharakter  115

    § 106-109. Rückblick                                         115-119



    Einleitung.


    Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das
    Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten:
    nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam
    macht, dass der Satz

    »die Zahl Eins ist ein Ding«

keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel,
auf der andern der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zahl
Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird
man vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man
Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter diesem Namen
zu verstehen, was er will, so würde derselbe Satz von der Eins für
Verschiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt
solcher Sätze. Einige lehnen vielleicht die Frage mit dem Hinweise
darauf ab, dass auch die Bedeutung des Buchstaben a in der Arithmetik
nicht angegeben werden könne; und wenn man sage: a bedeutet eine Zahl,
so könne hierin derselbe Fehler gefunden werden wie in der Definition:
Eins ist ein Ding. Nun ist die Ablehnung der Frage in Bezug auf a
ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine bestimmte, angebbare Zahl,
sondern dient dazu, die Allgemeinheit von Sätzen auszudrücken. Wenn
man für a in a + a - a = a eine beliebige aber überall dieselbe Zahl
setzt, so erhält man immer eine wahre Gleichung. In diesem Sinne wird
der Buchstabe a gebraucht. Aber bei der Eins liegt die Sache doch
wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 für 1 beidemal
denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint es, dass
wir für die erste 1 etwas Anderes wie für die zweite setzen müssen.
Woran liegt es, dass hier grade das geschehen muss, was in jenem Falle
ein Fehler wäre? Die Arithmetik kommt mit dem Buchstaben a allein nicht
aus, sondern muss noch andere b, c u. s. w. gebrauchen, um Beziehungen
zwischen verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So sollte man
denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht genügen, wenn es in ähnlicher
Weise dazu diente, den Sätzen eine Allgemeinheit zu verleihen. Aber
erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmter Gegenstand mit angebbaren
Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multiplicirt unverändert zu
bleiben? In diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften angeben;
denn was von a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigenschaft der
Zahlen, während 1¹ = 1 weder vom Monde etwas aussagt, noch von der
Sonne, noch von der Sahara, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte
der Sinn einer solchen Aussage sein?

Auf solche Fragen werden wohl auch die meisten Mathematiker keine
genügende Antwort bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschaft
beschämend, so im Unklaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so
einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen können, was
Zahl sei. Wenn ein Begriff, der einer grossen Wissenschaft zu Grunde
liegt, Schwierigkeiten darbietet, so ist es doch wohl eine unabweisbare
Aufgabe, ihn genauer zu untersuchen und diese Schwierigkeiten zu
überwinden, besonders da es schwer gelingen möchte, über die negativen,
gebrochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen, solange
noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik
mangelhaft ist.

Viele werden das freilich nicht der Mühe werth achten. Dieser Begriff
ist ja, wie sie meinen, in den Elementarbüchern hinreichend behandelt
und damit für das ganze Leben abgethan. Wer glaubt denn über eine so
einfache Sache noch etwas lernen zu können! Für so frei von jeder
Schwierigkeit hält man den Begriff der positiven ganzen Zahl, dass
er für Kinder wissenschaftlich erschöpfend behandelt werden könne,
und dass Jeder ohne weiteres Nachdenken und ohne Bekanntschaft mit
dem, was Andere gedacht haben, genau von ihm Bescheid wisse. So
fehlt denn vielfach jene erste Vorbedingung des Lernens: das Wissen
das Nichtwissens. Die Folge ist, dass man sich noch immer mit einer
rohen Auffassung begnügt, obwohl schon _Herbart_[1] eine richtigere
gelehrt hat. Es ist betrübend und entmuthigend, dass in dieser Weise
eine Erkenntniss immer wieder verloren zu gehen droht, die schon
errungen war, dass so manche Arbeit vergeblich zu werden scheint,
weil man im eingebildeten Reichthume nicht nöthig zu haben glaubt,
sich ihre Früchte anzueignen. Auch diese Arbeit, sehe ich wohl, ist
solcher Gefahr ausgesetzt. Jene Roheit der Auffassung tritt mir
entgegen, wenn das Rechnen aggregatives, mechanisches Denken genannt
wird[2]. Ich bezweifle, dass es ein solches Denken überhaupt giebt.
Aggregatives Vorstellen könnte man schon eher gelten lassen; aber es
ist für das Rechnen ohne Bedeutung. Das Denken ist im Wesentlichen
überall dasselbe: es kommen nicht je nach dem Gegenstande verschiedene
Arten von Denkgesetzen in Betracht. Die Unterschiede bestehen nur
in der grösseren oder geringeren Rauheit und Unabhängigkeit von
psychologischen Einflüssen und von äussern Hilfen des Denkens wie
Sprache, Zahlzeichen und dgl., dann etwa noch in der Feinheit
des Baues der Begriffe; aber grade in dieser Rücksicht möchte die
Mathematik von keiner Wissenschaft, selbst der Philosophie nicht,
übertroffen werden.

Man wird aus dieser Schrift ersehen können, dass auch ein scheinbar
eigenthümlich mathematischer Schluss wie der von n auf n + 1 auf den
allgemeinen logischen Gesetzen beruht, dass es besondrer Gesetze des
aggregativen Denkens nicht bedarf. Man kann freilich die Zahlzeichen
mechanisch gebrauchen, wie man papageimässig sprechen kann; aber Denken
möchte das doch kaum zu nennen sein. Es ist nur möglich, nachdem durch
wirkliches Denken die mathematische Zeichensprache so ausgebildet ist,
dass sie, wie man sagt, für einen denkt. Dies beweist nicht, dass die
Zahlen in einer besonders mechanischen Weise, etwa wie Sandhaufen aus
Quarzkörnern gebildet sind. Es liegt, denke ich, im Interesse der
Mathematiker einer solchen Ansicht entgegenzutreten, welche einen
hauptsächlichen Gegenstand ihrer Wissenschaft und damit diese selbst
herabzusetzen geeignet ist. Aber auch bei Mathematikern findet man
ganz ähnliche Aussprüche. Im Gegentheil wird man dem Zahlbegriffe
einen feineren Bau zuerkennen müssen als den meisten Begriffen andrer
Wissenschaften, obwohl er noch einer der einfachsten arithmetischen ist.

Um nun jenen Wahn zu widerlegen, dass in Bezug auf die positiven
ganzen Zahlen eigentlich gar keine Schwierigkeiten obwalten, sondern
allgemeine Uebereinstimmung herrsche, schien es mir gut, einige
Meinungen von Philosophen und Mathematikern über die hier in Betracht
kommenden Fragen zu besprechen. Man wird sehn, wie wenig von Einklang
zu finden ist, sodass geradezu entgegengesetzte Aussprüche vorkommen.
Die Einen sagen z. B.: »die Einheiten sind einander gleich«, die
Andern halten sie für verschieden, und beide haben Gründe für ihre
Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen. Hierdurch
suche ich das Bedürfniss nach einer genaueren Untersuchung zu wecken.
Zugleich will ich durch die vorausgeschickte Beleuchtung der von Andern
ausgesprochenen Ansichten meiner eignen Auffassung den Boden ebnen,
damit man sich vorweg überzeuge, dass jene andern Wege nicht zum Ziele
führen, und dass meine Meinung nicht eine von vielen gleichberechtigten
ist; und so hoffe ich die Frage wenigstens in der Hauptsache endgiltig
zu entscheiden.

Freilich sind meine Ausführungen hierdurch wohl philosophischer
geworden, als vielen Mathematikern angemessen scheinen mag; aber
eine gründliche Untersuchung des Zahlbegriffes wird immer etwas
philosophisch ausfallen müssen. Diese Aufgabe ist der Mathematik und
Philosophie gemeinsam.

Wenn das Zusammenarbeiten dieser Wissenschaften trotz mancher Anläufe
von beiden Seiten nicht ein so gedeihliches ist, wie es zu wünschen
und wohl auch möglich wäre, so liegt das, wie mir scheint, an dem
Ueberwiegen psychologischer Betrachtungsweisen in der Philosophie,
die selbst in die Logik eindringen. Mit dieser Richtung hat die
Mathematik gar keine Berührungspunkte, und daraus erklärt sich leicht
die Abneigung vieler Mathematiker gegen philosophische Betrachtungen.
Wenn z. B. _Stricker_[3] die Vorstellungen der Zahlen motorisch,
von Muskelgefühlen abhängig nennt, so kann der Mathematiker seine
Zahlen darin nicht wiedererkennen und weiss mit einem solchen Satze
nichts anzufangen. Eine Arithmetik, die auf Muskelgefühle gegründet
wäre, würde gewiss recht gefühlvoll, aber auch ebenso verschwommen
ausfallen wie diese Grundlage. Nein, mit Gefühlen hat die Arithmetik
gar nichts zu schaffen. Ebensowenig mit innern Bildern, die aus Spuren
früherer Sinneseindrücke zusammengeflossen sind. Das Schwankende und
Unbestimmte, welches alle diese Gestaltungen haben, steht im starken
Gegensatze zu der Bestimmtheit und Festigkeit der mathematischen
Begriffe und Gegenstände. Es mag ja von Nutzen sein, die Vorstellungen
und deren Wechsel zu betrachten, die beim mathematischen Denken
vorkommen; aber die Psychologie bilde sich nicht ein, zur Begründung
der Arithmetik irgendetwas beitragen zu können. Dem Mathematiker als
solchem sind diese innern Bilder, ihre Entstehung und Veränderung
gleichgiltig. _Stricker_ sagt selbst, dass er sich beim Worte
»Hundert« weiter nichts vorstellt als das Zeichen 100. Andere mögen
sich den Buchstaben C oder sonst etwas vorstellen; geht daraus nicht
hervor, dass diese innern Bilder in unserm Falle für das Wesen der
Sache vollkommen gleichgiltig und zufällig sind, ebenso zufällig wie
eine schwarze Tafel und ein Stück Kreide, dass sie überhaupt nicht
Vorstellungen der Zahl Hundert zu heissen verdienen? Man sehe doch
nicht das Wesen der Sache in solchen Vorstellungen! Man nehme nicht die
Beschreibung, wie eine Vorstellung entsteht, für eine Definition und
nicht die Angabe der seelischen und leiblichen Bedingungen dafür, dass
uns ein Satz zum Bewusstsein kommt, für einen Beweis und verwechsele
das Gedachtwerden eines Satzes nicht mit seiner Wahrheit! Man muss, wie
es scheint, daran erinnern, dass ein Satz ebensowenig aufhört, wahr
zu sein, wenn ich nicht mehr an ihn denke, wie die Sonne vernichtet
wird, wenn ich die Augen schliesse. Sonst kommen wir noch dahin, dass
man beim Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes es nöthig findet, des
Phosphorgehaltes unseres Gehirnes zu gedenken, und dass ein Astronom
sich scheut, seine Schlüsse auf längst vergangene Zeiten zu erstrecken,
damit man ihm nicht einwende: »du rechnest da 2 ∙ 2 = 4; aber die
Zahlvorstellung hat ja eine Entwickelung, eine Geschichte! Man kann
zweifeln, ob sie damals schon so weit war. Woher weisst du, dass in
jener Vergangenheit dieser Satz schon bestand? Könnten die damals
lebenden Wesen nicht den Satz 2 ∙ 2 = 5 gehabt haben, aus dem sich
erst durch natürliche Züchtung im Kampf ums Dasein der Satz 2 ∙ 2 = 4
entwickelt hat, der seinerseits vielleicht dazu bestimmt ist, auf
demselben Wege sich zu 2 ∙ 2 = 3 fortzubilden?« Est modus in rebus,
sunt certi denique fines! Die geschichtliche Betrachtungsweise, die
das Werden der Dinge zu belauschen und aus dem Werden ihr Wesen zu
erkennen sucht, hat gewiss eine grosse Berechtigung; aber sie hat auch
ihre Grenzen. Wenn in dem beständigen Flusse aller Dinge nichts Festes,
Ewiges beharrte, würde die Erkennbarkeit der Welt aufhören und Alles in
Verwirrung stürzen. Man denkt sich, wie es scheint, dass die Begriffe
in der einzelnen Seele so entstehen, wie die Blätter an den Bäumen und
meint ihr Wesen dadurch erkennen zu können, dass man ihrer Entstehung
nachforscht und sie aus der Natur der menschlichen Seele psychologisch
zu erklären sucht. Aber diese Auffassung zieht Alles ins Subjective und
hebt, bis ans Ende verfolgt, die Wahrheit auf. Was man Geschichte der
Begriffe nennt, ist wohl entweder eine Geschichte unserer Erkenntniss
der Begriffe oder der Bedeutungen der Wörter. Durch grosse geistige
Arbeit, die Jahrhunderte hindurch andauern kann, gelingt es oft erst,
einen Begriff in seiner Reinheit zu erkennen, ihn aus den fremden
Umhüllungen herauszuschälen, die ihn dem geistigen Auge verbargen. Was
soll man nun dazu sagen, wenn jemand, statt diese Arbeit, wo sie noch
nicht vollendet scheint, fortzusetzen, sie für nichts achtet, in die
Kinderstube geht oder sich in ältesten erdenkbaren Entwickelungsstufen
der Menschheit zurückversetzt, um dort wie _J. St. Mill_ etwa eine
Pfefferkuchen- oder Kieselsteinarithmetik zu entdecken! Es fehlt nur
noch, dem Wohlgeschmacke des Kuchens eine besondere Bedeutung für den
Zahlbegriff zuzuschreiben. Dies ist doch das grade Gegentheil eines
vernünftigen Verfahrens und jedenfalls so unmathematisch wie möglich.
Kein Wunder, dass die Mathematiker nichts davon wissen wollen! Statt
eine besondere Reinheit der Begriffe da zu finden, wo man ihrer Quelle
nahe zu sein glaubt, sieht man Alles verschwommen und ungesondert
wie durch einen Nebel. Es ist so, als ob jemand, um Amerika kennen
zu lernen, sich in die Lage des Columbus zurückversetzen wollte, als
er den ersten zweifelhaften Schimmer seines vermeintlichen Indiens
erblickte. Freilich beweist ein solcher Vergleich nichts; aber er
verdeutlicht hoffentlich meine Meinung. Es kann ja sein, dass die
Geschichte der Entdeckungen in vielen Fällen als Vorbereitung für
weitere Forschungen nützlich ist; aber sie darf nicht an deren Stelle
treten wollen.

Dem Mathematiker gegenüber, wäre eine Bekämpfung solcher Auffassungen
wohl kaum nöthig gewesen; aber da ich auch für die Philosophen die
behandelten Streitfragen möglichst zum Austrage bringen wollte, war ich
genöthigt, mich auf die Psychologie ein wenig einzulassen, wenn auch
nur, um ihren Einbruch in die Mathematik zurückzuweisen.

Uebrigens kommen auch in mathematischen Lehrbüchern psychologische
Wendungen vor. Wenn man eine Verpflichtung fühlt, eine Definition zu
geben, ohne es zu können, so will man wenigstens die Weise beschreiben,
wie man zu dem betreffenden Gegenstande oder Begriffe kommt. Man
erkennt diesen Fall leicht daran, dass im weitern Verlaufe nie mehr auf
eine solche Erklärung zurückgegriffen wird. Für Lehrzwecke ist eine
Hinführung auf die Sache auch ganz am Platze; nur sollte man sie von
einer Definition immer deutlich unterscheiden. Dass auch Mathematiker
Beweisgründe mit innern oder äussern Bedingungen der Führung eines
Beweises verwechseln können, dafür liefert E. _Schröder_[4] ein
ergötzliches Beispiel, indem er unter der Ueberschrift: »Einziges
Axiom« Folgendes darbietet: »Das gedachte Princip könnte wohl das Axiom
der Inhärenz der Zeichen genannt werden. Es giebt uns die Gewissheit,
dass bei allen unsern Entwicklungen und Schlussfolgerungen die Zeichen
in unserer Erinnerung -- noch fester aber am Papiere -- haften« u. s.
w.

So sehr sich nun die Mathematik jede Beihilfe vonseiten der Psychologie
verbitten muss, so wenig kann sie ihren engen Zusammenhang mit der
Logik verleugnen. Ja, ich stimme der Ansicht derjenigen bei, die eine
scharfe Trennung für unthunlich halten. Soviel wird man zugeben,
dass jede Untersuchung über die Bündigkeit einer Beweisführung oder
die Berechtigung einer Definition logisch sein muss. Solche Fragen
sind aber gar nicht von der Mathematik abzuweisen, da nur durch ihre
Beantwortung die nöthige Sicherheit erreichbar ist.

Auch in dieser Richtung gehe ich freilich etwas über das Uebliche
hinaus. Die meisten Mathematiker sind bei Untersuchungen ähnlicher Art
zufrieden, dem unmittelbaren Bedürfnisse genügt zu haben. Wenn sich
eine Definition willig zu den Beweisen hergiebt, wenn man nirgends
auf Widersprüche stösst, wenn sich Zusammenhänge zwischen scheinbar
entlegnen Sachen erkennen lassen und wenn sich dadurch eine höhere
Ordnung und Gesetzmässigkeit ergiebt, so pflegt man die Definition
für genügend gesichert zu halten und fragt wenig nach ihrer logischen
Rechtfertigung. Dies Verfahren hat jedenfalls das Gute, dass man
nicht leicht das Ziel gänzlich verfehlt. Auch ich meine, dass die
Definitionen sich durch ihre Fruchtbarkeit bewähren müssen, durch die
Möglichkeit, Beweise mit ihnen zu führen. Aber es ist wohl zu beachten,
dass die Strenge der Beweisführung ein Schein bleibt, mag auch die
Schlusskette lückenlos sein, wenn die Definitionen nur nachträglich
dadurch gerechtfertigt werden, dass man auf keinen Widerspruch
gestossen ist. So hat man im Grunde immer nur eine erfahrungsmässige
Sicherheit erlangt und muss eigentlich darauf gefasst sein, zuletzt
doch noch einen Widerspruch anzutreffen, der das ganze Gebäude zum
Einsturze bringt. Darum glaubte ich etwas weiter auf die allgemeinen
logischen Grundlagen zurückgehn zu müssen, als vielleicht von den
meisten Mathematikern für nöthig gehalten wird.

Als Grundsätze habe ich in dieser Untersuchung folgende festgehalten:

es ist das Psychologische von dem Logischen, das Subjective von dem
Objectiven scharf zu trennen;

nach der Bedeutung der Wörter muss im Satzzusammenhange, nicht in ihrer
Vereinzelung gefragt werden;

der Unterschied zwischen Begriff und Gegenstand ist im Auge zu behalten.

Um das Erste zu befolgen, habe ich das Wort »Vorstellung« immer im
psychologischen Sinne gebraucht und die Vorstellungen von den Begriffen
und Gegenständen unterschieden. Wenn man den zweiten Grundsatz
unbeachtet lässt, ist man fast genöthigt, als Bedeutung der Wörter
innere Bilder oder Thaten der einzelnen Seele zu nehmen und damit
auch gegen den ersten zu verstossen. Was den dritten Punkt betrifft,
so ist es nur Schein, wenn man meint, einen Begriff zum Gegenstande
machen zu können, ohne ihn zu verändern. Von hieraus ergiebt sich
die Unhaltbarkeit einer verbreiteten formalen Theorie der Brüche,
negativen Zahlen u. s. w. Wie ich die Verbesserung denke, kann ich in
dieser Schrift nur andeuten. Es wird in allen diesen Fällen wie bei
den positiven ganzen Zahlen darauf ankommen, den Sinn einer Gleichung
festzustellen.

Meine Ergebnisse werden, denke ich, wenigstens in der Hauptsache die
Zustimmung der Mathematiker finden, welche sich die Mühe nehmen,
meine Gründe in Betracht zu ziehn. Sie scheinen mir in der Luft zu
liegen und einzeln sind sie vielleicht schon alle wenigstens annähernd
ausgesprochen worden; aber in diesem Zusammenhange mit einander
möchten sie doch neu sein. Ich habe mich manchmal gewundert, dass
Darstellungen, die in Einem Punkte meiner Auffassung so nahe kommen, in
andern so stark abweichen.

Die Aufnahme bei den Philosophen wird je nach dem Standpunkte
verschieden sein, am schlechtesten wohl bei jenen Empirikern, die als
ursprüngliche Schlussweise nur die Induction anerkennen wollen und auch
diese nicht einmal als Schlussweise, sondern als Gewöhnung. Vielleicht
unterzieht Einer oder der Andere bei dieser Gelegenheit die Grundlagen
seiner Erkenntnisstheorie einer erneueten Prüfung. Denen, welche etwa
meine Definitionen für unnatürlich erklären möchten, gebe ich zu
bedenken, dass die Frage hier nicht ist, ob natürlich, sondern ob den
Kern der Sache treffend und logisch einwurfsfrei.

Ich gebe mich der Hoffnung hin, dass bei vorurtheilsloser Prüfung auch
die Philosophen einiges Brauchbare in dieser Schrift finden werden.



§ 1. Nachdem die Mathematik sich eine Zeit lang von der euklidischen
Strenge entfernt hatte, kehrt sie jetzt zu ihr zurück und strebt gar
über sie hinaus. In der Arithmetik war schon infolge des indischen
Ursprungs vieler ihrer Verfahrungsweisen und Begriffe eine laxere
Denkweise hergebracht als in der von den Griechen vornehmlich
ausgebildeten Geometrie. Sie wurde durch die Erfindung der höhern
Analysis nur gefördert; denn einerseits stellten sich einer strengen
Behandlung dieser Lehren erhebliche, fast unbesiegliche Schwierigkeiten
entgegen, deren Ueberwindung andrerseits die darauf verwendeten
Anstrengungen wenig lohnen zu wollen schien. Doch hat die weitere
Entwickelung immer deutlicher gelehrt, dass in der Mathematik eine blos
moralische Ueberzeugung, gestützt auf viele erfolgreiche Anwendungen,
nicht genügt. Für Vieles wird jetzt ein Beweis gefordert, was früher
für selbstverständlich galt. Die Grenzen der Giltigkeit sind erst
dadurch in manchen Fällen festgestellt worden. Die Begriffe der
Function, der Stetigkeit, der Grenze, des Unendlichen haben sich
einer schärferen Bestimmung bedürftig gezeigt. Das Negative und die
Irrationalzahl, welche längst in die Wissenschaft aufgenommen waren,
haben sich einer genaueren Prüfung ihrer Berechtigung unterwerfen
müssen.

So zeigt sich überall das Bestreben, streng zu beweisen, die
Giltigkeitsgrenzen genau zu ziehen und, um dies zu können, die Begriffe
scharf zu fassen.


§ 2. Dieser Weg muss im weitern Verfolge auf den Begriff der Anzahl
und auf die von positiven ganzen Zahlen geltenden einfachsten Sätze
führen, welche die Grundlage der ganzen Arithmetik bilden. Freilich
sind Zahlformeln wie 5 + 7 = 12 und Gesetze wie das der Associativität
bei der Addition durch die unzähligen Anwendungen, die tagtäglich von
ihnen gemacht werden, so vielfach bestätigt, dass es fast lächerlich
erscheinen kann, sie durch das Verlangen nach einem Beweise in Zweifel
ziehen zu wollen. Aber es liegt im Wesen der Mathematik begründet,
dass sie überall, wo ein Beweis möglich ist, ihn der Bewährung durch
Induction vorzieht. Euklid beweist Vieles, was ihm jeder ohnehin
zugestehen würde. Indem man sich selbst an der euklidischen Strenge
nicht genügen liess, ist man auf die Untersuchungen geführt worden,
welche sich an das Parallelenaxiom geknüpft haben.

So ist jene auf grösste Strenge gerichtete Bewegung schon vielfach
über das zunächst gefühlte Bedürfniss hinausgegangen und dieses ist an
Ausdehnung und Stärke immer gewachsen.

Der Beweis hat eben nicht nur den Zweck, die Wahrheit eines Satzes
über jeden Zweifel zu erheben, sondern auch den, eine Einsicht in die
Abhängigkeit der Wahrheiten von einander zu gewähren. Nachdem man
sich von der Unerschütterlichkeit eines Felsblockes durch vergebliche
Versuche, ihn zu bewegen, überzeugt hat, kann man ferner fragen, was
ihn denn so sicher unterstütze. Je weiter man diese Untersuchungen
fortsetzt, auf desto weniger Urwahrheiten führt man Alles zurück; und
diese Vereinfachung ist an sich schon ein erstrebenswerthes Ziel.
Vielleicht bestätigt sich auch die Hoffnung, dass man allgemeine Weisen
der Begriffsbildung oder der Begründung gewinnen könne, die auch in
verwickelteren Fällen verwendbar sind, indem man zum Bewusstsein
bringt, was die Menschen in den einfachsten Fällen instinctiv gethan
haben, und das Allgemeingiltige daraus abscheidet.


§ 3. Mich haben auch philosophische Beweggründe zu solchen
Untersuchungen bestimmt. Die Fragen nach der apriorischen oder
aposteriorischen, der synthetischen oder analytischen Natur der
arithmetischen Wahrheiten harren hier ihrer Beantwortung. Denn, wenn
auch diese Begriffe selbst der Philosophie angehören, so glaube ich
doch, dass die Entscheidung nicht ohne Beihilfe der Mathematik erfolgen
kann. Freilich hangt dies von dem Sinne ab, den man jenen Fragen
beilegt.

Es ist kein seltener Fall, dass man zuerst den Inhalt eines Satzes
gewinnt und dann auf einem andern beschwerlicheren Wege den strengen
Beweis führt, durch den man oft auch die Bedingungen der Giltigkeit
genauer kennen lernt. So hat man allgemein die Frage, wie wir zu dem
Inhalte eines Urtheils kommen, von der zu trennen, woher wir die
Berechtigung für unsere Behauptung nehmen.

Jene Unterscheidungen von apriori und aposteriori, synthetisch und
analytisch betreffen nun nach meiner[5] Auffassung nicht den Inhalt des
Urtheils, sondern die Berechtigung zur Urtheilsfällung. Da, wo diese
fehlt, fällt auch die Möglichkeit jener Eintheilung weg. Ein Irrthum
apriori ist dann ein ebensolches Unding wie etwa ein blauer Begriff.
Wenn man einen Satz in meinem Sinne aposteriori oder analytisch nennt,
so urtheilt man nicht über die psychologischen, physiologischen und
physikalischen Verhältnisse, die es möglich gemacht haben, den Inhalt
des Satzes im Bewusstsein zu bilden, auch nicht darüber, wie ein
Anderer vielleicht irrthümlicherweise dazu gekommen ist, ihn für wahr
zu halten, sondern darüber, worauf im tiefsten Grunde die Berechtigung
des Fürwahrhaltens beruht.

Dadurch wird die Frage dem Gebiete der Psychologie entrückt und dem der
Mathematik zugewiesen, wenn es sich um eine mathematische Wahrheit
handelt. Es kommt nun darauf an, den Beweis zu finden und ihn bis auf
die Urwahrheiten zurückzuverfolgen. Stösst man auf diesem Wege nur auf
die allgemeinen logischen Gesetze und auf Definitionen, so hat man
eine analytische Wahrheit, wobei vorausgesetzt wird, dass auch die
Sätze mit in Betracht gezogen werden, auf denen etwa die Zulässigkeit
einer Definition beruht. Wenn es aber nicht möglich ist, den Beweis zu
führen, ohne Wahrheiten zu benutzen, welche nicht allgemein logischer
Natur sind, sondern sich auf ein besonderes Wissensgebiet beziehen,
so ist der Satz ein synthetischer. Damit eine Wahrheit aposteriori
sei, wird verlangt, dass ihr Beweis nicht ohne Berufung auf Thatsachen
auskomme; d. h. auf unbeweisbare Wahrheiten ohne Allgemeinheit,
die Aussagen von bestimmten Gegenständen enthalten. Ist es dagegen
möglich, den Beweis ganz aus allgemeinen Gesetzen zu führen, die selber
eines Beweises weder fähig noch bedürftig sind, so ist die Wahrheit
apriori.[6]


§ 4. Von diesen philosophischen Fragen ausgehend kommen wir zu
derselben Forderung, welche unabhängig davon auf dem Gebiete der
Mathematik selbst erwachsen ist: die Grundsätze der Arithmetik, wenn
irgend möglich, mit grösster Strenge zu beweisen; denn nur wenn aufs
sorgfältigste jede Lücke in der Schlusskette vermieden wird, kann man
mit Sicherheit sagen, auf welche Urwahrheiten sich der Beweis stützt;
und nur wenn man diese kennt, wird man jene Fragen beantworten können.

Wenn man nun dieser Forderung nachzukommen versucht, so gelangt man
sehr bald zu Sätzen, deren Beweis solange unmöglich ist, als es nicht
gelingt, darin vorkommende Begriffe in einfachere aufzulösen oder auf
Allgemeineres zurückzuführen. Hier ist es nun vor allen die Anzahl,
welche definirt oder als undefinirbar anerkannt werden muss. Das
soll die Aufgabe dieses Buches sein.[7] Von ihrer Lösung wird die
Entscheidung über die Natur der arithmetischen Gesetze abhangen.

Bevor ich diese Fragen selbst angreife, will ich Einiges
vorausschicken, was Fingerzeige für ihre Beantwortung geben kann. Wenn
sich nämlich von andern Gesichtspunkten aus Gründe dafür ergeben,
dass die Grundsätze der Arithmetik analytisch sind, so sprechen
diese auch für deren Beweisbarkeit und für die Definirbarkeit des
Begriffes der Anzahl. Die entgegengesetzte Wirkung werden die Gründe
für die Aposteriorität dieser Wahrheiten haben. Deshalb mögen diese
Streitpunkte zunächst einer vorläufigen Beleuchtung unterworfen werden.



I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen
Sätze.



Sind die Zahlformeln beweisbar?


§ 5. Man muss die Zahlformeln, die wie 2 + 3 = 5 von bestimmten Zahlen
handeln, von den allgemeinen Gesetzen unterscheiden, die von allen
ganzen Zahlen gelten.

Jene werden von einigen Philosophen[8] für unbeweisbar und unmittelbar
klar wie Axiome gehalten. _Kant_[9] erklärt sie für unbeweisbar und
synthetisch, scheut sich aber, sie Axiome zu nennen, weil sie nicht
allgemein sind, und weil ihre Zahl unendlich ist. _Hankel_[10] nennt
mit Recht diese Annahme von unendlich vielen unbeweisbaren Urwahrheiten
unangemessen und paradox. Sie widerstreitet in der That dem Bedürfnisse
der Vernunft nach Uebersichtlichkeit der ersten Grundlagen. Und ist es
denn unmittelbar einleuchtend, dass

            135664 + 37863 = 173527

ist? Nein! und eben dies führt _Kant_ für die synthetische Natur
dieser Sätze an. Es spricht aber vielmehr gegen ihre Unbeweisbarkeit;
denn wie sollen sie anders eingesehen werden als durch einen Beweis,
da sie unmittelbar nicht einleuchten? _Kant_ will die Anschauung von
Fingern oder Punkten zu Hilfe nehmen, wodurch er in Gefahr geräth,
diese Sätze gegen seine Meinung als empirische erscheinen zu lassen;
denn die Anschauung von 37863 Fingern ist doch jedenfalls keine reine.
Der Ausdruck »Anschauung« scheint auch nicht recht zu passen, da
schon 10 Finger durch ihre Stellungen zu einander die verschiedensten
Anschauungen hervorrufen können. Haben wir denn überhaupt eine
Anschauung von 135664 Fingern oder Punkten? Hätten wir sie und hätten
wir eine von 37863 Fingern und eine von 173527 Fingern, so müsste
die Richtigkeit unserer Gleichung sofort einleuchten, wenigstens für
Finger, wenn sie unbeweisbar wäre; aber dies ist nicht der Fall.

_Kant_ hat offenbar nur kleine Zahlen im Sinne gehabt. Dann würden
die Formeln für grosse Zahlen beweisbar sein, die für kleine durch
die Anschauung unmittelbar einleuchten. Aber es ist misslich, einen
grundsätzlichen Unterschied zwischen kleinen und grossen Zahlen zu
machen, besonders da eine scharfe Grenze nicht zu ziehen sein möchte.
Wenn die Zahlformeln etwa von 10 an beweisbar wären, so würde man mit
Recht fragen: warum nicht von 5 an, von 2 an, von 1 an?


§ 6. Andere Philosophen und Mathematiker haben denn auch die
Beweisbarkeit der Zahlformeln behauptet. _Leibniz_[11] sagt:

»Es ist keine unmittelbare Wahrheit, dass 2 und 2 4 sind;
vorausgesetzt, dass 4 bezeichnet 3 und 1. Man kann sie beweisen und
zwar so:

            Definitionen: 1) 2 ist 1 und 1,
                          2) 3 ist 2 und 1,
                          3) 4 ist 3 und 1.

Axiom: Wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung
bestehen.

    Beweis: 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4.
                   Def. 1.     Def. 2. Def. 3.

Also: nach dem Axiom: 2 + 2 = 4.«

Dieser Beweis scheint zunächst ganz aus Definitionen und dem
angeführten Axiome aufgebaut zu sein. Auch dieses könnte in eine
Definition verwandelt werden, wie es _Leibniz_ an einem andern Orte[12]
selbst gethan hat. Es scheint, dass man von 1, 2, 3, 4 weiter nichts
zu wissen braucht, als was in den Definitionen enthalten ist. Bei
genauerer Betrachtung entdeckt man jedoch eine Lücke, die durch das
Weglassen der Klammern verdeckt ist. Genauer müsste nämlich geschrieben
werden:

                  2 + 2 = 2 + (1 + 1)
            (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

Hier fehlt der Satz

            2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1,

der ein besonderer Fall von

            a + (b + c) = (a + b) + c

ist. Setzt man dies Gesetz voraus, so sieht man leicht, dass jede
Formel des Einsundeins so bewiesen werden kann. Es ist dann jede Zahl
aus der vorhergehenden zu definiren. In der That sehe ich nicht, wie
uns etwa die Zahl 437986 angemessener gegeben werden könnte als in der
leibnizischen Weise. Wir bekommen sie so, auch ohne eine Vorstellung
von ihr zu haben, doch in unsere Gewalt. Die unendliche Menge der
Zahlen wird durch solche Definitionen auf die Eins und die Vermehrung
um eins zurückgeführt, und jede der unendlich vielen Zahlformeln kann
aus einigen allgemeinen Sätzen bewiesen werden.

Dies ist auch die Meinung von _H. Grassmann_ und _H. Hankel_. Jener
will das Gesetz

            a + (b + 1) = (a + b) + 1

durch eine Definition gewinnen, indem er sagt[13]:

»Wenn a und b beliebige Glieder der Grundreihe sind, so versteht man
unter der Summe a + b dasjenige Glied der Grundreihe, für welches die
Formel

            a + (b + e) = a + b + e

gilt.«

Hierbei soll e die positive Einheit bedeuten. Gegen diese Erklärung
lässt sich zweierlei einwenden. Zunächst wird die Summe durch sich
selbst erklärt. Wenn man noch nicht weiss, was a + b bedeuten soll,
versteht man auch den Ausdruck a + (b + e) nicht. Aber dieser
Einwand lässt sich vielleicht dadurch beseitigen, dass man freilich
im Widerspruch mit dem Wortlaute sagt, nicht die Summe, sondern die
Addition solle erklärt werden. Dann würde immer noch eingewendet werden
können, dass a + b ein leeres Zeichen wäre, wenn es kein Glied der
Grundreihe oder deren mehre von der verlangten Art gäbe. Dass dies
nicht statthabe, setzt _Grassmann_ einfach voraus, ohne es zu beweisen,
sodass die Strenge nur scheinbar ist.


§ 7. Man sollte denken, dass die Zahlformeln synthetisch oder
analytisch, aposteriori oder apriori sind, je nachdem die allgemeinen
Gesetze es sind, auf die sich ihr Beweis stützt. Dem steht jedoch die
Meinung _John Stuart Mill_'s entgegen. Zwar scheint er zunächst wie
_Leibniz_ die Wissenschaft auf Definitionen gründen zu wollen,[14] da
er die einzelnen Zahlen wie dieser erklärt; aber sein Vorurtheil, dass
alles Wissen empirisch sei, verdirbt sofort den richtigen Gedanken
wieder. Er belehrt uns nämlich,[15] dass jene Definitionen keine
im logischen Sinne seien, dass sie nicht nur die Bedeutung eines
Ausdruckes festsetzen, sondern damit auch eine beobachtete Thatsache
behaupten. Was in aller Welt mag die beobachtete oder, wie _Mill_ auch
sagt, physikalische Thatsache sein, die in der Definition der Zahl
777864 behauptet wird? Von dem ganzen Reichthume an physikalischen
Thatsachen, der sich hier vor uns aufthut, nennt uns _Mill_ nur eine
einzige, die in der Definition der Zahl 3 behauptet werden soll. Sie
besteht nach ihm darin, dass es Zusammenfügungen von Gegenständen
giebt, welche, während sie diesen Eindruck ⁰₀⁰ auf die Sinne machen, in
zwei Theile getrennt werden können, wie folgt: ∘∘ ∘. Wie gut doch, dass
nicht Alles in der Welt niet- und nagelfest ist; dann könnten wir diese
Trennung nicht vornehmen, und 2 + 1 wäre nicht 3! Wie schade, dass
_Mill_ nicht auch die physikalischen Thatsachen abgebildet hat, welche
den Zahlen 0 und 1 zu Grunde liegen!

_Mill_ fährt fort: »Nachdem dieser Satz zugegeben ist, nennen wir
alle dergleichen Theile 3«. Man erkennt hieraus, dass es eigentlich
unrichtig ist, wenn die Uhr drei schlägt, von drei Schlägen zu
sprechen, oder süss, sauer, bitter drei Geschmacksempfindungen zu
nennen; ebensowenig ist der Ausdruck »drei Auflösungsweisen einer
Gleichung« zu billigen; denn man hat niemals davon den sinnlichen
Eindruck wie von ⁰₀⁰.

Nun sagt _Mill_: »Die Rechnungen folgen nicht aus der Definition
selbst, sondern aus der beobachteten Thatsache.« Aber wo hätte sich
_Leibniz_ in dem oben mitgetheilten Beweise des Satzes 2 + 2 = 4 auf
die erwähnte Thatsache berufen sollen? _Mill_ unterlässt es die Lücke
nachzuweisen, obwohl er einen dem leibnizischen ganz entsprechenden
Beweis des Satzes 5 + 2 = 7 giebt.[16] Die wirklich vorhandene Lücke,
die in dem Weglassen der Klammern liegt, übersieht er wie _Leibniz_.

Wenn wirklich die Definition jeder einzelnen Zahl eine besondere
physikalische Thatsache behauptete, so würde man einen Mann, der mit
neunziffrigen Zahlen rechnet, nicht genug wegen seines physikalischen
Wissens bewundern können. Vielleicht geht indessen _Mill_'s Meinung
nicht dahin, dass alle diese Thatsachen einzeln beobachtet werden
müssten, sondern es genüge, durch Induction ein allgemeines Gesetz
abgeleitet zu haben, in dem sie sämmtlich eingeschlossen seien. Aber
man versuche, dies Gesetz auszusprechen, und man wird finden, dass
es unmöglich ist. Es reicht nicht hin, zu sagen: es giebt grosse
Sammlungen von Dingen, die zerlegt werden können; denn damit ist nicht
gesagt, dass es so grosse Sammlungen und von der Art giebt, wie zur
Definition etwa der Zahl 1000000 erfordert werden, und die Weise der
Theilung ist auch nicht genauer angegeben. Die millsche Auffassung
führt nothwendig zu der Forderung, dass für jede Zahl eine Thatsache
besonders beobachtet werde, weil in einem allgemeinen Gesetze grade das
Eigenthümliche der Zahl 1000000, das zu deren Definition nothwendig
gehört, verloren gehen würde. Man dürfte nach _Mill_ in der That nicht
setzen 1000000 = 999999 + 1, wenn man nicht grade diese eigenthümliche
Weise der Zerlegung einer Sammlung von Dingen beobachtet hätte, die von
der irgendeiner andern Zahl zukommenden verschieden ist.


§ 8. _Mill_ scheint zu meinen, dass die Definitionen 2 = 1 + 1,
3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 u. s. w. nicht gemacht werden dürften, ehe nicht
die von ihm erwähnten Thatsachen beobachtet wären. In der That darf man
die 3 nicht als (2 + 1) definiren, wenn man mit (2 + 1) gar keinen Sinn
verbindet. Es fragt sich aber, ob es dazu nöthig ist, jene Sammlung und
ihre Trennung zu beobachten. Räthselhaft wäre dann die Zahl 0; denn bis
jetzt hat wohl niemand 0 Kieselsteine gesehen oder getastet. _Mill_
würde gewiss die 0 für etwas Sinnloses, für eine blosse Redewendung
erklären; die Rechnungen mit 0 würden ein blosses Spiel mit leeren
Zeichen sein, und es wäre nur wunderbar, wie etwas Vernünftiges dabei
herauskommen könnte. Wenn aber diese Rechnungen eine ernste Bedeutung
haben, so kann auch das Zeichen 0 selber nicht ganz sinnlos sein. Und
es zeigt sich die Möglichkeit, dass 2 + 1 in ähnlicher Weise wie die 0,
einen Sinn auch dann noch haben könnte, wenn die von _Mill_ erwähnte
Thatsache nicht beobachtet wäre. Wer will in der That behaupten, dass
die in der Definition einer 18ziffrigen Zahl nach _Mill_ enthaltene
Thatsache je beobachtet sei, und wer will leugnen, dass ein solches
Zahlzeichen trotzdem einen Sinn habe?

Vielleicht meint man, es würden die physikalischen Thatsachen nur für
die kleineren Zahlen etwa bis 10 gebraucht, indem die übrigen aus
diesen zusammengesetzt werden könnten. Aber, wenn man 11 aus 10 und
1 blos durch Definition bilden kann, ohne die entsprechende Sammlung
gesehen zu haben, so ist kein Grund, weshalb man nicht auch die 2 aus
1 und 1 so zusammensetzen kann. Wenn die Rechnungen mit der Zahl 11
nicht aus einer für diese bezeichnenden Thatsache folgen, wie kommt es,
dass die Rechnungen mit der 2 sich auf die Beobachtung einer gewissen
Sammlung und deren eigentümlicher Trennung stützen müssen?

Man fragt vielleicht, wie die Arithmetik bestehen könne, wenn wir durch
die Sinne gar keine oder nur drei Dinge unterscheiden könnten. Für
unsere Kenntniss der arithmetischen Sätze und deren Anwendungen würde
ein solcher Zustand gewiss etwas Missliches haben, aber auch für ihre
Wahrheit? Wenn man einen Satz empirisch nennt, weil wir Beobachtungen
gemacht haben müssen, um uns seines Inhalts bewusst zu werden, so
gebraucht man das Wort »empirisch« nicht in dem Sinne, dass es dem
»apriori« entgegengesetzt ist. Man spricht dann eine psychologische
Behauptung aus, die nur den Inhalt des Satzes betrifft; ob dieser
wahr sei, kommt dabei nicht in Betracht. In dem Sinne sind auch alle
Geschichten Münchhausens empirisch; denn gewiss muss man mancherlei
beobachtet haben, um sie erfinden zu können.



Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?


§ 9. Die bisherigen Erwägungen machen es wahrscheinlich, dass die
Zahlformeln allein aus den Definitionen der einzelnen Zahlen mittels
einiger allgemeinen Gesetze ableitbar sind, dass diese Definitionen
beobachtete Thatsachen weder behaupten noch zu ihrer Rechtmässigkeit
voraussetzen. Es kommt also darauf an, die Natur jener Gesetze zu
erkennen.

_Mill_[17] will zu seinem vorhin erwähnten Beweise der Formel 5 + 2 = 7
den Satz »was aus Theilen zusammengesetzt ist, ist aus Theilen von
diesen Theilen zusammengesetzt« benutzen. Dies hält er für einen
charakteristischern Ausdruck des sonst in der Form »die Summen von
Gleichem sind gleich« bekannten Satzes. Er nennt ihn inductive Wahrheit
und Naturgesetz von der höchsten Ordnung. Für die Ungenauigkeit seiner
Darstellung ist es bezeichnend, dass er diesen Satz gar nicht an der
Stelle des Beweises heranzieht, wo er nach seiner Meinung unentbehrlich
ist; doch scheint es, dass seine inductive Wahrheit _Leibnizens_ Axiom
vertreten soll: »wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die
Gleichung bestehen.« Aber um arithmetische Wahrheiten Naturgesetze
nennen zu können, legt _Mill_ einen Sinn hinein, den sie nicht haben.
Er meint z. B.[18] die Gleichung 1 = 1 könne falsch sein, weil ein
Pfundstück nicht immer genau das Gewicht eines andern habe. Aber das
will der Satz 1 = 1 auch gar nicht behaupten.

_Mill_ versteht das + Zeichen so, dass dadurch die Beziehung der
Theile eines physikalischen Körpers oder eines Haufens zu dem Ganzen
ausgedrückt werde; aber das ist nicht der Sinn dieses Zeichens.
5 + 2 = 7 bedeutet nicht, dass wenn man zu 5 Raumtheilen Flüssigkeit 2
Raumtheile Flüssigkeit giesst, man 7 Raumtheile Flüssigkeit erhalte,
sondern dies ist eine Anwendung jenes Satzes, die nur statthaft ist,
wenn nicht infolge etwa einer chemischen Einwirkung eine Volumänderung
eintritt. _Mill_ verwechselt immer Anwendungen, die man von einem
arithmetischen Satze machen kann, welche oft physikalisch sind
und beobachtete Thatsachen zur Voraussetzung haben, mit dem rein
mathematischen Satze selber. Das Pluszeichen kann zwar in manchen
Anwendungen einer Haufenbildung zu entsprechen scheinen; aber dies ist
nicht seine Bedeutung; denn bei andern Anwendungen kann von Haufen,
Aggregaten, dem Verhältnisse eines physikalischen Körpers zu seinen
Theilen keine Rede sein, z. B. wenn man die Rechnung auf Ereignisse
bezieht. Zwar kann man auch hier von Theilen sprechen; dann gebraucht
man das Wort aber nicht im physikalischen oder geometrischen, sondern
im logischen Sinne, wie wenn man die Ermordungen von Staatsoberhäuptern
einen Theil der Morde überhaupt nennt. Hier hat man die logische
Unterordnung. Und so entspricht auch die Addition im Allgemeinen nicht
einem physikalischen Verhältnisse. Folglich können auch die allgemeinen
Additionsgesetze nicht Naturgesetze sein.


§ 10. Aber sie könnten vielleicht dennoch inductive Wahrheiten sein.
Wie wäre das zu denken? Von welchen Thatsachen soll man ausgehen, um
sich zum Allgemeinen zu erheben? Dies können wohl nur die Zahlformeln
sein. Damit verlören wir freilich den Vortheil wieder, den wir durch
die Definitionen der einzelnen Zahlen gewonnen haben, und wir müssten
uns nach einer andern Begründungsweise der Zahlformeln umsehen. Wenn
wir uns nun auch über dies nicht ganz leichte Bedenken hinwegsetzen,
so finden wir doch den Boden für die Induction ungünstig; denn hier
fehlt jene Gleichförmigkeit, welche sonst diesem Verfahren eine grosse
Zuverlässigkeit geben kann. Schon _Leibniz_[19] lässt dem Philalèthe
auf seine Behauptung:

    »Die verschiedenen Modi der Zahl sind keiner andern Verschiedenheit
    fähig, als des mehr oder weniger; daher sind es einfache Modi wie
    die des Raumes«

antworten:

»Das kann man von der Zeit und der geraden Linie sagen, aber
keinesfalls von den Figuren und noch weniger von den Zahlen, die
nicht blos an Grösse verschieden, sondern auch unähnlich sind. Eine
gerade Zahl kann in zwei gleiche Theile getheilt werden und nicht eine
ungerade; 3 und 6 sind trianguläre Zahlen, 4 und 9 sind Quadrate, 8 ist
ein Cubus u. s. f.; und dies findet bei den Zahlen noch mehr statt als
bei den Figuren; denn zwei ungleiche Figuren können einander vollkommen
ähnlich sein, aber niemals zwei Zahlen.«

Wir haben uns zwar daran gewöhnt, die Zahlen in vielen Beziehungen
als gleichartig zu betrachten; das kommt aber nur daher, weil wir eine
Menge allgemeiner Sätze kennen, die von allen Zahlen gelten. Hier
müssen wir uns jedoch auf den Standpunkt stellen, wo noch keiner von
diesen anerkannt ist. In der That möchte es schwer sein, ein Beispiel
für einen Inductionsschluss zu finden, das unserem Falle entspräche.
Sonst kommt uns oft der Satz zu statten, dass jeder Ort im Raume und
jeder Zeitpunkt an und für sich so gut wie jeder andere ist. Ein Erfolg
muss an einem andern Orte und zu einer andern Zeit ebensogut eintreten,
wenn nur die Bedingungen dieselben sind. Das fällt hier hinweg, weil
die Zahlen raum- und zeitlos sind. Die Stellen in der Zahlenreihe sind
nicht gleichwerthig wie die Orte des Raumes.

Die Zahlen verhalten sich auch ganz anders als die Individuen etwa
einer Thierart, da sie eine durch die Natur der Sache bestimmte
Rangordnung haben, da jede auf eigne Weise gebildet ist und ihre
Eigenart hat, die besonders bei der 0, der 1 und der 2 hervortritt.
Wenn man sonst einen Satz in Bezug auf eine Gattung durch Induction
begründet, hat man gewöhnlich schon eine ganze Reihe gemeinsamer
Eigenschaften allein schon durch die Definition des Gattungsbegriffes.
Hier hält es schwer, nur eine einzige zu finden, die nicht selbst erst
nachzuweisen wäre.

Am leichtesten möchte sich unser Fall noch mit folgendem vergleichen
lassen. Man habe in einem Bohrloche eine mit der Tiefe regelmässig
zunehmende Temperatur bemerkt; man habe bisher sehr verschiedene
Gesteinsschichten angetroffen. Es ist dann offenbar aus den
Beobachtungen, die man an diesem Bohrloche gemacht hat, allein nichts
über die Beschaffenheit der tiefern Schichten zu schliessen, und ob die
Regelmässigkeit der Temperaturvertheilung sich weiter bewähren würde,
muss dahingestellt bleiben. Unter den Begriff »was bei fortgesetztem
Bohren angetroffen wird« fällt zwar das bisher Beobachtete wie das
Tieferliegende; aber das kann hier wenig nützen. Ebenso wenig wird es
uns bei den Zahlen nützen, dass sie sämmtlich unter den Begriff »was
man durch fortgesetzte Vermehrung um eins erhält« fallen. Man kann
eine Verschiedenheit der beiden Fälle darin finden, dass die Schichten
nur angetroffen werden, die Zahlen aber durch die fortgesetzte
Vermehrung um eins geradezu geschaffen und ihrem ganzen Wesen nach
bestimmt werden. Dies kann nur heissen, dass man aus der Weise, wie
eine Zahl, z. B. 8, durch Vermehrung um 1 entstanden ist, alle ihre
Eigenschaften ableiten kann. Damit giebt man im Grunde zu, dass die
Eigenschaften der Zahlen aus ihren Definitionen folgen, und es eröffnet
sich die Möglichkeit, die allgemeinen Gesetze der Zahlen aus der
allen gemeinsamen Entstehungsweise zu beweisen, während die besondern
Eigenschaften der einzelnen aus der besondern Weise zu folgern wären,
wie sie durch fortgesetzte Vermehrung um eins gebildet sind. So kann
man auch, was bei den Erdschichten, schon durch die Tiefe allein
bestimmt ist, in der sie getroffen werden, also ihre Lagenverhältnisse,
eben daraus schliessen, ohne dass man die Induction nöthig hätte; was
aber nicht dadurch bestimmt ist, kann auch die Induction nicht lehren.

Vermuthlich kann das Verfahren der Induction selbst nur mittels
allgemeiner Sätze der Arithmetik gerechtfertigt werden, wenn man
darunter nicht eine blosse Gewöhnung versteht. Diese hat nämlich
durchaus keine wahrheitverbürgende Kraft. Während das wissenschaftliche
Verfahren nach objectiven Maasstäben bald in einer einzigen Bestätigung
eine hohe Wahrscheinlichkeit begründet findet, bald tausendfaches
Eintreffen fast für werthlos erachtet, wird die Gewöhnung durch Zahl
und Stärke der Eindrücke und subjective Verhältnisse bestimmt, die
keinerlei Recht haben, auf das Urtheil Einfluss zu üben. Die Induction
muss sich auf die Lehre von der Wahrscheinlichkeit stützen, weil sie
einen Satz nie mehr als wahrscheinlich machen kann. Wie diese Lehre
aber ohne Voraussetzung arithmetischer Gesetze entwickelt werden könne,
ist nicht abzusehen.


§ 11. _Leibniz_[20] meint dagegen, dass die nothwendigen Wahrheiten,
wie man solche in der Arithmetik findet, Principien haben müssen, deren
Beweis nicht von den Beispielen und also nicht von dem Zeugnisse der
Sinne abhangt, wiewohl ohne die Sinne sich niemand hätte einfallen
lassen, daran zu denken. »Die ganze Arithmetik ist uns eingeboren und
in uns auf virtuelle Weise.« Wie er den Ausdruck »eingeboren« meint,
verdeutlicht eine andere Stelle[21]: »Es ist nicht wahr, dass alles,
was man lernt, nicht eingeboren sei; -- die Wahrheiten der Zahlen sind
in uns, und nichtsdestoweniger lernt man sie, sei es, indem man sie aus
ihrer Quelle zieht, wenn man sie auf beweisende Art lernt (was eben
zeigt, dass sie eingeboren sind), sei es ...«.



Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch?


§ 12. Wenn man den Gegensatz von analytisch und synthetisch hinzunimmt,
ergeben sich vier Combinationen, von denen jedoch eine, nämlich

            analytisch aposteriori

ausfällt. Wenn man sich mit _Mill_ für aposteriori entschieden hat,
bleibt also keine Wahl, sodass für uns nur noch die Möglichkeiten

            synthetisch apriori

und

            analytisch

zu erwägen bleiben. Für die erstere entscheidet sich _Kant_. In
diesem Falle bleibt wohl nichts übrig, als eine reine Anschauung
als letzten Erkenntnissgrund anzurufen, obwohl hier schwer zu sagen
ist, ob es eine räumliche oder zeitliche ist, oder welche es sonst
sein mag. _Baumann_[22] stimmt _Kant_, wenngleich mit etwas anderer
Begründung, bei. Auch nach _Lipschitz_[23] fliessen die Sätze,
welche die Unabhängigkeit der Anzahl von der Art des Zählens und
die Vertauschbarkeit und Gruppirbarkeit der Summanden behaupten,
aus der inneren Anschauung. _Hankel_[24] gründet die Lehre von
den reellen Zahlen auf drei Grundsätze, denen er den Charakter
der _notiones communes_ zuschreibt: »Sie werden durch Explication
vollkommen evident, gelten für alle Grössengebiete nach der reinen
Anschauung der Grösse und können, ohne ihren Charakter einzubüssen,
in Definitionen verwandelt werden, indem man sagt: Unter der Addition
von Grössen versteht man eine Operation, welche diesen Sätzen genügt.«
In der letzten Behauptung liegt eine Unklarheit. Vielleicht kann
man die Definition machen; aber sie kann keinen Ersatz für jene
Grundsätze bilden; denn bei der Anwendung würde es sich immer darum
handeln: sind die Anzahlen Grössen, und ist das, was man Addition
der Anzahlen zu nennen pflegt, Addition im Sinne dieser Definition?
Und zur Beantwortung müsste man jene Sätze von den Anzahlen schon
kennen. Ferner erregt der Ausdruck »reine Anschauung der Grösse«
Anstoss. Wenn man erwägt, was alles Grösse genannt wird: Anzahlen,
Längen, Flächeninhalte, Volumina, Winkel, Krümmungen, Massen,
Geschwindigkeiten, Kräfte, Lichtstärken, galvanische Stromstärken u.
s. f., so ist wohl zu verstehen, wie man dies einem Grössen_begriffe_
unterordnen kann; aber der Ausdruck »Anschauung der Grösse« und gar
»reine Anschauung der Grösse« kann nicht als zutreffend anerkannt
werden. Ich kann nicht einmal eine Anschauung von 100000 zugeben,
noch viel weniger von Zahl im Allgemeinen oder gar von Grösse im
Allgemeinen. Man beruft sich zu leicht auf innere Anschauung, wenn man
keinen andern Grund anzugeben vermag. Aber man sollte dabei den Sinn
des Wortes »Anschauung« doch nicht ganz aus dem Auge verlieren.

_Kant_ definirt in der Logik (ed. Hartenstein, VIII, S. 88):

»Die Anschauung ist eine einzelne Vorstellung (repraesentatio
singularis), der Begriff eine allgemeine (repraesentatio per notas
communes) oder reflectirte Vorstellung (repraesentatio discursiva).«

Hier kommt die Beziehung zur Sinnlichkeit gar nicht zum Ausdrucke,
die doch in der transcendentalen Aesthetik hinzugedacht wird, und
ohne welche die Anschauung nicht als Erkenntnissprincip für die
synthetischen Urtheile apriori dienen kann. In der Kr. d. r. V. (ed.
Hartenstein III, S. 55) heisst es:

»Vermittelst der Sinnlichkeit also werden uns Gegenstände gegeben und
sie allein liefert uns Anschauungen.«

Der Sinn unseres Wortes in der Logik ist demnach ein weiterer als in
der trancendentalen Aesthetik. Im logischen Sinne könnte man vielleicht
100000 eine Anschauung nennen; denn ein allgemeiner Begriff ist es
nicht. Aber in diesem Sinne genommen, kann die Anschauung nicht zur
Begründung der arithmetischen Gesetze dienen.


§ 13. Ueberhaupt wird es gut sein, die Verwandtschaft mit der Geometrie
nicht zu überschätzen. Ich habe schon eine leibnizische Stelle
dagegen angeführt. Ein geometrischer Punkt für sich betrachtet, ist
von irgendeinem andern gar nicht zu unterscheiden; dasselbe gilt von
Geraden und Ebenen. Erst wenn mehre Punkte, Gerade, Ebenen in einer
Anschauung gleichzeitig aufgefasst werden, unterscheidet man sie. Wenn
in der Geometrie allgemeine Sätze aus der Anschauung gewonnen werden,
so ist das daraus erklärlich, dass die angeschauten Punkte, Geraden,
Ebenen eigentlich gar keine besondern sind und daher als Vertreter
ihrer ganzen Gattung gelten können. Anders liegt die Sache bei den
Zahlen: jede hat ihre Eigenthümlichkeit. Inwiefern eine bestimmte Zahl
alle andern vertreten kann, und wo ihre Besonderheit sich geltend
macht, ist ohne Weiteres nicht zu sagen.


§ 14. Auch die Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen
beherrschte Gebiet spricht gegen die empirische und synthetische Natur
der arithmetischen Gesetze.

Die Erfahrungssätze gelten für die physische oder psychologische
Wirklichkeit, die geometrischen Wahrheiten beherrschen das Gebiet des
räumlich Anschaulichen, mag es nun Wirklichkeit oder Erzeugniss der
Einbildungskraft sein. Die tollsten Fieberphantasien, die kühnsten
Erfindungen der Sage und der Dichter, welche Thiere reden, Gestirne
stille stehen lassen, aus Steinen Menschen und aus Menschen Bäume
machen, und lehren, wie man sich am eignen Schopfe aus dem Sumpfe
zieht, sie sind doch, sofern sie anschaulich bleiben, an die Axiome
der Geometrie gebunden. Von diesen kann nur das begriffliche Denken in
gewisser Weise loskommen, wenn es etwa einen Raum von vier Dimensionen
oder von positivem Krümmungsmaasse annimmt. Solche Betrachtungen
sind durchaus nicht unnütz; aber sie verlassen ganz den Boden der
Anschauung. Wenn man diese auch dabei zu Hilfe nimmt, so ist es doch
immer die Anschauung des euklidischen Raumes, des einzigen, von dessen
Gebilden wir eine haben. Sie wird dann nur nicht so, wie sie ist,
sondern symbolisch für etwas anderes genommen; man nennt z. B. gerade
oder eben, was man doch als Krummes anschaut. Für das begriffliche
Denken kann man immerhin von diesem oder jenem geometrischen Axiome
das Gegentheil annehmen, ohne dass man in Widersprüche mit sich
selbst verwickelt wird, wenn man Schlussfolgerungen aus solchen der
Anschauung widerstreitenden Annahmen zieht. Diese Möglichkeit zeigt,
dass die geometrischen Axiome von einander und von den logischen
Urgesetzen unabhängig, also synthetisch sind. Kann man dasselbe von
den Grundsätzen der Zahlenwissenschaft sagen? Stürzt nicht alles
in Verwirrung, wenn man einen von diesen leugnen wollte? Wäre dann
noch Denken möglich? Liegt nicht der Grund der Arithmetik tiefer als
der alles Erfahrungswissens, tiefer selbst als der der Geometrie?
Die arithmetischen Wahrheiten beherrschen das Gebiet des Zählbaren.
Dies ist das umfassendste; denn nicht nur das Wirkliche, nicht nur
das Anschauliche gehört ihm an, sondern alles Denkbare. Sollten also
nicht die Gesetze der Zahlen mit denen des Denkens in der innigsten
Verbindung stehen?


§ 15. Dass _Leibnizens_ Aussprüche sich nur zu Gunsten der analytischen
Natur der Zahlgesetze deuten lassen, ist vorauszusehen, da für ihn
das Apriori mit dem Analytischen zusammenfällt. So sagt er[25], dass
die Algebra ihre Vortheile einer viel höhern Kunst, nämlich der
wahren Logik entlehne. An einer andern Stelle[26] vergleicht er die
nothwendigen und zufälligen Wahrheiten mit den commensurabeln und
incommensurabeln Grössen und meint, dass bei nothwendigen Wahrheiten
ein Beweis oder eine Zurückführung auf Identitäten möglich sei. Doch
diese Aeusserungen verlieren dadurch an Gewicht, dass _Leibniz_ dazu
neigt, alle Wahrheiten als beweisbar anzusehen[27]: »... dass jede
Wahrheit ihren apriorischen, aus dem Begriff der Termini gezogenen
Beweis hat, wiewohl es nicht immer in unserer Macht steht, zu
dieser Analyse zu kommen.« Der Vergleich mit der Commensurabilität
und Incommensurabilität richtet freilich doch wieder eine für uns
wenigstens unüberschreitbare Schranke zwischen zufälligen und
nothwendigen Wahrheiten auf.

Sehr entschieden im Sinne der analytischen Natur der Zahlgesetze
spricht sich _W. Stanley Jevons_ aus[28]: »Zahl ist nur logische
Unterscheidung und Algebra eine hoch entwickelte Logik.«


§ 16. Aber auch diese Ansicht hat ihre Schwierigkeiten. Soll dieser
hochragende, weitverzweigte und immer noch wachsende Baum der
Zahlenwissenschaft in blossen Identitäten wurzeln? Und wie kommen
die leeren Formen der Logik dazu, aus sich heraus solchen Inhalt zu
gewinnen?

_Mill_ meint: »Die Lehre, dass wir durch kunstfertiges Handhaben der
Sprache Thatsachen entdecken, die verborgene Naturprocesse enthüllen
können, ist dem gesunden Menschenverstande so entgegen, dass es schon
einen Fortschritt in der Philosophie verlangt, um sie zu glauben«.

Gewiss dann, wenn man sich bei dem kunstfertigen Handhaben nichts
denkt. _Mill_ wendet sich hier gegen einen Formalismus, der kaum
von irgendwem vertreten wird. Jeder, der Worte oder mathematische
Zeichen gebraucht, macht den Anspruch, dass sie etwas bedeuten, und
niemand wird erwarten, dass aus leeren Zeichen etwas Sinnvolles
hervorgehe. Aber es ist möglich, dass ein Mathematiker längere
Rechnungen vollführt, ohne unter seinen Zeichen etwas sinnlich
Wahrnehmbares, Anschauliches zu verstehen. Darum sind diese Zeichen
noch nicht sinnlos; man unterscheidet dennoch ihren Inhalt von ihnen
selbst, wenn dieser auch vielleicht nur mittels der Zeichen fassbar
wird. Man ist sich bewusst, dass andere Zeichen für Dasselbe hätten
festgesetzt werden können. Es genügt zu wissen, wie der in den Zeichen
versinnlichte Inhalt logisch zu behandeln ist, und wenn man Anwendungen
auf die Physik machen will, wie der Uebergang zu den Erscheinungen
geschehen muss. Aber in einer solchen Anwendung ist nicht der
eigentliche Sinn der Sätze zu sehen. Dabei geht immer ein grosser Theil
der Allgemeinheit verloren, und es kommt etwas Besonderes hinein, das
bei andern Anwendungen durch Anderes ersetzt wird.


§ 17. Man kann trotz aller Herabsetzung der Deduction doch nicht
leugnen, dass die durch Induction begründeten Gesetze nicht genügen.
Aus ihnen müssen neue Sätze abgeleitet werden, die in keinem einzelnen
von jenen enthalten sind. Dass sie in allen zusammen schon in gewisser
Weise stecken, entbindet nicht von der Arbeit, sie daraus zu entwickeln
und für sich herauszustellen. Damit eröffnet sich folgende Möglichkeit.
Statt eine Schlussreihe unmittelbar an eine Thatsache anzuknüpfen,
kann man, diese dahingestellt sein lassend, ihren Inhalt als Bedingung
mitführen. Indem man so alle Thatsachen in einer Gedankenreihe durch
Bedingungen ersetzt, wird man das Ergebniss in der Form erhalten, dass
von einer Reihe von Bedingungen ein Erfolg abhängig gemacht ist. Diese
Wahrheit wäre durch Denken allein, oder, um mit _Mill_ zu reden, durch
kunstfertiges Handhaben der Sprache begründet. Es ist nicht unmöglich,
dass die Zahlgesetze von dieser Art sind. Sie wären dann analytische
Urtheile, obwohl sie nicht durch Denken allein gefunden zu sein
brauchten; denn nicht die Weise des Findens kommt hier in Betracht,
sondern die Art der Beweisgründe; oder, wie _Leibniz_ sagt[29], »es
handelt sich hier nicht um die Geschichte unserer Entdeckungen, die
verschieden ist in verschiedenen Menschen, sondern um die Verknüpfung
und die natürliche Ordnung der Wahrheiten, die immer dieselbe ist.«
Die Beobachtung hätte dann zuletzt zu entscheiden, ob die in dem so
begründeten Gesetze enthaltenen Bedingungen erfüllt sind. So würde
man schliesslich eben dahin gelangen, wohin man durch unmittelbare
Anknüpfung der Schlussreihe an die beobachteten Thatsachen gekommen
wäre. Aber die hier angedeutete Art des Vorgehens ist in vielen Fällen
vorzuziehen, weil sie auf einen allgemeinen Satz führt, der nicht nur
auf die grade vorliegenden Thatsachen anwendbar zu sein braucht. Die
Wahrheiten der Arithmetik würden sich dann zu denen der Logik ähnlich
verhalten wie die Lehrsätze zu den Axiomen der Geometrie. Jede würde
in sich eine ganze Schlussreihe für den künftigen Gebrauch verdichtet
enthalten, und ihr Nutzen würde darin bestehen, dass man die Schlüsse
nicht mehr einzeln zu machen braucht, sondern gleich das Ergebniss
der ganzen Reihe aussprechen kann[30]. Angesichts der gewaltigen
Entwickelung der arithmetischen Lehren und ihrer vielfachen Anwendungen
wird sich dann freilich die weit verbreitete Geringschätzung der
analytischen Urtheile und das Märchen von der Unfruchtbarkeit der
reinen Logik nicht halten lassen.

Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte Ansicht im Einzelnen
so streng durchführen könnte, dass nicht der geringste Zweifel
zurückbliebe, so würde das, wie mir scheint, kein ganz unwichtiges
Ergebniss sein.



II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl.


§ 18. Indem wir uns nun den ursprünglichen Gegenständen der Arithmetik
zuwenden, unterscheiden wir die einzelnen Zahlen 3, 4 u. s. f. von
dem allgemeinen Begriffe der Anzahl. Nun haben wir uns schon dafür
entschieden, dass die einzelnen Zahlen am besten in der Weise von
_Leibniz_, _Mill_, _H. Grassmann_ und Andern aus der Eins und der
Vermehrung um eins abgeleitet werden, dass aber diese Erklärungen
unvollständig bleiben, solange die Eins und die Vermehrung um eins
unerklärt sind. Wir haben gesehen, dass man allgemeiner Sätze bedarf,
um aus diesen Definitionen die Zahlformeln abzuleiten. Solche Gesetze
können eben wegen ihrer Allgemeinheit nicht aus den Definitionen der
einzelnen Zahlen folgen, sondern nur aus dem allgemeinen Begriffe der
Anzahl. Wir unterwerfen diesen jetzt einer genaueren Betrachtung.
Dabei werden voraussichtlich auch die Eins und die Vermehrung um eins
erörtert werden müssen und somit auch die Definitionen der einzelnen
Zahlen eine Ergänzung zu erwarten haben.


§ 19. Hier möchte ich mich nun gleich gegen den Versuch wenden, die
Zahl geometrisch als Verhältnisszahl von Längen oder Flächen zu fassen.
Man glaubte offenbar die vielfachen Anwendungen der Arithmetik auf
Geometrie dadurch zu erleichtern, dass man gleich die Anfänge in die
engste Beziehung setzte.

_Newton_[31] will unter Zahl nicht so sehr eine Menge von Einheiten
als das abstracte Verhältniss einer jeden Grösse zu einer andern
derselben Art verstehen, die als Einheit genommen wird. Man kann
zugeben, dass hiermit die Zahl im weitern Sinne, wozu auch die Brüche
und Irrationalzahlen gehören, zutreffend beschrieben sei; doch
werden hierbei die Begriffe der Grösse und des Grössenverhältnisses
vorausgesetzt. Danach scheint es, dass die Erklärung der Zahl im
engern Sinne, der Anzahl, nicht überflüssig werde; denn _Euklid_
braucht den Begriff des Gleichvielfachen um die Gleichheit von zwei
Längenverhältnissen zu definiren; und das Gleichvielfache kommt wieder
auf eine Zahlengleichheit hinaus. Aber es mag sein, dass die Gleichheit
von Längenverhältnissen unabhängig vom Zahlbegriffe definirbar ist.
Man bliebe dann jedoch im Ungewissen darüber, in welcher Beziehung die
so geometrisch definirte Zahl zu der Zahl des gemeinen Lebens stände.
Dies wäre dann ganz von der Wissenschaft getrennt. Und doch kann man
wohl von der Arithmetik verlangen, dass sie die Anknüpfungspunkte für
jede Anwendung der Zahl bieten muss, wenn auch die Anwendung selbst
nicht ihre Sache ist. Auch das gewöhnliche Rechnen muss die Begründung
seines Verfahrens in der Wissenschaft finden. Und dann erhebt sich die
Frage, ob die Arithmetik selbst mit einem geometrischen Begriffe der
Zahl auskomme, wenn man an die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung,
der Zahlen, die prim zu einer Zahl und kleiner als sie sind, und
ähnliche Vorkommnisse denkt. Dagegen kann die Zahl, welche die Antwort
auf die Frage wieviel? giebt, auch bestimmen, wieviel Einheiten in
einer Länge enthalten sind. Die Rechnung mit negativen, gebrochenen,
Irrationalzahlen kann auf die mit den natürlichen Zahlen zurückgeführt
werden. _Newton_ wollte aber vielleicht unter Grössen, als deren
Verhältniss die Zahl definirt wird, nicht nur geometrische, sondern
auch Mengen verstehen. Dann wird jedoch die Erklärung für unsern Zweck
unbrauchbar, weil von den Ausdrücken »Zahl, durch die eine Menge
bestimmt wird« und »Verhältniss einer Menge zur Mengeneinheit« der
letztere keine bessere Auskunft als der erstere giebt.


§ 20. Die erste Frage wird nun sein, ob Zahl definirbar ist.
_Hankel_[32] spricht sich dagegen aus: »Was es heisst, ein Object
1mal, 2mal, 3mal ... denken oder setzen, kann bei der principiellen
Einfachheit des Begriffes der Setzung nicht definirt werden.« Hier
kommt es jedoch weniger auf das Setzen als auf das 1mal, 2mal, 3mal
an. Wenn dies definirt werden könnte, so würde die Undefinirbarkeit
des Setzens uns wenig beunruhigen. _Leibniz_ ist geneigt, die Zahl
wenigstens annähernd als adaequate Idee anzusehen, d. h. als eine
solche, die so deutlich ist, dass alles, was in ihr vorkommt, wieder
deutlich ist.

Wenn man im Ganzen mehr dazu neigt, die Anzahl für undefinirbar zu
halten, so liegt das wohl mehr an dem Misslingen darauf gerichteter
Versuche als an dem Bestehen der Sache selbst entnommener Gegengründe.



Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?


§ 21. Versuchen wir wenigstens der Anzahl ihre Stelle unter unsern
Begriffen anzuweisen! In der Sprache erscheinen Zahlen meistens in
adjectivischer Form und in attributiver Verbindung ähnlich wie die
Wörter hart, schwer, roth, welche Eigenschaften der äusseren Dinge
bedeuten. Es liegt die Frage nahe, ob man die einzelnen Zahlen auch so
auffassen müsse, und ob demgemäss der Begriff der Anzahl etwa mit dem
der Farbe zusammengestellt werden könne.

Dies scheint die Meinung von _M. Cantor_[33] zu sein, wenn er die
Mathematik eine Erfahrungswissenschaft nennt, insofern sie von der
Betrachtung von Objecten der Aussenwelt ihren Anfang nehme. Nur durch
Abstraction von Gegenständen entstehe die Zahl.

_E. Schröder_[34] lässt die Zahl der Wirklichkeit nachgebildet, aus ihr
entnommen werden, indem die Einheiten durch Einer abgebildet würden.
Dies nennt er Abstrahiren der Zahl. Bei dieser Abbildung würden die
Einheiten nur in Hinsicht ihrer Häufigkeit dargestellt, indem von
allen andern Bestimmungen der Dinge als Farbe, Gestalt abgesehen
werde. Hier ist Häufigkeit nur ein anderer Ausdruck für Anzahl.
Schröder stellt also Häufigkeit oder Anzahl in eine Linie mit Farbe und
Gestalt und betrachtet sie als eine Eigenschaft der Dinge.


§ 22. _Baumann_[35] verwirft den Gedanken, dass die Zahlen von den
äussern Dingen abgezogene Begriffe seien: »Weil nämlich die äussern
Dinge uns keine strengen Einheiten darstellen; sie stellen uns
abgegränzte Gruppen oder sinnliche Punkte dar, aber wir haben die
Freiheit, diese selber wieder als Vieles zu betrachten«. In der That,
während ich nicht im Stande bin, durch blosse Auffassungsweise die
Farbe eines Dinges oder seine Härte im Geringsten zu verändern, kann
ich die Ilias als Ein Gedicht, als 24 Gesänge oder als eine grosse
Anzahl von Versen auffassen. Spricht man nicht in einem ganz andern
Sinne von 1000 Blättern als von grünen Blättern des Baumes? Die grüne
Farbe legen wir jedem Blatte bei, nicht so die Zahl 1000. Wir können
alle Blätter des Baumes unter dem Namen seines Laubes zusammenfassen.
Auch dieses ist grün, aber nicht 1000. Wem kommt nun eigentlich die
Eigenschaft 1000 zu? Fast scheint es weder dem einzelnen Blatte noch
der Gesammtheit; vielleicht gar nicht eigentlich den Dingen der
Aussenwelt? Wenn ich jemandem einen Stein gebe mit den Worten: bestimme
das Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den ganzen Gegenstand seiner
Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack Spielkarten in die
Hand gebe mit den Worten: bestimme die Anzahl hiervon, so weiss er
nicht, ob ich die Zahl der Karten oder der vollständigen Spiele oder
etwa der Wertheinheiten beim Skatspiele erfahren will. Damit, dass
ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Gegenstand seiner
Untersuchung noch nicht vollständig gegeben; ich muss ein Wort:
Karte, Spiel, Wertheinheit hinzufügen. Man kann auch nicht sagen, dass
die verschiedenen Zahlen hier so wie die verschiedenen Farben neben
einander bestehen. Auf die einzelne farbige Fläche kann ich hindeuten,
ohne ein Wort zu sagen, nicht so auf die einzelne Zahl. Wenn ich einen
Gegenstand mit demselben Rechte grün und roth nennen kann, so ist das
ein Zeichen, dass dieser Gegenstand nicht der eigentliche Träger des
Grünen ist. Diesen habe ich erst in einer Fläche, die nur grün ist.
So ist auch ein Gegenstand, dem ich mit demselben Rechte verschiedene
Zahlen zuschreiben kann, nicht der eigentliche Träger einer Zahl.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen Farbe und Anzahl besteht
demnach darin, dass die blaue Farbe einer Fläche unabhängig von
unserer Willkühr zukommt. Sie ist ein Vermögen, gewisse Lichtstrahlen
zurückzuwerfen, andere mehr oder weniger zu verschlucken, und daran
kann unsere Auffassung nicht das Geringste ändern. Dagegen kann ich
nicht sagen, dass dem Pack Spielkarten die Anzahl 1 oder 100 oder
irgend eine andere an sich zukomme, sondern höchstens in Bezug auf
unsere willkührliche Auffassungsweise, und dann auch nicht so, dass
wir ihm die Anzahl einfach als Praedicat beilegen könnten. Was wir ein
vollständiges Spiel nennen wollen, ist offenbar eine willkührliche
Festsetzung und der Pack Spielkarten weiss nichts davon. Indem wir ihn
aber in dieser Hinsicht betrachten, entdecken wir vielleicht, dass wir
ihn zwei vollständige Spiele nennen können. Jemand, der nicht wüsste,
was man ein vollständiges Spiel nennt, würde wahrscheinlich irgend eine
andere Anzahl eher an ihm herausfinden, als grade die Zwei.


§ 23. Die Frage, wem die Zahl als Eigenschaft zukomme, beantwortet
_Mill_[36] so:

»Der Name einer Zahl bezeichnet eine Eigenschaft, die dem Aggregat
von Dingen angehört, welche wir mit dem Namen benennen; und diese
Eigenschaft ist die charakteristische Weise, in welcher das Aggregat
zusammengesetzt ist oder in Theile zerlegt werden kann.«

Hier ist zunächst der bestimmte Artikel in dem Ausdrucke »die
charakteristische Weise« ein Fehler; denn es giebt sehr verschiedene
Weisen, wie man ein Aggregat zerlegen kann, und man kann nicht sagen,
dass Eine allein charakteristisch wäre. Ein Bündel Stroh kann z.
B. so zerlegt werden, dass man alle Halme durchschneidet, oder so,
dass man es in einzelne Halme auflöst, oder so dass man zwei Bündel
daraus macht. Ist denn ein Haufe von hundert Sandkörnern ebenso
zusammengesetzt wie ein Bündel von 100 Strohhalmen? und doch hat man
dieselbe Zahl. Das Zahlwort »Ein« in dem Ausdruck »Ein Strohhalm«
drückt doch nicht aus, wie dieser Halm aus Zellen oder aus Molekeln
zusammengesetzt ist. Noch mehr Schwierigkeit macht die Zahl 0. Müssen
denn die Strohhalme überhaupt ein Bündel bilden, um gezählt werden
zu können? Muss man die Blinden im Deutschen Reiche durchaus in
einer Versammlung vereinigen, damit der Ausdruck »Zahl der Blinden
im Deutschen Reiche« einen Sinn habe? Sind tausend Weizenkörner,
nachdem sie ausgesäet sind, nicht mehr tausend Weizenkörner? Giebt
es eigentlich Aggregate von Beweisen eines Lehrsatzes oder von
Ereignissen? und doch kann man auch diese zählen. Dabei ist es
gleichgiltig, ob die Ereignisse gleichzeitig oder durch Jahrtausende
getrennt sind.


§ 24. Damit kommen wir auf einen andern Grund, die Zahl nicht mit Farbe
und Festigkeit zusammenzustellen: die bei weitem grössere Anwendbarkeit.

_Mill_[37] meint, die Wahrheit, dass, was aus Theilen zusammengesetzt
ist, aus Theilen dieser Theile zusammengesetzt ist, sei von allen
Naturerscheinungen giltig, weil alle gezählt werden könnten. Aber
kann nicht noch weit mehr gezählt werden? _Locke_[38] sagt: »Die Zahl
findet Anwendung auf Menschen, Engel, Handlungen, Gedanken, jedes Ding,
das existirt oder vorgestellt werden kann«. _Leibniz_[39] verwirft
die Meinung der Scholastiker, dass die Zahl auf unkörperliche Dinge
unanwendbar sei, und nennt die Zahl gewissermaassen eine unkörperliche
Figur, entstanden aus der Vereinigung irgendwelcher Dinge, z. B.
Gottes, eines Engels, eines Menschen, der Bewegung, welche zusammen
vier sind. Daher, meint er, ist die Zahl etwas ganz Allgemeines und
zur Metaphysik gehörig. An einer andern Stelle[40] sagt er: »Gewogen
kann nicht werden, was nicht Kraft und Vermögen hat; was keine Theile
hat, hat demgemäss kein Maass; aber es giebt nichts, was nicht die Zahl
zulässt. So ist die Zahl gleichsam die metaphysische Figur«.

Es wäre in der That wunderbar, wenn eine, von äussern Dingen
abstrahirte Eigenschaft, auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf
Begriffe ohne Aenderung des Sinnes übertragen werden könnte. Es wäre
grade so, als ob man von einem schmelzbaren Ereignisse, einer blauen
Vorstellung, einem salzigen Begriffe, einem zähen Urtheile reden wollte.

Es ist ungereimt, dass an Unsinnlichem vorkomme, was seiner Natur nach
sinnlich ist. Wenn wir eine blaue Fläche sehen, so haben wir einen
eigenthümlichen Eindruck, der dem Worte »blau« entspricht; und diesen
erkennen wir wieder, wenn wir eine andere blaue Fläche erblicken.
Wollten wir annehmen, dass in derselben Weise beim Anblick eines
Dreiecks etwas Sinnliches dem Worte »drei« entspräche, so müssten wir
dies auch in drei Begriffen wiederfinden; etwas Unsinnliches würde
etwas Sinnliches an sich haben. Man kann wohl zugeben, dass dem Worte
»dreieckig« eine Art sinnlicher Eindrücke entspreche, aber man muss
dabei dies Wort als Ganzes nehmen. Die Drei darin sehen wir nicht
unmittelbar; sondern wir sehen etwas, woran eine geistige Thätigkeit
anknüpfen kann, welche zu einem Urtheile führt, in dem die Zahl 3
vorkommt. Womit nehmen wir denn etwa die Anzahl der Schlussfiguren
wahr, die Aristoteles aufstellt? etwa mit den Augen? wir sehen
höchstens gewisse Zeichen für diese Schlussfiguren, nicht sie selbst.
Wie sollen wir ihre Anzahl sehen können, wenn sie selbst unsichtbar
bleiben? Aber, meint man vielleicht, es genügt, die Zeichen zu sehen;
deren Zahl ist gleich der Zahl der Schlussfiguren. Woher weiss man denn
das? Dazu muss man doch schon auf andere Weise die letztere bestimmt
haben. Oder ist der Satz »die Anzahl der Schlussfiguren ist vier« nur
ein anderer Ausdruck für »die Anzahl der Zeichen der Schlussfiguren
ist vier«? Nein! von den Zeichen soll nichts ausgesagt werden; von
den Zeichen will niemand etwas wissen, wenn nicht deren Eigenschaft
zugleich eine des Bezeichneten ausdrückt. Da ohne logischen Fehler
dasselbe verschiedene Zeichen haben kann, braucht nicht einmal die Zahl
der Zeichen mit der des Bezeichneten übereinzustimmen.


§ 25. Während für _Mill_ die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht
sie für _Locke_ und _Leibniz_ nur in der Idee. In der That sind, wie
_Mill_[41] sagt, zwei Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem
Pferd physikalisch verschieden, ein davon verschiedenes sichtliches
und fühlbares Phänomen[42]. Aber ist daraus zu schliessen, dass die
Zweiheit, Dreiheit, etwas Physikalisches ist? Ein Paar Stiefel kann
dieselbe sichtbare und fühlbare Erscheinung sein, wie _zwei_ Stiefel.
Hier haben wir einen Zahlenunterschied, dem kein physikalischer
entspricht; denn _zwei_ und _Ein Paar_ sind keineswegs dasselbe,
wie _Mill_ sonderbarer Weise zu glauben scheint. Wie ist es endlich
möglich, dass sich zwei Begriffe von drei Begriffen physikalisch
unterscheiden?

So sagt _Berkeley_[43]: »Es ist zu bemerken, dass die Zahl nichts Fixes
und Festgestelltes ist, was realiter in den Dingen selber existirte.
Sie ist gänzlich Geschöpf des Geistes, wenn er entweder eine Idee
an sich oder eine Combination von Ideen betrachtet, der er einen
Namen geben will und sie so für eine Einheit gelten lässt. Jenachdem
der Geist seine Ideen variirend combinirt, variirt die Einheit, und
wie die Einheit so variirt auch die Zahl, welche nur eine Sammlung
von Einheiten ist. Ein Fenster = 1; ein Haus, in dem viele Fenster
sind, = 1; viele Häuser machen Eine Stadt aus.«



Ist die Zahl etwas Subjectives?


§ 26. In diesem Gedankengange kommt man leicht dazu, die Zahl für
etwas Subjectives anzusehen. Es scheint die Weise, wie die Zahl in
uns entsteht, über ihr Wesen Aufschluss geben zu können. Auf eine
psychologische Untersuchung also würde es dann ankommen. In diesem
Sinne sagt wohl _Lipschitz_[44]:

»Wer über gewisse Dinge einen Ueberblick gewinnen will, der wird mit
einem bestimmten Dinge beginnen und immer ein neues Ding den früheren
hinzufügen«. Dies scheint viel besser darauf zu passen, wie wir etwa
die Anschauung eines Sternbildes erhalten, als auf die Zahlbildung.
Die Absicht, einen Ueberblick zu gewinnen, ist unwesentlich; denn man
wird kaum sagen können, dass eine Herde übersichtlicher wird, wenn man
erfährt, aus wieviel Häuptern sie besteht.

Eine solche Beschreibung der innern Vorgänge, die der Fällung eines
Zahlurtheils vorhergehen, kann nie, auch wenn sie zutreffender ist,
eine eigentliche Begriffsbestimmung ersetzen. Sie wird nie zum Beweise
eines arithmetischen Satzes herangezogen werden können; wir erfahren
durch sie keine Eigenschaft der Zahlen. Denn die Zahl ist so wenig ein
Gegenstand der Psychologie oder ein Ergebniss psychischer Vorgänge,
wie es etwa die Nordsee ist. Der Objectivität der Nordsee thut es
keinen Eintrag, dass es von unserer Willkühr abhängt, welchen Theil
der allgemeinen Wasserbedeckung der Erde wir abgrenzen und mit dem
Namen »Nordsee« belegen wollen. Das ist kein Grund, dies Meer auf
psychologischem Wege erforschen zu wollen. So ist auch die Zahl etwas
Objectives. Wenn man sagt »die Nordsee ist 10,000 Quadratmeilen gross,«
so deutet man weder durch »Nordsee« noch durch »10,000« auf einen
Zustand oder Vorgang in seinem Innern hin, sondern man behauptet etwas
ganz Objectives, was von unsern Vorstellungen und dgl. unabhängig ist.
Wenn wir etwa ein ander Mal die Grenzen der Nordsee etwas anders ziehen
oder unter »10,000« etwas Anderes verstehen wollten, so würde nicht
derselbe Inhalt falsch, der vorher richtig war; sondern an die Stelle
eines wahren Inhalts wäre vielleicht ein falscher geschoben, wodurch
die Wahrheit jenes ersteren in keiner Weise aufgehoben würde.

Der Botaniker will etwas ebenso Thatsächliches sagen, wenn er die
Anzahl der Blumenblätter einer Blume, wie wenn er ihre Farbe angiebt.
Das eine hängt so wenig wie das andere von unserer Willkühr ab. Eine
gewisse Aehnlichkeit der Anzahl und der Farbe ist also da; aber
diese besteht nicht darin, dass beide an äusseren Dingen sinnlich
wahrnehmbar, sondern darin, dass beide objectiv sind.

Ich unterscheide das Objective von dem Handgreiflichen, Räumlichen,
Wirklichen. Die Erdaxe, der Massenmittelpunkt des Sonnensystems sind
objectiv, aber ich möchte sie nicht wirklich nennen, wie die Erde
selbst. Man nennt den Aequator oft eine _gedachte_ Linie; aber es wäre
falsch, ihn eine _erdachte_ Linie zu nennen; er ist nicht durch Denken
entstanden, das Ergebniss eines seelischen Vorgangs, sondern nur durch
Denken erkannt, ergriffen. Wäre das Erkanntwerden ein Entstehen, so
könnten wir nichts Positives von ihm aussagen in Bezug auf eine Zeit,
die diesem vorgeblichen Entstehen vorherginge.

Der Raum gehört nach Kant der Erscheinung an. Es wäre möglich, dass
er andern Vernunftwesen sich ganz anders als uns darstellte. Ja, wir
können nicht einmal wissen, ob er dem einen Menschen so wie dem andern
erscheint; denn wir können die Raumanschauung des einen nicht neben
die des andern legen, um sie zu vergleichen. Aber dennoch ist darin
etwas Objectives enthalten; Alle erkennen dieselben geometrischen
Axiome, wenn auch nur durch die That, an und müssen es, um sich in
der Welt zurechtzufinden. Objectiv ist darin das Gesetzmässige,
Begriffliche, Beurtheilbare, was sich in Worten ausdrücken lässt. Das
rein Anschauliche ist nicht mittheilbar. Nehmen wir zur Verdeutlichung
zwei Vernunftwesen an, denen nur die projectivischen Eigenschaften
und Beziehungen anschaulich sind: das Liegen von drei Punkten in
einer Gerade, von vier Punkten in einer Ebene u. s. w.; es möge dem
einen das als Ebene erscheinen, was das andere als Punkt anschaut und
umgekehrt. Was dem einen die Verbindungslinie von Punkten ist, möge
dem andern die Schnittkante von Ebenen sein u. s. w. immer dualistisch
entsprechend. Dann könnten sie sich sehr wohl mit einander verständigen
und würden die Verschiedenheit ihres Anschauens nie gewahr werden,
weil in der projectivischen Geometrie jedem Lehrsatze ein anderer
dualistisch gegenübersteht; denn das Abweichen in einer ästhetischen
Werthschätzung würde kein sicheres Zeichen sein. In Bezug auf alle
geometrische Lehrsätze wären sie völlig im Einklange; sie würden sich
nur die Wörter in ihre Anschauung verschieden übersetzen. Mit dem Worte
»Punkt« verbände etwa das eine diese, das andere jene Anschauung.
So kann man immerhin sagen, dass ihnen dies Wort etwas Objectives
bedeute; nur darf man unter dieser Bedeutung nicht das Besondere ihrer
Anschauung verstehn. Und in diesem Sinne ist auch die Erdaxe objectiv.

Man denkt gewöhnlich bei »weiss« an eine gewisse Empfindung,
die natürlich ganz subjectiv ist; aber schon im gewöhnlichen
Sprachgebrauche, scheint mir, tritt ein objectiver Sinn vielfach
hervor. Wenn man den Schnee weiss nennt, so will man eine objective
Beschaffenheit ausdrücken, die man beim gewöhnlichen Tageslicht an
einer gewissen Empfindung erkennt. Wird er farbig beleuchtet, so
bringt man das bei der Beurtheilung in Anschlag. Man sagt vielleicht:
er _erscheint_ jetzt roth, aber er ist weiss. Auch der Farbenblinde
kann von roth und grün reden, obwohl er diese Farben in der Empfindung
nicht unterscheidet. Er erkennt den Unterschied daran, dass Andere
ihn machen, oder vielleicht durch einen physikalischen Versuch. So
bezeichnet das Farbenwort oft nicht unsere subjective Empfindung,
von der wir nicht wissen können, dass sie mit der eines Andern
übereinstimmt -- denn offenbar verbürgt das die gleiche Benennung
keineswegs -- sondern eine objective Beschaffenheit. So verstehe ich
unter Objectivität eine Unabhängigkeit von unserm Empfinden, Anschauen
und Vorstellen, von dem Entwerfen innerer Bilder aus den Erinnerungen
früherer Empfindungen, aber nicht eine Unabhängigkeit von der Vernunft;
denn die Frage beantworten, was die Dinge unabhängig von der Vernunft
sind, hiesse urtheilen, ohne zu urtheilen, den Pelz waschen, ohne ihn
nass zu machen.


§ 27. Deswegen kann ich auch _Schloemilch_[45] nicht zustimmen, der
die Zahl Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe nennt[46].
Wäre die Zahl eine Vorstellung, so wäre die Arithmetik Psychologie.
Das ist sie so wenig, wie etwa die Astronomie es ist. Wie sich diese
nicht mit den Vorstellungen der Planeten, sondern mit den Planeten
selbst beschäftigt, so ist auch der Gegenstand der Arithmetik keine
Vorstellung. Wäre die Zwei eine Vorstellung, so wäre es zunächst nur
die meine. Die Vorstellung eines Andern ist schon als solche eine
andere. Wir hätten dann vielleicht viele Millionen Zweien. Man müsste
sagen: meine Zwei, deine Zwei, eine Zwei, alle Zweien. Wenn man latente
oder unbewusste Vorstellungen annimmt, so hätte man auch unbewusste
Zweien, die dann später wieder bewusste würden. Mit den heranwachsenden
Menschen entständen immer neue Zweien, und wer weiss, ob sie sich nicht
in Jahrtausenden so veränderten, dass 2 × 2 = 5 würde. Trotzdem wäre
es zweifelhaft, ob es, wie man gewöhnlich meint, unendlich viele Zahlen
gäbe. Vielleicht wäre 10^{10} nur ein leeres Zeichen, und es gäbe gar
keine Vorstellung, in irgendeinem Wesen, die so benannt werden könnte.

Wir sehen, zu welchen Wunderlichkeiten es führt, wenn man den Gedanken
etwas weiter ausspinnt, dass die Zahl eine Vorstellung sei. Und wir
kommen zu dem Schlusse, dass die Zahl weder räumlich und physikalisch
ist, wie Mills Haufen von Kieselsteinen und Pfeffernüssen, noch auch
subjectiv wie die Vorstellungen, sondern unsinnlich und objectiv. Der
Grund der Objectivität kann ja nicht in dem Sinneseindrucke liegen, der
als Affection unserer Seele ganz subjectiv ist, sondern, soweit ich
sehe, nur in der Vernunft.

Es wäre wunderbar, wenn die allerexacteste Wissenschaft sich auf die
noch zu unsicher tastende Psychologie stützen sollte.



Die Anzahl als Menge.


§ 28. Einige Schriftsteller erklären die Anzahl als eine Menge,
Vielheit oder Mehrheit. Ein Uebelstand besteht hierbei darin, dass die
Zahlen 0 und 1 von dem Begriffe ausgeschlossen werden. Jene Ausdrücke
sind recht unbestimmt: bald nähern sie sich mehr der Bedeutung von
»Haufe,« »Gruppe,« »Aggregat« -- wobei an ein räumliches Zusammensein
gedacht wird -- bald werden sie fast gleichbedeutend mit »Anzahl«
gebraucht, nur unbestimmter. Eine Auseinanderlegung des Begriffes der
Anzahl kann darum in einer solchen Erklärung nicht gefunden werden.
_Thomae_[47] verlangt zur Bildung der Zahl, dass verschiedenen
Objectenmengen verschiedene Namen gegeben werden. Damit ist offenbar
eine schärfere Bestimmung jener Objectenmengen gemeint, für welche
die Namengebung nur das äussere Zeichen ist. Welcher Art nun diese
Bestimmung sei, das ist die Frage. Es würde offenbar die Idee der Zahl
nicht entstehen, wenn man für »3 Sterne,« »3 Finger,« »7 Sterne« Namen
einführen wollte, in denen keine gemeinsamen Bestandtheile erkennbar
wären. Es kommt nicht darauf an, dass überhaupt Namen gegeben werden,
sondern dass für sich bezeichnet werde, was Zahl daran ist. Dazu ist
nöthig, dass es in seiner Besonderheit erkannt sei.

Noch ist folgende Verschiedenheit zu beachten. Einige nennen die Zahl
eine Menge von Dingen oder Gegenständen; Andere wie schon _Euklid_[48],
erklären sie als eine Menge von Einheiten. Dieser Ausdruck bedarf einer
besondern Erörterung.



III. Meinungen über Einheit und Eins.



Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?


§ 29. In den Definitionen, die Euklid am Anfange des 7. Buches der
Elemente giebt, scheint er mit dem Worte »μονάς« bald einen zu
zählenden Gegenstand, bald eine Eigenschaft eines solchen, bald die
Zahl Eins zu bezeichnen. Ueberall kommt man mit der Uebersetzung
»Einheit« durch, aber nur, weil dies Wort selbst in diesen
verschiedenen Bedeutungen schillert.

_Schröder_[49] sagt: »Jedes der zu zählenden Dinge wird Einheit
genannt.« Es fragt sich, weshalb man die Dinge erst unter den Begriff
der Einheit bringt und nicht einfach erklärt: Zahl ist eine Menge von
Dingen, womit wir wieder auf das Vorige zurückgeworfen wären. Man
könnte zunächst in der Benennung der Dinge als Einheiten eine nähere
Bestimmung finden wollen, indem man der sprachlichen Form folgend
»Ein« als Eigenschaftswort ansieht und »Eine Stadt« so auffasst wie
»weiser Mann«. Dann würde eine Einheit ein Gegenstand sein, dem die
Eigenschaft »Ein« zukäme und würde sich zu »Ein« ähnlich verhalten wie
»ein Weiser« zu dem Adjectiv »weise«. Zu den Gründen, die oben dagegen
geltend gemacht sind, dass die Zahl eine Eigenschaft von Dingen sei,
treten hier noch einige besondere hinzu. Auffallend wäre zunächst, dass
jedes Ding diese Eigenschaft hätte. Es wäre unverständlich, weshalb
man überhaupt noch einem Dinge ausdrücklich die Eigenschaft beilegt.
Nur durch die Möglichkeit, dass etwas nicht weise sei, gewinnt die
Behauptung, Solon sei weise, einen Sinn. Der Inhalt eines Begriffes
nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt; wird dieser allumfassend, so muss
der Inhalt ganz verloren gehen. Es ist nicht leicht zu denken, wie die
Sprache dazu käme, ein Eigenschaftswort zu schaffen, das gar nicht dazu
dienen könnte, einen Gegenstand näher zu bestimmen.

Wenn »Ein Mensch« ähnlich wie »weiser Mensch« aufzufassen wäre, so
sollte man denken, dass »Ein« auch als Praedicat gebraucht werden
könnte, sodass man wie »Solon war weise« auch sagen könnte »Solon
war Ein« oder »Solon war Einer«. Wenn nun der letzte Ausdruck auch
vorkommen kann, so ist er doch für sich allein nicht verständlich.
Er kann z. B. heissen: Solon war ein Weiser, wenn »Weiser« aus dem
Zusammenhange zu ergänzen ist. Aber allein scheint »Ein« nicht
Praedicat sein zu können[50]. Noch deutlicher zeigt sich dies
beim Plural. Während man »Solon war weise« und »Thales war weise«
zusammenziehen kann in »Solon und Thales waren weise,« kann man nicht
sagen »Solon und Thales waren Ein«. Hiervon wäre die Unmöglichkeit
nicht einzusehen, wenn »Ein« sowie »weise« eine Eigenschaft sowohl des
Solon als auch des Thales wäre.


§ 30. Damit hangt es zusammen, dass man keine Definition der
Eigenschaft »Ein« hat geben können. Wenn _Leibniz_[51] sagt: »Eines
ist, was wir durch Eine That des Verstandes zusammenfassen«, so erklärt
er »Ein« durch sich selbst. Und können wir nicht auch Vieles durch
Eine That des Verstandes zusammenfassen? Dies wird von _Leibniz_ an
derselben Stelle zugestanden. Aehnlich sagt _Baumann_[52]: »Eines ist,
was wir als Eines auffassen« und weiter: »Was wir als Punkt setzen oder
nicht mehr als getheilt setzen wollen, das sehen wir als Eines an; aber
jedes Eins der äussern Anschauung, der reinen wie der empirischen,
können wir auch als Vieles ansehen. Jede Vorstellung ist Eine, wenn
abgegränzt gegen eine andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder
in Vieles unterschieden werden.« So verwischt sich jede sachliche
Begrenzung des Begriffes und alles hangt von unserer Auffassung ab. Wir
fragen wieder: welchen Sinn kann es haben, irgendeinem Gegenstande die
Eigenschaft »Ein« beizulegen, wenn je nach der Auffassung jeder Einer
sein und auch nicht sein kann? Wie kann auf einem so verschwommenen
Begriffe eine Wissenschaft beruhen, die grade in der grössten
Bestimmtheit und Genauigkeit ihren Ruhm sucht?


§ 31. Obwohl nun _Baumann_[53] den Begriff der Eins auf innerer
Anschauung beruhen lässt, so nennt er doch in der eben angeführten
Stelle als Merkmale die Ungetheiltheit und die Abgegränztheit. Wenn
diese zuträfen, so wäre zu erwarten, dass auch Thiere eine gewisse
Vorstellung von Einheit haben könnten. Ob wohl ein Hund beim Anblick
des Mondes eine wenn auch noch so unbestimmte Vorstellung von dem
hat, was wir mit dem Worte »Ein« bezeichnen? Schwerlich! Und doch
unterscheidet er gewiss einzelne Gegenstände: ein andrer Hund, sein
Herr, ein Stein, mit dem er spielt, erscheinen ihm gewiss ebenso
abgegrenzt, für sich bestehend, ungetheilt wie uns. Zwar wird er einen
Unterschied merken, ob er sich gegen viele Hunde zu vertheidigen
hat oder nur gegen Einen, aber dies ist der von _Mill_ physikalisch
genannte Unterschied. Es käme darauf besonders an, ob er von dem
Gemeinsamen, welches wir durch das Wort »Ein« ausdrücken, ein wenn
auch noch so dunkles Bewusstsein hat z. B. in den Fällen, wo er von
Einem grössern Hunde gebissen wird, und wo er Eine Katze verfolgt.
Das ist mir unwahrscheinlich. Ich folgere daraus, dass die Idee der
Einheit nicht, wie _Locke_[54] meint, dem Verstande durch jenes Object
draussen und jede Idee innen zugeführt, sondern von uns durch die
höhern Geisteskräfte erkannt wird, die uns vom Thiere unterscheiden.
Dann können solche Eigenschaften der Dinge wie Ungetheiltheit und
Abgegrenztheit, die von den Thieren ebenso gut wie von uns bemerkt
werden, nicht das Wesentliche an unserm Begriffe sein.


§ 32. Doch kann man einen gewissen Zusammenhang vermuthen. Darauf
deutet die Sprache hin, indem sie von »Ein« »einig« ableitet. Etwas ist
desto mehr geeignet, als besonderer Gegenstand aufgefasst zu werden,
je mehr die Unterschiede in ihm gegenüber den Unterschieden von der
Umgebung zurücktreten, je mehr der innere Zusammenhang den mit der
Umgebung überwiegt. So bedeutet »einig« eine Eigenschaft, die dazu
veranlasst, etwas in der Auffassung von der Umgebung abzusondern und
für sich zu betrachten. Wenn das französische »uni« »eben,« »glatt«
heisst, so ist dies so zu erklären. Auch das Wort »Einheit« wird in
ähnlicher Weise gebraucht, wenn von politischer Einheit eines Landes,
Einheit eines Kunstwerks gesprochen wird[55]. Aber in diesem Sinne
gehört »Einheit« weniger zu »Ein« als zu »einig« oder »einheitlich.«
Denn, wenn man sagt, die Erde habe Einen Mond, so will man diesen
damit nicht für einen abgegrenzten, für sich bestehenden, ungetheilten
Mond erklären; sondern man sagt dies im Gegensatze zu dem, was bei der
Venus, dem Mars oder dem Jupiter vorkommt. In Bezug auf Abgegrenztheit
und Ungetheiltheit könnten sich die Monde des Jupiter wohl mit unserm
messen und sind in dem Sinne ebenso einheitlich.


§ 33. Die Ungetheiltheit wird von einigen Schriftstellern bis zur
Untheilbarkeit gesteigert. _G. Köpp_[56] nennt jedes unzerlegbar und
für sich bestehend gedachte sinnlich oder nicht sinnlich wahrnehmbare
Ding ein Einzelnes und die zu zählenden Einzelnen Einse, wo offenbar
»Eins« in dem Sinne von »Einheit« gebraucht wird. Indem _Baumann_ seine
Meinung, die äussern Dinge stellten keine strengen Einheiten dar, damit
begründet, dass wir die Freiheit hätten, sie als Vieles zu betrachten,
giebt auch er die Unzerlegbarkeit für ein Merkmal der strengen Einheit
aus. Dadurch dass man den innern Zusammenhang bis zum Unbedingten
steigert, will man offenbar ein Merkmal der Einheit gewinnen, das von
der willkührlichen Auffassung unabhängig ist. Dieser Versuch scheitert
daran, dass dann fast nichts übrig bliebe, was Einheit genannt und
gezählt werden dürfte. Deshalb wird auch sofort der Rückzug damit
angetreten, dass man nicht die Unzerlegbarkeit selbst, sondern das als
unzerlegbar Gedachtwerden als Merkmal aufstellt. Damit ist man denn bei
der schwankenden Auffassung wieder angekommen. Und wird denn dadurch
etwas gewonnen, dass man sich die Sachen anders denkt als sie sind?
Im Gegentheil! aus einer falschen Annahme können falsche Folgerungen
fliessen. Wenn man aber aus der Unzerlegbarkeit nichts schliessen will,
was nützt sie dann? wenn man von der Strenge des Begriffes ohne Schaden
etwas ablassen kann, ja es sogar muss, wozu dann diese Strenge? Aber
vielleicht soll man an die Zerlegbarkeit nur nicht denken. Als ob durch
Mangel an Denken etwas erreicht werden könnte! Es giebt aber Fälle, wo
man gar nicht vermeiden kann, an die Zerlegbarkeit zu denken, wo sogar
ein Schluss auf der Zusammensetzung der Einheit beruht, z. B. bei der
Aufgabe: Ein Tag hat 24 Stunden, wieviel Stunden haben 3 Tage?



Sind die Einheiten einander gleich?


§ 34. So misslingt denn jeder Versuch, die Eigenschaft »Ein« zu
erklären, und wir müssen wohl darauf verzichten, in der Bezeichnung der
Dinge als Einheiten eine nähere Bestimmung zu sehen. Wir kommen wieder
auf unsere Frage zurück: weshalb nennt man die Dinge Einheiten, wenn
»Einheit« nur ein andrer Name für Ding ist, wenn alle Dinge Einheiten
sind oder als solche aufgefasst werden können? _E. Schröder_[57] giebt
als Grund die den Objecten der Zählung zugeschriebene Gleichheit an.
Zunächst ist nicht zu sehen, warum die Wörter »Ding« und »Gegenstand«
dies nicht ebenso gut andeuten könnten. Dann fragt es sich: weshalb
wird den Gegenständen der Zählung Gleichheit zugeschrieben? Wird sie
ihnen nur zugeschrieben, oder sind sie wirklich gleich? Jedenfalls
sind nie zwei Gegenstände durchaus gleich. Andrerseits kann man wohl
fast immer eine Hinsicht ausfindig machen, in der zwei Gegenstände
übereinstimmen. So sind wir wieder bei der willkührlichen Auffassung
angelangt, wenn wir nicht gegen die Wahrheit den Dingen eine
weitergehende Gleichheit zuschreiben wollen, als ihnen zukommt. In der
That nennen viele Schriftsteller die Einheiten ohne Einschränkung
gleich. _Hobbes_[58] sagt: »Die Zahl, absolut gesagt, setzt in
der Mathematik unter sich gleiche Einheiten voraus, aus denen sie
hergestellt wird.« _Hume_[59] hält die zusammensetzenden Theile der
Quantität und Zahl für ganz gleichartig. _Thomae_[60] nennt ein
Individuum der Menge Einheit und sagt: »Die Einheiten sind einander
gleich.« Ebenso gut oder vielmehr richtiger könnte man sagen: die
Individuen der Menge sind von einander verschieden. Was hat nun diese
vorgebliche Gleichheit für die Zahl zu bedeuten? Die Eigenschaften,
durch die sich die Dinge unterscheiden, sind für ihre Anzahl etwas
Gleichgiltiges und Fremdes. Darum will man sie fern halten. Aber das
gelingt in dieser Weise nicht. Wenn man, wie _Thomae_ verlangt, »von
den Eigenthümlichkeiten der Individuen einer Objectenmenge abstrahirt«
oder »bei der Betrachtung getrennter Dinge von den Merkmalen absieht,
durch welche sich die Dinge unterscheiden,« so bleibt nicht, wie
_Lipschitz_ meint, »der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge«
zurück, sondern man erhält einen allgemeinen Begriff, unter den
jene Dinge fallen. Diese selbst verlieren dadurch nichts von ihren
Besonderheiten. Wenn ich z. B. bei der Betrachtung einer weissen und
einer schwarzen Katze von den Eigenschaften absehe, durch die sie sich
unterscheiden, so erhalte ich etwa den Begriff »Katze«. Wenn ich nun
auch beide unter diesen Begriff bringe und sie etwa Einheiten nenne,
so bleibt die weisse doch immer weiss und die schwarze schwarz. Auch
dadurch, dass ich an die Farben nicht denke oder mir vornehme, keine
Schlüsse aus deren Verschiedenheit zu ziehen, werden die Katzen nicht
farblos und bleiben ebenso verschieden, wie sie waren. Der Begriff
»Katze,« der durch die Abstraction gewonnen ist, enthält zwar die
Besonderheiten nicht mehr, ist aber eben dadurch nur Einer.


§ 35. Durch blos begriffliche Verfahrungsweisen gelingt es nicht,
verschiedene Dinge gleich zu machen; gelänge es aber, so hätte man
nicht mehr Dinge, sondern nur Ein Ding; denn, wie _Descartes_[61] sagt,
die Zahl -- besser: die Mehrzahl -- in den Dingen entspringt aus deren
Unterscheidung. _E. Schröder_[62] behauptet mit Recht: »Die Anforderung
Dinge zu zählen kann vernünftiger Weise nur gestellt werden, wo solche
Gegenstände vorliegen, welche deutlich von einander unterscheidbar
z. B. räumlich und zeitlich getrennt und gegen einander abgegrenzt
erscheinen.« In der That erschwert zuweilen die zu grosse Aehnlichkeit
z. B. der Stäbe eines Gitters die Zählung. Mit besonderer Schärfe
drückt sich _W. Stanley Jevons_[63] in diesem Sinne aus: »Zahl ist nur
ein andrer Name für Verschiedenheit. Genaue Identität ist Einheit,
und mit Verschiedenheit entsteht Mehrheit.« Und weiter (S. 157): »Es
ist oft gesagt, dass Einheiten Einheiten sind, insofern sie einander
vollkommen gleichen; aber, obwohl sie in einigen Rücksichten vollkommen
gleich sein mögen, müssen sie mindestens in Einem Punkte verschieden
sein; sonst wäre der Begriff der Mehrheit auf sie unanwendbar. Wenn
drei Münzen so gleich wären, dass sie denselben Raum zu derselben Zeit
einnähmen, so wären sie nicht drei Münzen, sondern Eine Münze.«


§ 36. Aber es zeigt sich bald, dass die Ansicht von der Verschiedenheit
der Einheiten auf neue Schwierigkeiten stösst. _Jevons_ erklärt:
»Eine Einheit (unit) ist irgendein Gegenstand des Denkens, der von
irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden kann, der als
Einheit in derselben Aufgabe behandelt wird.« Hier ist Einheit durch
sich selbst erklärt und der Zusatz »der von irgendeinem andern
Gegenstande unterschieden werden kann« enthält keine nähere Bestimmung,
weil er selbstverständlich ist. Wir nennen den Gegenstand eben nur
darum einen andern, weil wir ihn vom ersten unterscheiden können.
_Jevons_[64] sagt ferner: »Wenn ich das Symbol 5 schreibe, meine ich
eigentlich

            1 + 1 + 1 + 1 + 1

und es ist vollkommen klar, dass jede dieser Einheiten von jeder andern
verschieden ist. Wenn erforderlich, kann ich sie so bezeichnen:

            1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´.«

Gewiss ist es erforderlich, sie verschieden zu bezeichnen, wenn sie
verschieden sind; sonst würde ja die grösste Verwirrung entstehen.
Wenn schon die verschiedene Stelle, an der die Eins erschiene, eine
Verschiedenheit bedeuten sollte, so müsste das als ausnahmslose Regel
hingestellt werden, weil man sonst nie wüsste, ob 1 + 1  2 bedeuten
solle oder 1. Dann müsste man die Gleichung 1 = 1 verwerfen und wäre
in der Verlegenheit, nie dasselbe Ding zum zweiten Male bezeichnen zu
können. Das geht offenbar nicht an. Wenn man aber verschiedenen Dingen
verschiedene Zeichen geben will, so ist nicht einzusehen, weshalb man
in diesen noch einen gemeinsamen Bestandtheil festhält und nicht lieber
statt

            1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´

schreibt

            a + b + c + d + e.

Die Gleichheit ist doch nun einmal verloren gegangen, und die Andeutung
einer gewissen Aehnlichkeit nützt nichts. So zerrinnt uns die Eins
unter den Händen; wir behalten die Gegenstände mit allen ihren
Besonderheiten. Diese Zeichen

            1´, 1´´, 1´´´

sind ein sprechender Ausdruck für die Verlegenheit: wir haben die
Gleichheit nöthig; deshalb die 1; wir haben die Verschiedenheit nöthig;
deshalb die Indices, die nur leider die Gleichheit wieder aufheben.


§ 37. Bei andern Schriftstellern stossen wir auf dieselbe
Schwierigkeit. _Locke_[65] sagt: »Durch Wiederholung der Idee einer
Einheit und Hinzufügung derselben zu einer andern Einheit machen wir
demnach eine collective Idee, die durch das Wort »zwei« bezeichnet
wird. Und wer das thun und so weitergehen kann, immer noch Eins
hinzufügend zu der letzten collectiven Idee, die er von einer Zahl
hatte, und ihr einen Namen geben kann, der kann zählen.« _Leibniz_[66]
definirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten. _Hesse_[67] sagt:
»Wenn man sich eine Vorstellung machen kann von der Einheit, die in der
Algebra mit dem Zeichen 1 ausgedrückt wird, ... so kann man sich auch
eine zweite gleichberechtigte Einheit denken und weitere derselben Art.
Die Vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem Ganzen giebt die
Zahl 2«.

Hier ist auf die Beziehung zu achten, in der die Bedeutungen der
Wörter »Einheit« und »Eins« zu einander stehen. _Leibniz_ versteht
unter Einheit einen Begriff, unter den die Eins und die Eins und die
Eins fallen, wie er denn auch sagt: »Das Abstracte von Eins ist die
Einheit.« _Locke_ und _Hesse_ scheinen Einheit und Eins gleichbedeutend
zu gebrauchen. Im Grunde thut dies wohl auch _Leibniz_; denn indem
er die einzelnen Gegenstände, die unter den Begriff der Einheit
fallen, sämmtlich Eins nennt, bezeichnet er mit diesem Worte nicht den
einzelnen Gegenstand, sondern den Begriff, unter den sie fallen.


§ 38. Um nicht Verwirrung einreissen zu lassen, wird es jedoch gut
sein, einen Unterschied zwischen Einheit und Eins streng aufrecht
zu erhalten. Man sagt »die Zahl Eins« und deutet mit dem bestimmten
Artikel einen bestimmten, einzelnen Gegenstand der wissenschaftlichen
Forschung an. Es giebt nicht verschiedene Zahlen Eins, sondern
nur Eine. Wir haben in 1 einen Eigennamen, der als solcher eines
Plurals ebenso unfähig ist wie »Friedrich der Grosse« oder »das
chemische Element Gold.« Es ist nicht Zufall und nicht eine ungenaue
Bezeichnungsweise, dass man 1 ohne unterscheidende Striche schreibt.
Die Gleichung

            3 - 2 = 1

würde _St. Jevons_ etwa so wiedergeben:

            (1´ + 1´´ + 1´´´) - (1´´ + 1´´´) = 1´

Was würde aber das Ergebniss von

            (1´ + 1´´ + 1´´´) - (1´´´´ + 1´´´´´)

sein? Jedenfalls nicht 1´. Daraus geht hervor, dass es nach seiner
Auffassung nicht nur verschiedene Einsen, sondern auch verschiedene
Zweien u. s. w. geben würde; denn 1´´ + 1´´´ könnte nicht durch
1´´´´ + 1´´´´´ vertreten werden. Man sieht hieraus recht deutlich, dass
die Zahl nicht eine Anhäufung von Dingen ist. Die Arithmetik würde
aufgehoben werden, wollte man statt der Eins, die immer dieselbe ist,
verschiedene Dinge einführen, wenn auch in noch so ähnlichen Zeichen;
gleich dürften sie ja ohne Fehler nicht sein. Man kann doch nicht
annehmen, dass das tiefste Bedürfniss der Arithmetik eine fehlerhafte
Schreibung sei. Darum ist es unmöglich 1 als Zeichen für verschiedene
Gegenstände anzusehen, wie Island, Aldebaran, Solon u. dgl. Am
greifbarsten wird der Unsinn, wenn man an den Fall denkt, dass eine
Gleichung drei Wurzeln hat, nämlich 2 und 5 und 4. Schreibt man nun
nach _Jevons_ für 3:

            1´ + 1´´ + 1´´´,

so würde 1´ hier 2, 1´´ 5 und 1´´´ 4 bedeuten, wenn man unter 1´,
1´´, 1´´´ Einheiten und folglich nach _Jevons_ die hier vorliegenden
Gegenstände des Denkens versteht. Wäre es dann nicht verständlicher für
1´ + 1´´ + 1´´´ zu schreiben

            2 + 5 + 4?

Ein Plural ist nur von Begriffswörtern möglich. Wenn man also von
»Einheiten« spricht, so kann man dies Wort nicht gleichbedeutend mit
dem Eigennamen »Eins« gebrauchen, sondern als Begriffswort. Wenn
»Einheit« »zu zählender Gegenstand« bedeutet, so kann man nicht Zahl
als Einheiten definiren. Wenn man unter »Einheit« einen Begriff
versteht, der die Eins und nur diese unter sich fasst, so hat ein
Plural keinen Sinn, und es ist wieder unmöglich, mit _Leibniz_ Zahl als
Einheiten oder als 1 und 1 und 1 zu definiren. Wenn man das »und« so
gebraucht wie in »Bunsen und Kirchhof,« so ist 1 und 1 und 1 nicht 3,
sondern 1, sowie Gold und Gold und Gold nie etwas anderes als Gold ist.
Das Pluszeichen in

            1 + 1 + 1 = 3

muss also anders als das »und« aufgefasst werden, das eine Sammlung,
eine »collective Idee« bezeichnen hilft.


§ 39. Wir stehen demnach vor folgender Schwierigkeit:

Wenn wir die Zahl durch Zusammenfassung von verschiedenen Gegenständen
entstehen lassen wollen, so erhalten wir eine Anhäufung, in der die
Gegenstände mit eben den Eigenschaften enthalten sind, durch die sie
sich unterscheiden, und das ist nicht die Zahl. Wenn wir die Zahl
andrerseits durch Zusammenfassung von Gleichem bilden wollen, so
fliesst dies immerfort in eins zusammen, und wir kommen nie zu einer
Mehrheit.

Wenn wir mit 1 jeden der zu zählenden Gegenstände bezeichnen, so ist
das ein Fehler, weil Verschiedenes dasselbe Zeichen erhält. Versehen
wir die 1 mit unterscheidenden Strichen, so wird sie für die Arithmetik
unbrauchbar.

Das Wort »Einheit« ist vortrefflich geeignet, diese Schwierigkeit zu
verhüllen; und das ist der -- wenn auch unbewusste -- Grund, warum man
es den Wörtern »Gegenstand« und »Ding« vorzieht. Man nennt zunächst
die zu zählenden Dinge Einheiten, wobei die Verschiedenheit ihr
Recht erhält; dann geht die Zusammenfassung, Sammlung, Vereinigung,
Hinzufügung, oder wie man es sonst nennen will, in den Begriff der
arithmetischen Addition über und das Begriffswort »Einheit« verwandelt
sich unvermerkt in den Eigennamen »Eins«. Damit hat man dann die
Gleichheit. Wenn ich an den Buchstaben =u= ein =n= und daran ein =d=
füge, so sieht jeder leicht ein, dass das nicht die Zahl 3 ist. Wenn
ich aber =u=, =n= und =d= unter den Begriff »Einheit« bringe und nun
für »=u= und =n= und =d=« sage »eine Einheit und eine Einheit und noch
eine Einheit« oder »1 und 1 und 1«, so glaubt man leicht damit die
3 zu haben. Die Schwierigkeit wird durch das Wort »Einheit« so gut
versteckt, dass gewiss nur wenige Menschen eine Ahnung von ihr haben.

Hier könnte _Mill_ mit Recht tadelnd von einem kunstfertigen Handhaben
der Sprache reden; denn hier ist es nicht die äussere Erscheinung eines
Denkvorganges, sondern es spiegelt einen solchen nur vor. Hier hat man
in der That den Eindruck, als ob den von Gedanken leeren Worten eine
gewisse geheimnissvolle Kraft beigelegt werde, wenn Verschiedenes blos
dadurch, dass man es Einheit nennt, gleich werden soll.



Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden.


§ 40. Wir betrachten nun einige Ausführungen, die sich als Versuche zur
Ueberwindung dieser Schwierigkeit darstellen, wenn sie auch wohl nicht
immer mit klarem Bewusstsein in dieser Absicht gemacht sind.

Man kann zunächst eine Eigenschaft des Raumes und der Zeit zu Hilfe
rufen. Ein Raumpunkt ist nämlich von einem andern, eine Gerade
oder Ebene von einer andern, congruente Körper, Flächen- oder
Linienstücke von einander, für sich allein betrachtet, gar nicht zu
unterscheiden, sondern nur in ihrem Zusammensein als Bestandteile
einer Gesammtanschauung. So scheint sich hier Gleichheit mit
Unterscheidbarkeit zu vereinen. Aehnliches gilt von der Zeit. Daher
meint wohl _Hobbes_,[68] dass die Gleichheit der Einheiten anders als
durch Theilung des Continuums entstehe, könne kaum gedacht werden.
_Thomae_[69] sagt: »Stellt man eine Menge von Individuen oder Einheiten
im Raume vor und zählt man sie successive, wozu Zeit erforderlich
ist, so bleibt bei aller Abstraction als unterscheidendes Merkmal
der Einheiten noch ihre verschiedene Stellung im Raume und ihre
verschiedene Aufeinanderfolge in der Zeit übrig.«

Zunächst erhebt sich das Bedenken gegen eine solche Auffassungsweise,
dass dann das Zählbare auf das Räumliche und Zeitliche beschränkt wäre.
Schon _Leibniz_[70] weist die Meinung der Scholastiker zurück, die
Zahl entstehe aus der blossen Theilung des Continuums und könne nicht
auf unkörperliche Dinge angewandt werden. _Baumann_[71] betont die
Unabhängigkeit von Zahl und Zeit. Der Begriff der Einheit sei auch ohne
die Zeit denkbar. _St. Jevons_[72] sagt: »Drei Münzen sind drei Münzen,
ob wir sie nun nach einander zählen oder sie alle zugleich betrachten.
In vielen Fällen ist weder Zeit noch Raum der Grund des Unterschiedes,
sondern allein Qualität. Wir können Gewicht, Trägheit und Härte des
Goldes als drei Eigenschaften auffassen, obgleich keine von diesen
vor noch nach der andern ist weder im Raum noch in der Zeit. Jedes
Mittel der Unterscheidung kann eine Quelle der Vielheit sein.« Ich
füge hinzu: wenn die gezählten Gegenstände nicht wirklich auf einander
folgen, sondern nur nach einander gezählt werden, so kann die Zeit
nicht der Grund der Unterscheidung sein. Denn, um sie nach einander
zählen zu können, müssen wir schon unterscheidende Kennzeichen haben.
Die Zeit ist nur ein psychologisches Erforderniss zum Zählen, hat aber
mit dem Begriffe der Zahl nichts zu thun. Wenn man unräumliche und
unzeitliche Gegenstände durch Raum- oder Zeitpunkte vertreten lässt, so
kann dies vielleicht für die Ausführung der Zählung vortheilhaft sein;
grundsätzlich wird aber dabei die Anwendbarkeit des Zahlbegriffes auf
Unräumliches und Unzeitliches vorausgesetzt.


§ 41. Wird denn aber der Zweck der Vereinigung von Unterscheidbarkeit
und Gleichheit wirklich erreicht, wenn wir von allen unterscheidenden
Kennzeichen ausser den räumlichen und zeitlichen absehen? Nein! Wir
sind der Lösung nicht um Einen Schritt näher gekommen. Die grössere
oder geringere Aehnlichkeit der Gegenstände thut nichts zur Sache,
wenn sie doch zuletzt aus einander gehalten werden müssen. Ich darf
die einzelnen Punkte, Linien u. s. f. hier ebenso wenig alle mit 1
bezeichnen, als ich sie bei geometrischen Betrachtungen sämmtlich A
nennen darf; denn hier wie dort ist es nöthig, sie zu unterscheiden.
Nur für sich, ohne Rücksicht auf ihre räumlichen Beziehungen sind die
Raumpunkte einander gleich. Soll ich sie aber zusammenfassen, so muss
ich sie in ihrem räumlichen Zusammensein betrachten, sonst schmelzen
sie unrettbar in Einem zusammen. Punkte stellen in ihrer Gesammtheit
vielleicht irgendeine sternbildartige Figur vor oder sind irgendwie auf
einer Geraden angeordnet, gleiche Strecken bilden vielleicht mit den
Endpunkten zusammenstossend eine einzige Strecke oder liegen getrennt
von einander. Die so entstehenden Gebilde können für dieselbe Zahl ganz
verschieden sein. So würden wir auch hier verschiedene Fünfen, Sechsen
u. s. w. haben. Die Zeitpunkte sind durch kurze oder lange, gleiche
oder ungleiche Zwischenzeiten getrennt. Alles dies sind Verhältnisse,
die mit der Zahl an sich gar nichts zu thun haben. Ueberall mischt sich
etwas Besonderes ein, worüber die Zahl in ihrer Allgemeinheit weit
erhaben ist. Sogar ein einzelner Moment hat etwas Eigenthümliches,
wodurch er sich etwa von einem Raumpunkte unterscheidet, und wovon
nichts in dem Zahlbegriffe vorkommt.


§ 42. Auch der Ausweg, räumliche und zeitliche Anordnung durch einen
allgemeinern Reihenbegriff zu ersetzen, führt nicht zum Ziele; denn
die Stelle in der Reihe kann nicht der Grund des Unterscheidens der
Gegenstände sein, weil diese schon irgendworan unterschieden sein
müssen, um in eine Reihe geordnet werden zu können. Eine solche
Anordnung setzt immer Beziehungen zwischen den Gegenständen voraus,
seien es nun räumliche oder zeitliche oder logische oder Tonintervalle
oder welche sonst, durch die man sich von einem zum andern leiten
lässt, und die mit deren Unterscheidung nothwendig verbunden sind.

Wenn _Hankel_[73] ein Object 1 mal, 2 mal, 3 mal denken oder setzen
lässt, so scheint auch dies ein Versuch zu sein, die Unterscheidbarkeit
mit der Gleichheit des zu Zählenden zu vereinen. Aber man sieht
auch sofort, dass es kein gelungener ist; denn diese Vorstellungen
oder Anschauungen desselben Gegenstandes müssen, um nicht in Eine
zusammenzufliessen, irgendwie verschieden sein. Ich meine auch, dass
man berechtigt ist, von 45 Millionen Deutschen zu sprechen, ohne vorher
45 Millionen mal einen Normal-Deutschen gedacht oder gesetzt zu haben;
das möchte etwas umständlich sein.


§ 43. Wahrscheinlich um die Schwierigkeiten zu vermeiden, die sich
ergeben, wenn man mit _St. Jevons_ jedes Zeichen 1 einen der gezählten
Gegenstände bedeuten lässt, will E. _Schröder_ dadurch einen Gegenstand
nur abbilden. Die Folge ist, dass er nur das Zahlzeichen, nicht die
Zahl erklärt. Er sagt nämlich[74]: »Um nun ein Zeichen zu erhalten,
welches fähig ist auszudrücken, _wieviele_ jener Einheiten[75]
vorhanden sind, richtet man die Aufmerksamkeit der Reihe nach einmal
auf eine jede derselben und bildet sie mit einem Strich: 1 (eine
_Eins_, ein _Einer_) ab; diese Einer setzt man in eine Zeile neben
einander, verbindet sie jedoch unter sich durch das Zeichen + (plus),
da sonst zum Beispiel 111 nach der gewöhnlichen Zahlenbezeichnung
als einhundert und elf gelesen würde. Man erhält auf diese Weise ein
Zeichen wie:

            1 + 1 + 1 + 1 + 1,

dessen Zusammensetzung man dadurch beschreiben kann, dass man sagt:

            »_Eine natürliche Zahl ist eine Summe von Einern._«

Hieraus sieht man, dass für Schröder die Zahl ein _Zeichen_ ist. Was
durch dies Zeichen ausgedrückt wird, das, was ich bisher Zahl genannt
habe, setzt er mit den Worten »wieviele jener Einheiten vorhanden sind«
als bekannt voraus. Auch unter dem Worte »Eins« versteht er das Zeichen
1, nicht dessen Bedeutung. Das Zeichen + dient ihm zunächst nur als
äusserliches Verbindungsmittel ohne eignen Inhalt; erst später wird die
Addition erklärt. Er hätte wohl kürzer so sagen können: man schreibt
ebensoviele Zeichen 1 neben einander, als man zu zählende Gegenstände
hat, und verbindet sie durch das Zeichen +. Die Null würde dadurch
auszudrücken sein, dass man nichts hinschreibt.


§ 44. Um nicht die unterscheidenden Kennzeichen der Dinge in die Zahl
mitaufzunehmen, sagt _St. Jevons_[76]:

»Es wird jetzt wenig schwierig sein, eine klare Vorstellung von der
Zahlen-Abstraction zu bilden. Sie besteht im Abstrahiren von dem
Charakter der Verschiedenheit, aus der Vielheit entspringt, indem man
lediglich ihr Vorhandensein beibehält. Wenn ich von _drei Männern_
spreche, so brauche ich nicht gleich die Kennzeichen einzeln
anzugeben, an denen man jeden von ihnen von jedem unterscheiden kann.
Diese Kennzeichen müssen vorhanden sein, wenn sie wirklich drei
Männer und nicht ein und derselbe sind, und indem ich von ihnen als
von vielen rede, behaupte ich damit zugleich das Vorhandensein der
erforderlichen Unterschiede. Unbenannte Zahl ist also _die leere Form
der Verschiedenheit_.«

Wie ist das zu verstehn? Man kann entweder von den unterscheidenden
Eigenschaften der Dinge abstrahiren, bevor man sie zu einem Ganzen
vereinigt; oder man kann erst ein Ganzes bilden und dann von der Art
der Unterschiede abstrahiren. Auf dem ersten Wege würden wir gar nicht
zur Unterscheidung der Dinge kommen und also auch das Vorhandensein
der Unterschiede nicht festhalten können; den zweiten Weg scheint
_Jevons_ zu meinen. Aber ich glaube nicht, dass wir so die Zahl 10000
gewinnen würden, weil wir nicht im Stande sind, so viele Unterschiede
gleichzeitig aufzufassen und ihr Vorhandensein festzuhalten; denn,
wenn es nach einander geschähe, so würde die Zahl nie fertig werden.
Wir zählen zwar in der Zeit; aber dadurch gewinnen wir nicht die Zahl,
sondern bestimmen sie nur. Uebrigens ist die Angabe der Weise des
Abstrahirens keine Definition.

Was soll man sich unter der »leeren Form der Verschiedenheit« denken?
etwa einen Satz wie

            »a ist verschieden von b«,

wobei a und b unbestimmt bleiben? Wäre dieser Satz etwa die Zahl 2? Ist
der Satz

            »die Erde hat zwei Pole«

gleichbedeutend mit

            »der Nordpol ist vom Südpol verschieden«?

Offenbar nicht. Der zweite Satz könnte ohne den ersten und dieser ohne
jenen bestehen. Für die Zahl 1000 würden wir dann

            1000 ∙ 999
            ----------
              1  ∙  2

solche Sätze haben, die eine Verschiedenheit ausdrücken.

Was _Jevons_ sagt, passt insbesondere gar nicht auf die 0 und die 1.
Wovon soll man eigentlich abstrahiren, um z. B. vom Monde auf die Zahl
1 zu kommen? Durch Abstrahiren erhält man wohl die Begriffe: Begleiter
der Erde, Begleiter eines Planeten, Himmelskörper ohne eignes Licht,
Himmelskörper, Körper, Gegenstand; aber die 1 ist in dieser Reihe nicht
anzutreffen; denn sie ist kein Begriff, unter den der Mond fallen
könnte. Bei der 0 hat man gar nicht einmal einen Gegenstand, von dem
bei der Abstraction auszugehen wäre. Man wende nicht ein, dass 0 und 1
nicht Zahlen in demselben Sinne seien wie 2 und 3! Die Zahl antwortet
auf die Frage wieviel? und wenn man z. B. fragt: wieviel Monde hat
dieser Planet? so kann man sich ebenso gut auf die Antwort 0 oder 1
wie 2 oder 3 gefasst machen, ohne dass der Sinn der Frage ein andrer
wird. Zwar hat die Zahl 0 etwas Besonderes und ebenso die 1, aber das
gilt im Grunde von jeder ganzen Zahl; nur fällt es bei den grösseren
immer weniger in die Augen. Es ist durchaus willkührlich, hier einen
Artunterschied zu machen. Was nicht auf 0 oder 1 passt, kann für den
Begriff der Zahl nicht wesentlich sein.

Endlich wird durch die Annahme dieser Entstehungsweise der Zahl die
Schwierigkeit gar nicht gehoben, auf die wir bei der Betrachtung der
Bezeichnung

            1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´

für 5 gestossen sind. Diese Schreibung steht gut im Einklänge mit
dem, was _Jevons_ über die zahlenbildende Abstraction sagt; die obern
Striche deuten nämlich an, dass eine Verschiedenheit da ist, ohne
jedoch ihre Art anzugeben. Aber das blosse Bestehen der Verschiedenheit
genügt schon, wie wir gesehen haben, um bei der _Jevons_'schen
Auffassung verschiedene Einsen, Zweien, Dreien hervorzubringen, was
mit dem Bestande der Arithmetik durchaus unverträglich ist.



Lösung der Schwierigkeit.


§ 45. Ueberblicken wir nun das bisher von uns Festgestellte und die
noch unbeantwortet gebliebenen Fragen!

Die Zahl ist nicht in der Weise wie Farbe, Gewicht, Härte von den
Dingen abstrahirt, ist nicht in dem Sinne wie diese Eigenschaft der
Dinge. Es blieb noch die Frage, von wem durch eine Zahlangabe etwas
ausgesagt werde.

Die Zahl ist nichts Physikalisches, aber auch nichts Subjectives, keine
Vorstellung.

Die Zahl entsteht nicht durch Hinzufügung von Ding zu Ding. Auch die
Namengebung nach jeder Hinzufügung ändert darin nichts.

Die Ausdrücke »Vielheit,« »Menge,« »Mehrheit« sind wegen ihrer
Unbestimmtheit ungeeignet, zur Erklärung der Zahl zu dienen.

In Bezug auf Eins und Einheit blieb die Frage, wie die Willkühr der
Auffassung zu beschränken sei, die jeden Unterschied zwischen Einem und
Vielen zu verwischen schien.

Die Abgegrenztheit, die Ungetheiltheit, die Unzerlegbarkeit sind keine
brauchbaren Merkmale für das, was wir durch das Wort »Ein« ausdrücken.

Wenn man die zu zählenden Dinge Einheiten nennt, so ist die unbedingte
Behauptung, dass die Einheiten gleich seien, falsch. Dass sie in
gewisser Hinsicht gleich sind, ist zwar richtig aber werthlos. Die
Verschiedenheit der zu zählenden Dinge ist sogar nothwendig, wenn die
Zahl grösser als 1 werden soll.

So schien es, dass wir den Einheiten zwei widersprechende Eigenschaften
beilegen müssten: die Gleichheit und die Unterscheidbarkeit.

Es ist ein Unterschied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das Wort
»Eins« ist als Eigenname eines Gegenstandes der mathematischen
Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also sinnlos, Zahlen durch
Zusammenfassen von Einsen entstehen zu lassen. Das Pluszeichen in
1 + 1 = 2 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.


§ 46. Um Licht in die Sache zu bringen, wird es gut sein, die Zahl
im Zusammenhange eines Urtheils zu betrachten, wo ihre ursprüngliche
Anwendungsweise hervortritt. Wenn ich in Ansehung derselben äussern
Erscheinung mit derselben Wahrheit sagen kann: »dies ist eine
Baumgruppe« und »dies sind fünf Bäume« oder »hier sind vier Compagnien«
und »hier sind 500 Mann,« so ändert sich dabei weder das Einzelne noch
das Ganze, das Aggregat, sondern meine Benennung. Das ist aber nur
das Zeichen der Ersetzung eines Begriffes durch einen andern. Damit
wird uns als Antwort auf die erste Frage des vorigen Paragraphen nahe
gelegt, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte.
Am deutlichsten ist dies vielleicht bei der Zahl 0. Wenn ich sage: »die
Venus hat 0 Monde«, so ist gar kein Mond oder Aggregat von Monden da,
von dem etwas ausgesagt werden könnte; aber dem _Begriffe_ »Venusmond«
wird dadurch eine Eigenschaft beigelegt, nämlich die, nichts unter
sich zu befassen. Wenn ich sage: »der Wagen des Kaisers wird von vier
Pferden gezogen,« so lege ich die Zahl vier dem Begriffe »Pferd, das
den Wagen des Kaisers zieht,« bei.

Man mag einwenden, dass ein Begriff wie z. B. »Angehöriger des
deutschen Reiches,« obwohl seine Merkmale unverändert bleiben, eine von
Jahr zu Jahr wechselnde Eigenschaft haben würde, wenn die Zahlangabe
eine solche von ihm aussagte. Man kann dagegen geltend machen, dass
auch Gegenstände ihre Eigenschaften ändern, was nicht verhindere,
sie als dieselben anzuerkennen. Hier lässt sich aber der Grund noch
genauer angeben. Der Begriff »Angehöriger des deutschen Reiches«
enthält nämlich die Zeit als veränderlichen Bestandtheil, oder, um mich
mathematisch auszudrücken, ist eine Function der Zeit. Für »a ist
ein Angehöriger des deutschen Reiches« kann man sagen: »a gehört dem
deutschen Reiche an« und dies bezieht sich auf den gerade gegenwärtigen
Zeitpunkt. So ist also in dem Begriffe selbst schon etwas Fliessendes.
Dagegen kommt dem Begriffe »Angehöriger des deutschen Reiches zu
Jahresanfang 1883 berliner Zeit« in alle Ewigkeit dieselbe Zahl zu.


§ 47. Dass eine Zahlangabe etwas Thatsächliches von unserer Auffassung
Unabhängiges ausdrückt, kann nur den Wunder nehmen, welcher den
Begriff für etwas Subjectives gleich der Vorstellung hält. Aber diese
Ansicht ist falsch. Wenn wir z. B. den Begriff des Körpers dem des
Schweren oder den des Wallfisches dem des Säugethiers unterordnen, so
behaupten wir damit etwas Objectives. Wenn nun die Begriffe subjectiv
wären, so wäre auch die Unterordnung des einen unter den andern als
Beziehung zwischen ihnen etwas Subjectives wie eine Beziehung zwischen
Vorstellungen. Freilich auf den ersten Blick scheint der Satz

            »alle Wallfische sind Säugethiere«

von Thieren, nicht von Begriffen zu handeln; aber, wenn man fragt, von
welchem Thiere denn die Rede sei, so kann man kein einziges aufweisen.
Gesetzt, es liege ein Wallfisch vor, so behauptet doch von diesem unser
Satz nichts. Man könnte aus ihm nicht schliessen, das vorliegende Thier
sei ein Säugethier, ohne den Satz hinzuzunehmen, dass es ein Wallfisch
ist, wovon unser Satz nichts enthält. Ueberhaupt ist es unmöglich, von
einem Gegenstande zu sprechen, ohne ihn irgendwie zu bezeichnen oder
zu benennen. Das Wort »Wallfisch« benennt aber kein Einzelwesen. Wenn
man erwidert, allerdings sei nicht von einem einzelnen, bestimmten
Gegenstande die Rede, wohl aber von einem unbestimmten, so meine ich,
dass »unbestimmter Gegenstand« nur ein andrer Ausdruck für »Begriff«
ist, und zwar ein schlechter, widerspruchsvoller. Mag immerhin unser
Satz nur durch Beobachtung an einzelnen Thieren gerechtfertigt werden
können, dies beweist nichts für seinen Inhalt. Für die Frage, wovon
er handelt, ist es gleichgiltig, ob er wahr ist oder nicht, oder aus
welchen Gründen wir ihn für wahr halten. Wenn nun der Begriff etwas
Objectives ist, so kann auch eine Aussage von ihm etwas Thatsächliches
enthalten.


§ 48. Der Schein, der vorhin bei einigen Beispielen entstand, dass
demselben verschiedene Zahlen zukämen, erklärt sich daraus, dass dabei
Gegenstände als Träger der Zahl angenommen wurden. Sobald wir den
wahren Träger, den Begriff, in seine Rechte einsetzen, zeigen sich die
Zahlen so ausschliessend wie in ihrem Bereiche die Farben.

Wir sehen nun auch, wie man dazu kommt, die Zahl durch Abstraction
von den Dingen gewinnen zu wollen. Was man dadurch erhält, ist der
Begriff, an dem man dann die Zahl entdeckt. So geht die Abstraction
in der That oft der Bildung eines Zahlurtheils vorher. Die
Verwechselung ist dieselbe, wie wenn man sagen wollte: der Begriff der
Feuergefährlichkeit wird erhalten, indem man ein Wohnhaus aus Fachwerk
mit einem Brettergiebel und Strohdach baut, dessen Schornsteine undicht
sind.

Die sammelnde Kraft des Begriffes übertrifft weit die vereinigende der
synthetischen Apperception. Durch diese wäre es nicht möglich, die
Angehörigen des deutschen Reiches zu einem Ganzen zu verbinden; wohl
aber kann man sie unter dem Begriff »Angehöriger des deutschen Reiches«
bringen und zählen.

Nun wird auch die grosse Anwendbarkeit der Zahl erklärlich. Es ist
in der That räthselhaft, wie dasselbe von äussern und zugleich von
innern Erscheinungen, von Räumlichem und Zeitlichem und von Raum- und
Zeitlosem ausgesagt werden könne. Dies findet nun in der Zahlangabe
auch gar nicht statt. Nur den Begriffen, unter die das Aeussere und
Innere, das Räumliche und Zeitliche, das Raum- und Zeitlose gebracht
ist, werden Zahlen beigelegt.


§ 49. Wir finden für unsere Ansicht eine Bestätigung bei _Spinoza_,
der sagt[77]: »Ich antworte, dass ein Ding blos rücksichtlich seiner
Existenz, nicht aber seiner Essenz eines oder einzig genannt wird;
denn wir stellen die Dinge unter Zahlen nur vor, nachdem sie auf ein
gemeinsames Maass gebracht sind. Wer z. B. ein Sesterz und einen
Imperial in der Hand hält, wird an die Zweizahl nicht denken, wenn er
nicht dieses Sesterz und diesen Imperial mit einem und dem nämlichen
Namen, nämlich Geldstück oder Münze belegen kann: dann kann er bejahen,
dass er zwei Geldstücke oder Münzen habe; weil er nicht nur das
Sesterz, sondern auch den Imperial mit den Namen Münze bezeichnet.«
Wenn er fortfährt: »Hieraus ist klar, dass ein Ding eins oder einzig
genannt wird, nur nachdem ein anderes Ding ist vorgestellt worden, das
(wie gesagt) mit ihm übereinkommt,« und wenn er meint, dass man nicht
im eigentlichen Sinne Gott einen oder einzig nennen könne, weil wir
von seiner Essenz keinen abstracten Begriff bilden könnten, so irrt er
in der Meinung, der Begriff könne nur unmittelbar durch Abstraction
von mehren Gegenständen gewonnen werden. Vielmehr kann man auch von
den Merkmalen aus zu dem Begriffe gelangen; und dann ist es möglich,
das kein Ding unter ihn fällt. Wenn dies nicht vorkäme, würde man nie
die Existenz verneinen können, und damit verlöre auch die Bejahung der
Existenz ihren Inhalt.


§ 50. E. _Schröder_[78] hebt hervor, dass, wenn von Häufigkeit eines
Dinges solle gesprochen werden können, der Name dieses Dinges stets
ein _Gattungsname_, ein allgemeines Begriffswort (notio communis)
sein müsse: »Sobald man nämlich einen Gegenstand vollständig -- mit
allen seinen Eigenschaften und Beziehungen -- in's Auge fasst, so wird
derselbe einzig in der Welt dastehen und seines gleichen nicht weiter
haben. Der Name des Gegenstandes wird alsdann den Charakter eines
_Eigennamens_ (nomen proprium) tragen und kann der Gegenstand nicht
als ein wiederholt vorkommender gedacht werden. Dieses gilt aber nicht
allein von _concreten_ Gegenständen, es gilt überhaupt von jedem Dinge,
mag dessen Vorstellung auch durch _Abstractionen_ zu Stande kommen,
wofern nur diese Vorstellung solche Elemente in sich schliesst, welche
genügen, das betreffende Ding zu einem _völlig_ bestimmten zu machen.
... Das letztere« (Object der Zählung zu werden) »wird bei einem
Dinge erst insofern möglich, als man von einigen ihm eigenthümlichen
Merkmalen und Beziehungen, durch die es sich von allen andern Dingen
unterscheidet, dabei absieht oder _abstrahirt_, wodurch dann erst der
Name des Dinges zu einem auf mehre Dinge anwendbaren Begriffe wird.«


§ 51. Das Wahre in dieser Ausführung ist in so schiefe und irreführende
Ausdrücke gekleidet, dass eine Entwirrung und Sichtung geboten ist.
Zunächst ist es unpassend, ein allgemeines Begriffswort Namen eines
Dinges zu nennen. Dadurch entsteht der Schein, als ob die Zahl
Eigenschaft eines Dinges wäre. Ein allgemeines Begriffswort bezeichnet
eben einen Begriff. Nur mit dem bestimmten Artikel oder einem
Demonstrativpronomen gilt es als Eigenname eines Dinges, hört aber
damit auf, als Begriffswort zu gelten. Der Name eines Dinges ist ein
Eigenname. Ein Gegenstand kommt nicht wiederholt vor, sondern mehre
Gegenstände fallen unter einen Begriff. Dass ein Begriff nicht nur
durch Abstraction von den Dingen erhalten wird, die unter ihn fallen,
ist schon _Spinoza_ gegenüber bemerkt. Hier füge ich hinzu, dass ein
Begriff dadurch nicht aufhört, Begriff zu sein, dass nur ein einziges
Ding unter ihn fällt, welches demnach völlig durch ihn bestimmt ist.
Einem solchen Begriffe (z. B. Begleiter der Erde) kommt eben die Zahl
1 zu, die in demselben Sinne Zahl ist wie 2 und 3. Bei einem Begriffe
fragt es sich immer, ob etwas und was etwa unter ihn falle. Bei einem
Eigennamen sind solche Fragen sinnlos. Man darf sich nicht dadurch
täuschen lassen, dass die Sprache einen Eigennamen, z. B. Mond, als
Begriffswort verwendet und umgekehrt; der Unterschied bleibt trotzdem
bestehen. Sobald ein Wort mit dem unbestimmten Artikel oder im Plural
ohne Artikel gebraucht wird, ist es Begriffswort.


§ 52. Eine weitere Bestätigung für die Ansicht, dass die Zahl Begriffen
beigelegt wird, kann in dem deutschen Sprachgebrauche gefunden werden,
dass man zehn Mann, vier Mark, drei Fass sagt. Der Singular mag hier
andeuten, dass der Begriff gemeint ist, nicht das Ding. Der Vorzug
dieser Ausdrucksweise tritt besonders bei der Zahl 0 hervor. Sonst
freilich legt die Sprache den Gegenständen, nicht dem Begriffe Zahl
bei: man sagt »Zahl der Ballen,« wie man »Gewicht der Ballen« sagt.
So spricht man scheinbar von Gegenständen, während man in Wahrheit
von einem Begriffe etwas aussagen will. Dieser Sprachgebrauch ist
verwirrend. Der Ausdruck »vier edle Rosse« erweckt den Schein, als ob
»vier« den Begriff »edles Ross« ebenso wie »edel« den Begriff »Ross«
näher bestimme. Jedoch ist nur »edel« ein solches Merkmal; durch das
Wort »vier« sagen wir etwas von einem Begriffe aus.


§ 53. Unter Eigenschaften, die von einem Begriffe ausgesagt
werden, verstehe ich natürlich nicht die Merkmale, die den Begriff
zusammensetzen. Diese sind Eigenschaften der Dinge, die unter den
Begriff fallen, nicht des Begriffes. So ist »rechtwinklig« nicht eine
Eigenschaft des Begriffes »rechtwinkliges Dreieck«; aber der Satz, dass
es kein rechtwinkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck gebe,
spricht eine Eigenschaft des Begriffes »rechtwinkliges, geradliniges,
gleichseitiges Dreieck« aus; diesem wird die Nullzahl beigelegt.

In dieser Beziehung hat die Existenz Aehnlichkeit mit der Zahl. Es ist
ja Bejahung der Existenz nichts Anderes als Verneinung der Nullzahl.
Weil Existenz Eigenschaft des Begriffes ist, erreicht der ontologische
Beweis von der Existenz Gottes sein Ziel nicht. Ebensowenig wie die
Existenz ist aber die Einzigkeit Merkmal des Begriffes »Gott«. Die
Einzigkeit kann nicht zur Definition dieses Begriffes gebraucht werden,
wie man auch die Festigkeit, Geräumigkeit, Wohnlichkeit eines Hauses
nicht mit Steinen, Mörtel und Balken zusammen bei seinem Baue verwenden
kann. Man darf jedoch daraus, dass etwas Eigenschaft eines Begriffes
ist, nicht allgemein schliessen, dass es aus dem Begriffe, d. h. aus
dessen Merkmalen nicht gefolgert werden könne. Unter Umständen ist dies
möglich, wie man aus der Art der Bausteine zuweilen einen Schluss auf
die Dauerhaftigkeit eines Gebäudes machen kann. Daher wäre es zuviel
behauptet, dass niemals aus den Merkmalen eines Begriffes auf die
Einzigkeit oder Existenz geschlossen werden könne; nur kann dies nie so
unmittelbar geschehen, wie man das Merkmal eines Begriffes einem unter
ihn fallenden Gegenstande als Eigenschaft beilegt.

Es wäre auch falsch zu leugnen, dass Existenz und Einzigkeit jemals
Merkmale von Begriffen sein könnten. Sie sind nur nicht Merkmale _der_
Begriffe, denen man sie der Sprache folgend zuschreiben möchte. Wenn
man z. B. alle Begriffe, unter welche nur Ein Gegenstand fällt, unter
einen Begriff sammelt, so ist die Einzigkeit Merkmal dieses Begriffes.
Unter ihn würde z. B. der Begriff »Erdmond,« aber nicht der sogenannte
Himmelskörper fallen. So kann man einen Begriff unter einen höhern, so
zu sagen einen Begriff zweiter Ordnung fallen lassen. Dies Verhältniss
ist aber nicht mit dem der Unterordnung zu verwechseln.


§ 54. Jetzt wird es möglich sein, die Einheit befriedigend zu erklären.
_E. Schröder_ sagt auf S. 7 seines genannten Lehrbuches: »Jener
Gattungsname oder Begriff wird die Benennung der auf die angegebene
Weise gebildeten Zahl genannt und macht das Wesen ihrer Einheit aus.«

In der That, wäre es nicht am passendsten, einen Begriff Einheit zu
nennen in Bezug auf die Anzahl, welche ihm zukommt? Wir können dann
den Aussagen über die Einheit, dass sie von der Umgebung abgesondert
und untheilbar sei, einen Sinn abgewinnen. Denn der Begriff, dem die
Zahl beigelegt wird, grenzt im Allgemeinen das unter ihn Fallende in
bestimmter Weise ab. Der Begriff »Buchstabe des Wortes Zahl« grenzt das
Z gegen das a, dieses gegen das h u. s. w. ab. Der Begriff »Silbe des
Wortes Zahl« hebt das Wort als ein Ganzes und in dem Sinne Untheilbares
heraus, dass die Theile nicht mehr unter den Begriff »Silbe des Wortes
Zahl« fallen. Nicht alle Begriffe sind so beschaffen. Wir können z.
B. das unter den Begriff des Rothen Fallende in mannigfacher Weise
zertheilen, ohne dass die Theile aufhören, unter ihn zu fallen. Einem
solchen Begriffe kommt keine endliche Zahl zu. Der Satz von der
Abgegrenztheit und Untheilbarkeit der Einheit lässt sich demnach so
aussprechen:

Einheit in Bezug auf eine endliche Anzahl kann nur ein solcher Begriff
sein, der das unter ihn Fallende bestimmt abgrenzt und keine beliebige
Zertheilung gestattet.

Man sieht aber, dass Untheilbarkeit hier eine besondere Bedeutung hat.

Nun beantworten wir leicht die Frage, wie die Gleichheit mit der
Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen sei. Das Wort »Einheit«
ist hier in doppeltem Sinne gebraucht. Gleich sind die Einheiten in
der oben erklärten Bedeutung dieses Worts. In dem Satze: »Jupiter hat
vier Monde« ist die Einheit »Jupitersmond«. Unter diesen Begriff fällt
sowohl I als auch II, als auch III, als auch IV. Daher kann man sagen:
die Einheit, auf die I bezogen wird, ist gleich der Einheit, auf die II
bezogen wird u. s. f. Da haben wir die Gleichheit. Wenn man aber die
Unterscheidbarkeit der Einheiten behauptet, so versteht man darunter
die der gezählten Dinge.



IV. Der Begriff der Anzahl.



Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.


§ 55. Nachdem wir erkannt haben, dass die Zahlangabe eine Aussage
von einem Begriffe enthält, können wir versuchen, die leibnizischen
Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der 0 und der 1 zu ergänzen.

Es liegt nahe zu erklären: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn
kein Gegenstand unter ihn fällt. Aber hier scheint an die Stelle der
0 das gleichbedeutende »kein« getreten zu sein; deshalb ist folgender
Wortlaut vorzuziehen: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn
allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter diesen
Begriff falle.

In ähnlicher Weise könnte man sagen: einem Begriffe F kommt die Zahl 1
zu, wenn nicht allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht
unter F falle, und wenn aus den Sätzen

            »a fällt unter F« und »b fällt unter F«

allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind.

Es bleibt noch übrig, den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden
allgemein zu erklären. Wir versuchen folgenden Wortlaut: dem Begriffe F
kommt die Zahl (n + 1) zu, wenn es einen Gegenstand a giebt, der unter
F fällt und so beschaffen ist, dass dem Begriffe »unter F fallend, aber
nicht a« die Zahl n zukommt.


§ 56. Diese Erklärungen bieten sich nach unsern bisherigen Ergebnissen
so ungezwungen dar, dass es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht
genügen können.

Am ehesten wird die letzte Definition Bedenken erregen; denn genau
genommen ist uns der Sinn des Ausdruckes »dem Begriffe G kommt die
Zahl n zu« ebenso unbekannt wie der des Ausdruckes »dem Begriffe F
kommt die Zahl (n + 1) zu.« Zwar können wir mittels dieser und der
vorletzten Erklärung sagen, was es bedeute

            »dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 zu,«

und dann, indem wir dies benutzen, den Sinn des Ausdruckes

            »dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 + 1 zu«

angeben u. s. w.; aber wir können -- um ein krasses Beispiel zu geben
-- durch unsere Definitionen nie entscheiden, ob einem Begriffe die
Zahl _Julius Caesar_ zukomme, ob dieser bekannte Eroberer Galliens
eine Zahl ist oder nicht. Wir können ferner mit Hilfe unserer
Erklärungsversuche nicht beweisen, dass a = b sein muss, wenn dem
Begriffe F die Zahl a zukommt, und wenn demselben die Zahl b zukommt.
Der Ausdruck »_die_ Zahl, welche dem Begriffe F zukommt« wäre also
nicht zu rechtfertigen und dadurch würde es überhaupt unmöglich, eine
Zahlengleichheit zu beweisen, weil wir gar nicht eine bestimmte Zahl
fassen könnten. Es ist nur Schein, dass wir die 0, die 1 erklärt haben;
in Wahrheit haben wir nur den Sinn der Redensarten

            »die Zahl 0 kommt zu,«
            »die Zahl 1 kommt zu«

festgestellt; aber es nicht erlaubt, hierin die 0, die 1 als
selbständige, wiedererkennbare Gegenstände zu unterscheiden.


§ 57. Es ist hier der Ort, unsern Ausdruck, dass die Zahlangabe
eine Aussage von einem Begriffe enthalte, etwas genauer ins Auge
zu fassen. In dem Satze »dem Begriffe F kommt die Zahl 0 zu« ist 0
nur ein Theil des Praedicates, wenn wir als sachliches Subject den
Begriff F betrachten. Deshalb habe ich es vermieden, eine Zahl wie
0, 1, 2 _Eigenschaft_ eines Begriffes zu nennen. Die einzelne Zahl
erscheint eben dadurch, dass sie nur einen Theil der Aussage bildet,
als selbständiger Gegenstand. Ich habe schon oben darauf aufmerksam
gemacht, dass man »die 1« sagt und durch den bestimmten Artikel 1
als Gegenstand hinstellt. Diese Selbständigkeit zeigt sich überall
in der Arithmetik, z. B. in der Gleichung 1 + 1 = 2. Da es uns
hier darauf ankommt, den Zahlbegriff so zu fassen, wie er für die
Wissenschaft brauchbar ist, so darf es uns nicht stören, dass im
Sprachgebrauche des Lebens die Zahl auch attributiv erscheint. Dies
lässt sich immer vermeiden. Z. B. kann man den Satz »Jupiter hat vier
Monde« umsetzen in »die Zahl der Jupitersmonde ist vier«. Hier darf
das »ist« nicht als blosse Copula betrachtet werden, wie in dem Satze
»der Himmel ist blau«. Das zeigt sich darin, dass man sagen kann:
»die Zahl der Jupitersmonde ist die vier« oder »ist die Zahl 4«. Hier
hat »ist« den Sinn von »ist gleich,« »ist dasselbe wie«. Wir haben
also eine Gleichung, die behauptet, dass der Ausdruck »die Zahl der
Jupitersmonde« denselben Gegenstand bezeichne wie das Wort »vier.« Und
die Form der Gleichung ist die herrschende in der Arithmetik. Gegen
diese Auffassung streitet nicht, dass in dem Worte »vier« nichts von
Jupiter oder von Mond enthalten ist. Auch in dem Namen »Columbus« liegt
nichts von Entdecken oder von Amerika und dennoch wird derselbe Mann
Columbus und der Entdecker Amerikas genannt.


§ 58. Man könnte einwenden, dass wir uns von dem Gegenstande, den
wir Vier oder die Anzahl der Jupitersmonde nennen, als von etwas
Selbständigem durchaus keine Vorstellung[79] machen können. Aber die
Selbständigkeit, die wir der Zahl gegeben haben, ist nicht Schuld
daran. Zwar glaubt man leicht, dass in der Vorstellung von vier Augen
eines Würfels etwas vorkomme, was dem Worte »vier« entspräche; aber
das ist Täuschung. Man denke an eine grüne Wiese und versuche, ob
sich die Vorstellung ändert, wenn man den unbestimmten Artikel durch
das Zahlwort »Ein« ersetzt. Es kommt nichts hinzu, während doch dem
Worte »grün« etwas in der Vorstellung entspricht. Wenn man sich das
gedruckte Wort »Gold« vorstellt, wird man zunächst an keine Zahl dabei
denken. Fragt man sich nun, aus wieviel Buchstaben es bestehe, so
ergiebt sich die Zahl 4; aber die Vorstellung wird dadurch nicht etwa
bestimmter, sondern kann ganz unverändert bleiben. Der hinzutretende
Begriff »Buchstabe des Wortes Gold« ist eben das, woran wir die Zahl
entdecken. Bei den vier Augen eines Würfels ist die Sache etwas
versteckter, weil der Begriff sich uns durch die Aehnlichkeit der Augen
so unmittelbar aufdrängt, dass wir sein Dazwischentreten kaum bemerken.
Die Zahl kann weder als selbständiger Gegenstand noch als Eigenschaft
an einem äussern Dinge vorgestellt werden, weil sie weder etwas
Sinnliches noch Eigenschaft eines äussern Dinges ist. Am deutlichsten
ist die Sache wohl bei der Zahl 0. Man wird vergebens versuchen, sich 0
sichtbare Sterne vorzustellen. Zwar kann man sich den Himmel ganz mit
Wolken überzogen denken; aber hierin ist nichts, was dem Worte »Stern«
oder der 0 entspräche. Man stellt sich nur eine Sachlage vor, die zu
dem Urtheile veranlassen kann: es ist jetzt kein Stern zu sehen.


§ 59. Jedes Wort erweckt vielleicht irgendeine Vorstellung in uns,
sogar ein solches wie »nur«; aber sie braucht nicht dem Inhalte des
Wortes zu entsprechen; sie kann in andern Menschen eine ganz andere
sein. Man wird sich dann wohl eine Sachlage vorstellen, die zu einem
Satze auffordert, in welchem das Wort vorkommt; oder es ruft etwa das
gesprochene Wort das geschriebene ins Gedächtniss zurück.

Dies findet nicht nur bei Partikeln statt. Es unterliegt wohl keinem
Zweifel, dass wir keine Vorstellung unserer Entfernung von der Sonne
haben. Denn, wenn wir auch die Regel kennen, wie oft wir einen Maasstab
vervielfältigen müssen, so misslingt doch jeder Versuch, nach dieser
Regel uns ein Bild zu entwerfen, das auch nur einigermaassen dem
Gewollten nahe kommt. Das ist aber kein Grund, die Richtigkeit der
Rechnung zu bezweifeln, durch welche die Entfernung gefunden ist, und
hindert uns in keiner Weise, weitere Schlüsse auf das Bestehen dieser
Entfernung zu gründen.


§ 60. Selbst ein so concretes Ding wie die Erde können wir uns nicht so
vorstellen, wie wir erkannt haben, dass es ist; sondern wir begnügen
uns mit einer Kugel von mässiger Grösse, die uns als Zeichen für die
Erde gilt; aber wir wissen, dass diese sehr davon verschieden ist.
Obwohl nun unsere Vorstellung das Gewollte oft gar nicht trifft, so
urtheilen wir doch mit grosser Sicherheit über einen Gegenstand wie die
Erde auch da, wo die Grösse in Betracht kommt.

Wir werden durch das Denken gar oft über das Vorstellbare
hinausgeführt, ohne damit die Unterlage für unsere Schlüsse zu
verlieren. Wenn auch, wie es scheint, uns Menschen Denken ohne
Vorstellungen unmöglich ist, so kann doch deren Zusammenhang mit dem
Gedachten ganz äusserlich, willkührlich und conventionell sein.

Es ist also die Unvorstellbarkeit des Inhaltes eines Wortes kein Grund,
ihm jede Bedeutung abzusprechen oder es vom Gebrauche auszuschliessen.
Der Schein des Gegentheils entsteht wohl dadurch, dass wir die Wörter
vereinzelt betrachten und nach ihrer Bedeutung fragen, für welche wir
dann eine Vorstellung nehmen. So scheint ein Wort keinen Inhalt zu
haben, für welches uns ein entsprechendes inneres Bild fehlt. Man muss
aber immer einen vollständigen Satz ins Auge fassen. Nur in ihm haben
die Wörter eigentlich eine Bedeutung. Die innern Bilder, die uns dabei
etwa vorschweben, brauchen nicht den logischen Bestandtheilen des
Urtheils zu entsprechen. Es genügt, wenn der Satz als Ganzes einen Sinn
hat; dadurch erhalten auch seine Theile ihren Inhalt.

Diese Bemerkung scheint mir geeignet, auf manche schwierige Begriffe
wie den des Unendlichkleinen[80] ein Licht zu werfen, und ihre
Tragweite beschränkt sich wohl nicht auf die Mathematik.

Die Selbständigkeit, die ich für die Zahl in Anspruch nehme, soll nicht
bedeuten, dass ein Zahlwort ausser dem Zusammenhange eines Satzes etwas
bezeichne, sondern ich will damit nur dessen Gebrauch als Praedicat
oder Attribut ausschliessen, wodurch seine Bedeutung etwas verändert
wird.


§ 61. Aber, wendet man vielleicht ein, mag auch die Erde eigentlich
unvorstellbar sein, so ist sie doch ein äusseres Ding, das einen
bestimmten Ort hat; aber wo ist die Zahl 4? sie ist weder ausser uns
noch in uns. Das ist in räumlichem Sinne verstanden richtig. Eine
Ortsbestimmung der Zahl 4 hat keinen Sinn; aber daraus folgt nur, dass
sie kein räumlicher Gegenstand ist, nicht, dass sie überhaupt keiner
ist. Nicht jeder Gegenstand ist irgendwo. Auch unsere Vorstellungen[81]
sind in diesem Sinne nicht in uns (subcutan). Da sind Ganglienzellen,
Blutkörperchen und dergl., aber keine Vorstellungen. Räumliche
Praedicate sind auf sie nicht anwendbar: die eine ist weder rechts
noch links von der andern; Vorstellungen haben keine in Millimetern
angebbaren Entfernungen von einander. Wenn wir sie dennoch in uns
nennen, so wollen wir sie damit als subjectiv bezeichnen.

Aber wenn auch das Subjective keinen Ort hat, wie ist es möglich, dass
die objective Zahl 4 nirgendwo sei? Nun ich behaupte, dass darin gar
kein Widerspruch liegt. Sie ist in der That genau dieselbe für jeden,
der sich mit ihr beschäftigt; aber dies hat mit Räumlichkeit nichts zu
schaffen. Nicht jeder objective Gegenstand hat einen Ort.



Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer
Zahlengleichung feststellen.


§ 62. Wie soll uns denn eine Zahl gegeben sein, wenn wir keine
Vorstellung oder Anschauung von ihr haben können? Nur im Zusammenhange
eines Satzes bedeuten die Wörter etwas. Es wird also darauf ankommen,
den Sinn eines Satzes zu erklären, in dem ein Zahlwort vorkommt. Das
giebt zunächst noch viel der Willkühr anheim. Aber wir haben schon
festgestellt, dass unter den Zahlwörtern selbständige Gegenstände
zu verstehen sind. Damit ist uns eine Gattung von Sätzen gegeben,
die einen Sinn haben müssen, der Sätze, welche ein Wiedererkennen
ausdrücken. Wenn uns das Zeichen a einen Gegenstand bezeichnen soll,
so müssen wir ein Kennzeichen haben, welches überall entscheidet, ob b
dasselbe sei wie a, wenn es auch nicht immer in unserer Macht steht,
dies Kennzeichen anzuwenden. In unserm Falle müssen wir den Sinn des
Satzes

            »die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist dieselbe,
            welche dem Begriffe G zukommt«

erklären; d. h. wir müssen den Inhalt dieses Satzes in anderer Weise
wiedergeben, ohne den Ausdruck

            »die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt«

zu gebrauchen. Damit geben wir ein allgemeines Kennzeichen für die
Gleichheit von Zahlen an. Nachdem wir so ein Mittel erlangt haben, eine
bestimmte Zahl zu fassen und als dieselbe wiederzuerkennen, können wir
ihr ein Zahlwort zum Eigennamen geben.


§ 63. Ein solches Mittel nennt schon _Hume_[82]: »Wenn zwei Zahlen
so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder
Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.« Es
scheint in neuerer Zeit die Meinung unter den Mathematikern[83]
vielfach Anklang gefunden zu haben, dass die Gleichheit der Zahlen
mittels der eindeutigen Zuordnung definirt werden müsse. Aber es
erheben sich zunächst logische Bedenken und Schwierigkeiten, an denen
wir nicht ohne Prüfung vorbeigehen dürfen.

Das Verhältniss der Gleichheit kommt nicht nur bei Zahlen vor. Daraus
scheint zu folgen, dass es nicht für diesen Fall besonders erklärt
werden darf. Man sollte denken, dass der Begriff der Gleichheit schon
vorher feststände, und dass dann aus ihm und dem Begriffe der Anzahl
sich ergeben müsste, wann Anzahlen einander gleich wären, ohne dass es
dazu noch einer besondern Definition bedürfte.

Hiergegen ist zu bemerken, dass für uns der Begriff der Anzahl noch
nicht feststeht, sondern erst mittels unserer Erklärung bestimmt werden
soll. Unsere Absicht ist, den Inhalt eines Urtheils zu bilden, der sich
so als eine Gleichung auffassen lässt, dass jede Seite dieser Gleichung
eine Zahl ist. Wir wollen also nicht die Gleichheit eigens für diesen
Fall erklären, sondern mittels des schon bekannten Begriffes der
Gleichheit, das gewinnen, was als gleich zu betrachten ist. Das scheint
freilich eine sehr ungewöhnliche Art der Definition zu sein, welche
wohl von den Logikern noch nicht genügend beachtet ist; dass sie aber
nicht unerhört ist, mögen einige Beispiele zeigen.


§ 64. Das Urtheil: »die Gerade a ist parallel der Gerade b,« in Zeichen:

            a ∥ b,

kann als Gleichung aufgefasst werden. Wenn wir dies thun, erhalten
wir den Begriff der Richtung und sagen: »die Richtung der Gerade
a ist gleich der Richtung der Gerade b«. Wir ersetzen also das
Zeichen ∥ durch das allgemeinere =, indem wir den besondern Inhalt
des ersteren an a und b vertheilen. Wir zerspalten den Inhalt in
anderer als der ursprünglichen Weise und gewinnen dadurch einen neuen
Begriff. Oft fasst man freilich die Sache umgekehrt auf, und manche
Lehrer definiren: parallele Geraden sind solche von gleicher Richtung.
Der Satz: »wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind
sie einander parallel« lässt sich dann mit Berufung auf den ähnlich
lautenden Gleichheitssatz sehr bequem beweisen. Nur schade, dass
der wahre Sachverhalt damit auf den Kopf gestellt wird! Denn alles
Geometrische muss doch wohl ursprünglich anschaulich sein. Nun frage
ich, ob jemand eine Anschauung von der Richtung einer Gerade hat. Von
der Gerade wohl! aber unterscheidet man in der Anschauung von dieser
Gerade noch ihre Richtung? Schwerlich! Dieser Begriff wird erst durch
eine an die Anschauung anknüpfende geistige Thätigkeit gefunden.
Dagegen hat man eine Vorstellung von parallelen Geraden. Jener Beweis
kommt nur durch eine Erschleichung zu Stande, indem man durch den
Gebrauch des Wortes »Richtung« das zu Beweisende voraussetzt; denn
wäre der Satz: »wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind
sie einander parallel« unrichtig, so könnte man a ∥ b nicht in eine
Gleichung verwandeln.

So kann man aus dem Parallelismus von Ebenen einen Begriff erhalten,
der dem der Richtung bei Geraden entspricht. Ich habe dafür den Namen
»Stellung« gelesen. Aus der geometrischen Aehnlichkeit geht der Begriff
der Gestalt hervor, so dass man z. B. statt »die beiden Dreiecke sind
ähnlich« sagt: »die beiden Dreiecke haben gleiche Gestalt« oder »die
Gestalt des einen Dreiecks ist gleich der Gestalt des andern«. So kann
man auch aus der collinearen Verwandtschaft geometrischer Gebilde einen
Begriff gewinnen, für den ein Name wohl noch fehlt.


§ 65. Um nun z. B. vom Parallelismus[84] auf den Begriff der Richtung
zu kommen, versuchen wir folgende Definition:

der Satz

            »die Gerade a ist parallel der Gerade b«

sei gleichbedeutend mit

            »die Richtung der Gerade a ist gleich der Richtung
            der Gerade b«.

Diese Erklärung weicht insofern von dem Gewohnten ab, als sie scheinbar
die schon bekannte Beziehung der Gleichheit bestimmt, während sie in
Wahrheit den Ausdruck »die Richtung der Gerade a« einführen soll, der
nur nebensächlich vorkommt. Daraus entspringt ein zweites Bedenken,
ob wir nicht durch eine solche Festsetzung in Widersprüche mit den
bekannten Gesetzen der Gleichheit verwickelt werden könnten. Welches
sind diese? Sie werden als analytische Wahrheiten aus dem Begriffe
selbst entwickelt werden können. Nun definirt _Leibniz_[85]:

            »Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri
            salva veritate«.

Diese Erklärung eigne ich mir für die Gleichheit an. Ob man wie
_Leibniz_ »dasselbe« sagt oder »gleich«, ist unerheblich. »Dasselbe«
scheint zwar eine vollkommene Uebereinstimmung, »gleich« nur eine in
dieser oder jener Hinsicht auszudrücken; man kann aber eine solche
Redeweise annehmen, dass dieser Unterschied wegfällt, indem man z.
B. statt »die Strecken sind in der Länge gleich« sagt »die Länge der
Strecken ist gleich« oder »dieselbe,« statt »die Flächen sind in
der Farbe gleich« »die Farbe der Flächen ist gleich«. Und so haben
wir das Wort oben in den Beispielen gebraucht. In der allgemeinen
Ersetzbarkeit sind nun in der That alle Gesetze der Gleichheit
enthalten.

Um unsern Definitionsversuch der Richtung einer Gerade zu
rechtfertigen, müssten wir also zeigen, dass man

            die Richtung von a

überall durch

            die Richtung von b

ersetzen könne, wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist. Dies wird
dadurch vereinfacht, dass man zunächst von der Richtung einer Gerade
keine andere Aussage kennt als die Uebereinstimmung mit der Richtung
einer andern Gerade. Wir brauchten also nur die Ersetzbarkeit in
einer solchen Gleichheit nachzuweisen oder in Inhalten, welche solche
Gleichheiten als Bestandtheile[86] enthalten würden. Alle andern
Aussagen von Richtungen müssten erst erklärt werden und für diese
Definitionen können wir die Regel aufstellen, dass die Ersetzbarkeit
der Richtung einer Gerade durch die einer ihr parallelen gewahrt
bleiben muss.


§ 66. Aber noch ein drittes Bedenken erhebt sich gegen unsern
Definitionsversuch. In dem Satze

            »die Richtung von a ist gleich der Richtung von b«

erscheint die Richtung von a als Gegenstand[87] und wir haben in
unserer Definition ein Mittel, diesen Gegenstand wiederzuerkennen, wenn
er etwa in einer andern Verkleidung etwa als Richtung von b auftreten
sollte. Aber dies Mittel reicht nicht für alle Fälle aus. Man kann z.
B. danach nicht entscheiden, ob England dasselbe sei wie die Richtung
der Erdaxe. Man verzeihe dies unsinnig scheinende Beispiel! Natürlich
wird niemand England mit der Richtung der Erdaxe verwechseln; aber dies
ist nicht das Verdienst unserer Erklärung. Diese sagt nichts darüber,
ob der Satz

            »die Richtung von a ist gleich q«

zu bejahen oder zu verneinen ist, wenn nicht q selbst in der Form »die
Richtung von b« gegeben ist. Es fehlt uns der Begriff der Richtung;
denn hätten wir diesen, so könnten wir festsetzen; wenn q keine
Richtung ist, so ist unser Satz zu verneinen; wenn q eine Richtung ist,
so entscheidet die frühere Erklärung. Es liegt nun nahe zu erklären:

            q ist eine Richtung, wenn es eine Gerade b giebt,
            deren Richtung q ist.

Aber nun ist klar, dass wir uns im Kreise gedreht haben. Um diese
Erklärung anwenden zu können, müssen wir schon in jedem Falle wissen,
ob der Satz

            »q ist gleich der Richtung von b«

zu bejahen oder zu verneinen wäre.


§ 67. Wenn man sagen wollte: q ist eine Richtung, wenn es durch die
oben ausgesprochene Definition eingeführt ist, so würde man die Weise,
wie der Gegenstand q eingeführt ist, als dessen Eigenschaft behandeln,
was sie nicht ist. Die Definition eines Gegenstandes sagt als solche
eigentlich nichts von ihm aus, sondern setzt die Bedeutung eines
Zeichens fest. Nachdem das geschehen ist, verwandelt sie sich in ein
Urtheil, das von dem Gegenstande handelt, aber führt ihn nun auch nicht
mehr ein und steht mit andern Aussagen von ihm in gleicher Linie. Man
würde, wenn man diesen Ausweg wählte, voraussetzen, dass ein Gegenstand
nur auf eine einzige Weise gegeben werden könnte; denn sonst würde
daraus, dass q nicht durch unsere Definition eingeführt ist, nicht
folgen, dass es nicht so eingeführt werden könnte. Alle Gleichungen
würden darauf hinauskommen, dass das als dasselbe anerkannt würde, was
uns auf dieselbe Weise gegeben ist. Aber dies ist so selbstverständlich
und so unfruchtbar, dass es nicht verlohnte, es auszusprechen. Man
könnte in der That keinen Schluss daraus ziehen, der von jeder der
Voraussetzungen verschieden wäre. Die vielseitige und bedeutsame
Verwendbarkeit der Gleichungen beruht vielmehr darauf, dass man etwas
wiedererkennen kann, obwohl es auf verschiedene Weise gegeben ist.


§ 68. Da wir so keinen scharf begrenzten Begriff der Richtung und aus
denselben Gründen keinen solchen der Anzahl gewinnen können, versuchen
wir einen andern Weg. Wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist, so
ist der Umfang des Begriffes »Gerade parallel der Gerade a« gleich dem
Umfange des Begriffes »Gerade parallel der Gerade b«; und umgekehrt:
wenn die Umfänge der genannten Begriffe gleich sind, so ist a parallel
b. Versuchen wir also zu erklären:

    die Richtung der Gerade a ist der Umfang des Begriffes »parallel
    der Gerade a«;

    die Gestalt des Dreiecks d ist der Umfang des Begriffes Ȋhnlich
    dem Dreiecke d«!

Wenn wir dies auf unsern Fall anwenden wollen, so haben wir an die
Stelle der Geraden oder der Dreiecke Begriffe zu setzen und an die
Stelle des Parallelismus oder der Aehnlichkeit die Möglichkeit die
unter den einen den unter den andern Begriff fallenden Gegenständen
beiderseits eindeutig zuzuordnen. Ich will der Kürze wegen den Begriff
F dem Begriffe G _gleichzahlig_ nennen, wenn diese Möglichkeit
vorliegt, muss aber bitten, dies Wort als eine willkührlich gewählte
Bezeichnungsweise zu betrachten, deren Bedeutung nicht der sprachlichen
Zusammensetzung, sondern dieser Festsetzung zu entnehmen ist.

Ich definire demnach:

    die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang[88] des
    Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«


§ 69. Dass diese Erklärung zutreffe, wird zunächst vielleicht wenig
einleuchten. Denkt man sich unter dem Umfange eines Begriffes
nicht etwas Anderes? Was man sich darunter denkt, erhellt aus den
ursprünglichen Aussagen, die von Begriffsumfängen gemacht werden
können. Es sind folgende:

1. die Gleichheit,

2. dass der eine umfassender als der andere sei.

Nun ist der Satz:

    der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F« ist gleich
    dem Umfange des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe G«

immer dann und nur dann wahr, wenn auch der Satz

    »dem Begriffe F kommt dieselbe Zahl wie dem Begriffe G zu«

wahr ist. Hier ist also voller Einklang.

Man sagt zwar nicht, dass eine Zahl umfassender als eine andere sei in
dem Sinne, wie der Umfang eines Begriffes umfassender als der eines
andern ist; aber der Fall, dass

    der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«

umfassender sei als

    der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe G«

kann auch gar nicht vorkommen; sondern, wenn alle Begriffe, die dem G
gleichzahlig sind, auch dem F gleichzahlig sind, so sind auch umgekehrt
alle Begriffe, die dem F gleichzahlig sind, dem G gleichzahlig. Dies
»umfassender« darf natürlich nicht mit dem »grösser« verwechselt
werden, dass bei Zahlen vorkommt.

Freilich ist noch der Fall denkbar, dass der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe F« umfassender oder weniger umfassend wäre
als ein anderer Begriffsumfang, der dann nach unserer Erklärung keine
Anzahl sein könnte; und es ist nicht üblich, eine Anzahl umfassender
oder weniger umfassend als den Umfang eines Begriffes zu nennen; aber
es steht auch nichts im Wege, eine solche Redeweise anzunehmen, falls
solches einmal vorkommen sollte.



Ergänzung und Bewährung unserer Definition.


§ 70. Definitionen bewähren sich durch ihre Fruchtbarkeit. Solche, die
ebensogut wegbleiben könnten, ohne eine Lücke in der Beweisführung zu
öffnen, sind als völlig werthlos zu verwerfen.

Versuchen wir also, ob sich bekannte Eigenschaften der Zahlen aus
unserer Erklärung der Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ableiten
lassen! Wir werden uns hier mit den einfachsten begnügen.

Dazu ist es nöthig, die Gleichzahligkeit noch etwas genauer zu fassen.
Wir erklärten sie mittels der beiderseits eindeutigen Zuordnung, und
wie ich diesen Ausdruck verstehen will, ist jetzt darzulegen, weil man
leicht etwas Anschauliches darin vermuthen könnte.

Betrachten wir folgendes Beispiel! Wenn ein Kellner sicher sein will,
dass er ebensoviele Messer als Teller auf den Tisch legt, braucht
er weder diese noch jene zu zählen, wenn er nur rechts neben jeden
Teller ein Messer legt, sodass jedes Messer auf dem Tische sich
rechts neben einem Teller befindet. Die Teller und Messer sind so
beiderseits eindeutig einander zugeordnet und zwar durch das gleiche
Lagenverhältniss. Wenn wir in dem Satze

            »α liegt rechts neben A«

für α und A andere und andere Gegenstände eingesetzt denken, so macht
der hierbei unverändert bleibende Theil des Inhalts das Wesen der
Beziehung aus. Verallgemeinern wir dies!

Indem wir von einem beurtheilbaren Inhalte, der von einem Gegenstande
a und von einem Gegenstande b handelt, a und b absondern, so behalten
wir einen Beziehungsbegriff übrig, der demnach in doppelter Weise
ergänzungsbedürftig ist. Wenn wir in dem Satze:

            »die Erde hat mehr Masse als der Mond«

»die Erde« absondern, so erhalten wir den Begriff »mehr Masse als der
Mond habend«. Wenn wir dagegen den Gegenstand »der Mond« absondern,
gewinnen wir den Begriff »weniger Masse als die Erde habend«. Sondern
wir beide zugleich ab, so bleibt ein Beziehungsbegriff zurück, der
für sich allein ebensowenig wie ein einfacher Begriff einen Sinn hat:
er verlangt immer eine Ergänzung zu einem beurtheilbaren Inhalte.
Aber diese kann in verschiedener Weise geschehen: statt Erde und Mond
kann ich z. B. Sonne und Erde setzen, und hierdurch wird eben die
Absonderung bewirkt.

Die einzelnen Paare zugeordneter Gegenstände verhalten sich
in ähnlicher Weise -- man könnte sagen als Subjecte -- zu dem
Beziehungsbegriffe, wie der einzelne Gegenstand zu dem Begriffe, unter
den er fällt. Das Subject ist hier ein zusammengesetztes. Zuweilen,
wenn die Beziehung eine umkehrbare ist, kommt dies auch sprachlich zum
Ausdrucke wie in dem Satze »Peleus und Thetis waren die Eltern des
Achilleus«[89]. Dagegen wäre es z. B. nicht gut möglich, den Inhalt des
Satzes »die Erde ist grösser als der Mond« so wiederzugeben, dass »die
Erde und der Mond« als zusammengesetztes Subject erschiene, weil das
»und« immer eine gewisse Gleichstellung andeutet. Aber dies thut nichts
zur Sache.

Der Beziehungsbegriff gehört also wie der einfache der reinen Logik an.
Es kommt hier nicht der besondere Inhalt der Beziehung in Betracht,
sondern allein die logische Form. Und was von dieser ausgesagt werden
kann, dessen Wahrheit ist analytisch und wird _a priori_ erkannt. Dies
gilt von den Beziehungsbegriffen wie von den andern.

Wie

            »a fällt unter den Begriff F«

die allgemeine Form eines beurtheilbaren Inhalts ist, der von einem
Gegenstande a handelt, so kann man

            »a steht in der Beziehung φ zu b«

als allgemeine Form für einen beurtheilbaren Inhalt annehmen, der von
dem Gegenstande a und von dem Gegenstande b handelt.


§ 71. Wenn nun jeder Gegenstand, der unter den Begriff F fällt, in
der Beziehung φ zu einem unter den Begriff G fallenden Gegenstande
steht, und wenn zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, ein unter F
fallender Gegenstand in der Beziehung φ steht, so sind die unter F und
G fallenden Gegenstände durch die Beziehung φ einander zugeordnet.

Es kann noch gefragt werden, was der Ausdruck

    »jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung φ zu
    einem unter G fallenden Gegenstande«

bedeute, wenn gar kein Gegenstand unter F fällt. Ich verstehe darunter:

    die beiden Sätze

            »a fällt unter F«

            und

    »a steht zu keinem unter G fallenden Gegenstande in der Beziehung φ«

können nicht mit einander bestehen, was auch a bezeichne, sodass
entweder der erste oder der zweite oder beide falsch sind. Hieraus geht
hervor, dass »jeder Gegenstand, der unter F fällt, in der Beziehung φ
zu einem unter G fallenden Gegenstande steht,« wenn es keinen unter F
fallenden Gegenstand giebt, weil dann der erste Satz

            »a fällt unter F«

immer zu verneinen ist, was auch a sein mag.

Ebenso bedeutet

    »zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, steht ein unter F
    fallender in der Beziehung φ«,

dass die beiden Sätze

            »a fällt unter G«

            und

    »kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung φ«

nicht mit einander bestehen können, was auch a sein möge.


§ 72. Wir haben nun gesehen, wann die unter die Begriffe F und G
fallenden Gegenstände einander durch die Beziehung φ zugeordnet sind.
Hier soll nun diese Zuordnung eine beiderseits eindeutige sein.
Darunter verstehe ich, dass folgende beiden Sätze gelten:

  1. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn d in der Beziehung
    φ zu e steht, so ist allgemein, was auch d, a und e sein mögen, a
    dasselbe wie e;

  2. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn b in der Beziehung
    φ zu a steht, so ist allgemein, was auch d, b und a sein mögen, d
    dasselbe wie b.

Hiermit haben wir die beiderseits eindeutige Zuordnung auf rein
logische Verhältnisse zurückgeführt und können nun so definiren:

der Ausdruck

    »der Begriff F ist gleichzahlig dem Begriffe G«

sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke

    »es giebt eine Beziehung φ, welche die unter den Begriff F
    fallenden Gegenstände den unter G fallenden Gegenständen
    beiderseits eindeutig zuordnet«.

Ich wiederhole:

    die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des
    Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«

und füge hinzu:

der Ausdruck

    »n ist eine Anzahl«

sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke

    »es giebt einen Begriff der Art, dass n die Anzahl ist, welche ihm
    zukommt«.

So ist der Begriff der Anzahl erklärt, scheinbar freilich durch sich
selbst, aber dennoch ohne Fehler, weil »die Anzahl, welche dem Begriffe
F zukommt« schon erklärt ist.


§ 73. Wir wollen nun zunächst zeigen, dass die Anzahl, welche dem
Begriffe F zukommt, gleich der Anzahl ist, welche dem Begriffe G
zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist. Dies
klingt freilich wie eine Tautologie, ist es aber nicht, da die
Bedeutung des Wortes »gleichzahlig« nicht aus der Zusammensetzung,
sondern aus der eben gegebenen Erklärung hervorgeht.

Nach unserer Definition ist zu zeigen, dass der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe F« derselbe ist wie der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe G«, wenn der Begriff F gleichzahlig dem
Begriffe G ist. Mit andern Worten: es muss bewiesen werden, dass unter
dieser Voraussetzung die Sätze allgemein gelten:

    wenn der Begriff H gleichzahlig dem Begriffe F ist, so ist er auch
    gleichzahlig dem Begriffe G;

            und

    wenn der Begriff H dem Begriffe G gleichzahlig ist, so ist er auch
    gleichzahlig dem Begriffe F.

Der erste Satz kommt darauf hinaus, dass es eine Beziehung giebt,
welche die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den
Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet, wenn es eine
Beziehung φ giebt, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände
den unter den Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet,
und wenn es eine Beziehung ψ giebt, welche die unter den Begriff H
fallenden Gegenstände den unter den Begriff F fallenden beiderseits
eindeutig zuordnet. Folgende Anordnung der Buchstaben wird dies
übersichtlicher machen:

            H ψ F φ G.

Eine solche Beziehung kann in der That angegeben werden: sie liegt in
dem Inhalte

    »es giebt einen Gegenstand, zu dem c in der Beziehung ψ steht, und
    der zu b in der Beziehung φ steht,«

wenn wir davon c und b absondern (als Beziehungspunkte betrachten). Man
kann zeigen, dass diese Beziehung eine beiderseits eindeutige ist, und
dass sie die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den
Begriff G fallenden zuordnet.

In ähnlicher Weise kann auch der andere Satz bewiesen werden[90]. Diese
Andeutungen werden hoffentlich genügend erkennen lassen, dass wir
hierbei keinen Beweisgrund der Anschauung zu entnehmen brauchen, und
dass sich mit unsern Definitionen etwas machen lässt.


§ 74. Wir können nun zu den Erklärungen der einzelnen Zahlen übergehn.

Weil unter den Begriff »sich selbst ungleich« nichts fällt, erkläre ich:

    0 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst ungleich«
    zukommt.

Vielleicht nimmt man daran Anstoss, dass ich hier von einem Begriffe
spreche. Man wendet vielleicht ein, dass ein Widerspruch darin
enthalten sei, und erinnert an die alten Bekannten das hölzerne
Eisen und den viereckigen Kreis. Nun ich meine, dass die gar nicht
so schlimm sind, wie sie gemacht werden. Zwar nützlich werden sie
grad nicht sein; aber schaden können sie auch nichts, wenn man nur
nicht voraussetzt, dass etwas unter sie falle; und das thut man durch
den blossen Gebrauch der Begriffe noch nicht. Dass ein Begriff einen
Widerspruch enthalte, ist nicht immer so offensichtlich, dass es keiner
Untersuchung bedürfte; dazu muss man ihn erst haben und logisch ebenso
wie jeden andern behandeln. Alles was von Seiten der Logik und für die
Strenge der Beweisführung von einem Begriffe verlangt werden kann, ist
seine scharfe Begrenzung, dass für jeden Gegenstand bestimmt sei, ob er
unter ihn falle oder nicht. Dieser Anforderung genügen nun die einen
Widerspruch enthaltenden Begriffe wie »sich selbst ungleich« durchaus;
denn man weiss von jedem Gegenstande, dass er nicht unter einen solchen
fällt[91].

Ich brauche das Wort »Begriff« in der Weise, dass

            »a füllt unter den Begriff F«

die allgemeine Form eines beurtheilbaren Inhalts ist, der von einem
Gegenstande a handelt und der beurtheilbar bleibt, was man auch für a
setze. Und in diesem Sinne ist

            »a fällt unter den Begriff »»sich selbst ungleich«««

gleichbedeutend mit

            »a ist sich selbst ungleich«

                oder

            »a ist nicht gleich a«.

Ich hätte zur Definition der 0 jeden andern Begriff nehmen können,
unter den nichts fällt. Es kam mir aber darauf an, einen solchen zu
wählen, von dem dies rein logisch bewiesen werden kann; und dazu bietet
sich am bequemsten »sich selbst ungleich« dar, wobei ich für »gleich«
die vorhin angeführte Erklärung _Leibnizens_ gelten lasse, die rein
logisch ist.


§ 75. Es muss sich nun mittels der früheren Festsetzungen beweisen
lassen, dass jeder Begriff, unter den nichts fällt, gleichzahlig mit
jedem Begriffe ist, unter den nichts fällt, und nur mit einem solchen,
woraus folgt, dass 0 die Anzahl ist, welche einem solchen Begriffe
zukommt, und dass kein Gegenstand unter einen Begriff fällt, wenn die
Zahl, welche diesem zukommt, die 0 ist.

Nehmen wir an, weder unter den Begriff F noch unter den Begriff G falle
ein Gegenstand, so haben wir, um die Gleichzahligkeit zu beweisen, eine
Beziehung φ nöthig, von der die Sätze gelten:

    jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung φ zu
    einem Gegenstande, der unter G fällt; zu jedem Gegenstande, der
    unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung φ.

Nach dem, was früher über die Bedeutung dieser Ausdrücke gesagt ist,
erfüllt bei unsern Voraussetzungen jede Beziehung diese Bedingungen,
also auch die Gleichheit, die obendrein beiderseits eindeutig ist; denn
es gelten die beiden oben dafür verlangten Sätze.

Wenn dagegen unter G ein Gegenstand fällt z. B. a, während unter F
keiner fällt, so bestehen die beiden Sätze

            »a fällt unter G«

                und

            »kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in
            der Beziehung φ«

mit einander für jede Beziehung φ; denn der erste ist nach der ersten
Voraussetzung richtig und der zweite nach der zweiten. Wenn es nämlich
keinen unter F fallenden Gegenstand giebt, so giebt es auch keinen
solchen, der in irgendeiner Beziehung zu a stände. Es giebt also keine
Beziehung, welche nach unserer Erklärung die unter F den unter G
fallenden Gegenständen zuordnete, und demnach sind die Begriffe F und G
ungleichzahlig.


§ 76. Ich will nun die Beziehung erklären, in der je zwei benachbarte
Glieder der natürlichen Zahlenreihe zu einander stehen. Der Satz:

    »es giebt einen Begriff F und einen unter ihn fallenden Gegenstand
    x der Art, dass die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, n ist,
    und dass die Anzahl, welche dem Begriffe »»unter F fallend aber
    nicht gleich x«« zukommt, m ist«

sei gleichbedeutend mit

    »n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.«

Ich vermeide den Ausdruck »n ist _die_ auf m nächstfolgende Anzahl,«
weil zur Rechtfertigung des bestimmten Artikels erst zwei Sätze
bewiesen werden müssten[92]. Aus demselben Grunde sage ich hier noch
nicht »n = m + 1«; denn auch durch das Gleichheitszeichen wird (m + 1)
als Gegenstand bezeichnet.


§ 77. Um nun auf die Zahl 1 zu kommen, müssen wir zunächst zeigen, dass
es etwas giebt, was in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0
folgt.

Betrachten wir den Begriff -- oder, wenn man lieber will, das Prädicat
-- »gleich 0«! Unter diesen fällt die 0. Unter den Begriff »gleich 0
aber nicht gleich 0« fällt dagegen kein Gegenstand, sodass 0 die Anzahl
ist, welche diesem Begriffe zukommt. Wir haben demnach einen Begriff
»gleich 0« und einen unter ihn fallenden Gegenstand 0, von denen gilt:

    die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich O« zukommt, ist gleich der
    Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt;

    die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0 aber nicht gleich 0«
    zukommt, ist die 0.

Also folgt nach unserer Erklärung die Anzahl, welche dem Begriffe
»gleich 0« zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0.

Wenn wir nun definiren:

    1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt,

so können wir den letzten Satz so ausdrücken:

    1 folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0.

Es ist vielleicht nicht überflüssig zu bemerken, dass die Definition
der 1 zu ihrer objectiven Rechtmässigkeit keine beobachtete
Thatsache[93] voraussetzt; denn man verwechselt leicht damit, dass
gewisse subjective Bedingungen erfüllt sein müssen, um uns die
Definition möglich zu machen, und dass uns Sinneswahrnehmungen
dazu veranlassen[94]. Dies kann immerhin zutreffen, ohne dass die
abgeleiteten Sätze aufhören, a priori zu sein. Zu solchen Bedingungen
gehört z. B. auch, dass Blut in hinreichender Fülle und richtiger
Beschaffenheit das Gehirn durchströme -- wenigstens soviel wir wissen;
-- aber die Wahrheit unseres letzten Satzes ist davon unabhängig; sie
bleibt bestehen, auch wenn dies nicht mehr stattfindet; und selbst,
wenn alle Vernunftwesen einmal gleichzeitig in einen Winterschlaf
verfallen sollten, so würde sie nicht etwa so lange aufgehoben sein,
sondern ganz ungestört bleiben. Die Wahrheit eines Satzes ist eben
nicht sein Gedachtwerden.


§ 78. Ich lasse hier einige Sätze folgen, die mittels unserer
Definitionen zu beweisen sind. Der Leser wird leicht aber sehen, wie
dies geschehen kann.

  1. Wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0 folgt, so
    ist a = 1.

  2. Wenn 1 die Anzahl ist, welche einem Begriffe zukommt, so giebt es
    einen Gegenstand, der unter den Begriff fällt.

  3. Wenn 1 die Anzahl ist, welche einem Begriffe F zukommt; wenn
    der Gegenstand x unter den Begriff F fällt, und wenn y unter den
    Begriff F fällt, so ist x = y; d. h. x ist dasselbe wie y.

  4. Wenn unter einen Begriff F ein Gegenstand fällt, und wenn
    allgemein daraus, dass x unter den Begriff F fällt, und dass y
    unter den Begriff F fällt, geschlossen werden kann, dass x = y ist,
    so ist 1 die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt.

  5. Die Beziehung von m zu n, die durch den Satz:

      »n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m«

    gesetzt wird, ist eine beiderseits eindeutige.

    Hiermit ist noch nicht gesagt, dass es zu jeder Anzahl eine andere
    gebe, welche auf sie oder auf welche sie in der Zahlenreihe
    unmittelbar folge.

  6. Jede Anzahl ausser der 0 folgt in der natürlichen Zahlenreihe
    unmittelbar auf eine Anzahl.


§ 79. Um nun beweisen zu können, dass auf jede Anzahl (n) in der
natürlichen Zahlenreihe eine Anzahl unmittelbar folge, muss man einen
Begriff aufweisen, dem diese letzte Anzahl zukommt. Wir wählen als
diesen

    »der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«,

der zunächst erklärt werden muss.

Ich wiederhole zunächst mit etwas andern Worten die Definition, welche
ich in meiner »Begriffsschrift« vom Folgen in einer Reihe gegeben habe.

Der Satz

    »wenn jeder Gegenstand, zu dem x in der Beziehung φ steht, unter
    den Begriff F fällt, und wenn daraus, dass d unter den Begriff F
    fällt, allgemein, was auch d sei, folgt, dass jeder Gegenstand, zu
    dem d in der Beziehung φ steht, unter den Begriff F falle, so fällt
    y unter den Begriff F, was auch F für ein Begriff sein möge«

sei gleichbedeutend mit

            »y folgt in der φ-Reihe auf x«

und mit

            »x geht in der φ-Reihe dem y vorher.«


§ 80. Einige Bemerkungen hierzu werden nicht überflüssig sein. Da die
Beziehung φ unbestimmt gelassen ist, so ist die Reihe nicht nothwendig
in der Form einer räumlichen und zeitlichen Anordnung zu denken, obwohl
diese Fälle nicht ausgeschlossen sind.

Man könnte vielleicht eine andere Erklärung für natürlicher halten
z. B.: wenn man von x ausgehend seine Aufmerksamkeit immer von einem
Gegenstande zu einem andern lenkt, zu welchem er in der Beziehung φ
steht, und wenn man auf diese Weise schliesslich y erreichen kann, so
sagt man y folge in der φ-Reihe auf x.

Dies ist eine Weise die Sache zu untersuchen, keine Definition. Ob
wir bei der Wanderung unserer Aufmerksamkeit y erreichen, kann von
mancherlei subjectiven Nebenumständen abhangen z. B. von der uns zu
Gebote stehenden Zeit, oder von unserer Kenntniss der Dinge. Ob y auf
x in der φ-Reihe folgt, hat im Allgemeinen gar nichts mit unserer
Aufmerksamkeit und den Bedingungen ihrer Fortbewegung zu thun, sondern
ist etwas Sachliches, ebenso wie ein grünes Blatt gewisse Lichtstrahlen
reflectirt, mögen sie nun in mein Auge fallen und Empfindung
hervorrufen oder nicht, ebenso wie ein Salzkorn in Wasser löslich ist,
mag ich es ins Wasser werfen und den Vorgang beobachten oder nicht, und
wie es selbst dann noch löslich ist, wenn ich gar nicht die Möglichkeit
habe, einen Versuch damit anzustellen.

Durch meine Erklärung ist die Sache aus dem Bereiche subjectiver
Möglichkeiten in das der objectiven Bestimmtheit erhoben. In der That:
dass aus gewissen Sätzen ein anderer folgt, ist etwas Objectives, von
den Gesetzen der Bewegung unserer Aufmerksamkeit Unabhängiges, und es
ist dafür einerlei, ob wir den Schluss wirklich machen oder nicht.
Hier haben wir ein Merkmal, das die Frage überall entscheidet, wo sie
gestellt werden kann, mögen wir auch im einzelnen Falle durch äussere
Schwierigkeiten verhindert sein, zu beurtheilen, ob es zutrifft. Das
ist für die Sache selbst gleichgiltig.

Wir brauchen nicht immer alle Zwischenglieder vom Anfangsgliede bis zu
einem Gegenstande zu durchlaufen, um gewiss zu sein, dass er auf jenes
folgt. Wenn z. B. gegeben ist, dass in der φ-Reihe b auf a und c auf b
folgt, so können wir nach unserer Erklärung schliessen, dass c auf a
folgt, ohne die Zwischenglieder auch nur zu kennen.

Durch diese Definition des Folgens in einer Reihe wird es allein
möglich, die Schlussweise von n auf (n + 1), welche scheinbar der
Mathematik eigenthümlich ist, auf die allgemeinen logischen Gesetze
zurückzuführen.


§ 81. Wenn wir nun als Beziehung φ diejenige haben, in welche m zu n
gesetzt wird durch den Satz

    »n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m,«

so sagen wir statt »φ-Reihe« »natürliche Zahlenreihe«.

Ich definire weiter:

            der Satz

    »y folgt in der φ-Reihe auf x oder y ist dasselbe wie x«

sei gleichbedeutend mit

    »y gehört der mit x anfangenden φ-Reihe an«

und mit

    »x gehört der mit y endenden φ-Reihe an«.

Demnach gehört a der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe an, wenn
n entweder in der natürlichen Zahlenreihe auf a folgt oder gleich a
ist[95].


§ 82. Es ist nun zu zeigen, dass -- unter einer noch anzugebenden
Bedingung -- die Anzahl, welche dem Begriffe

    »der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«

zukommt, auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt. Und
damit ist dann bewiesen, dass es eine Anzahl giebt, welche auf n in der
natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt, dass es kein letztes Glied
dieser Reihe giebt. Offenbar kann dieser Satz auf empirischen Wege oder
durch Induction nicht begründet werden.

Es würde hier zu weit führen, den Beweis selbst zu geben. Nur sein Gang
mag kurz angedeutet werden. Es ist zu beweisen

    1. wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d folgt,
      und wenn von d gilt:

                die Anzahl, welche dem Begriffe

            »der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«

    zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d,

so gilt auch von a:

                die Anzahl, welche dem Begriffe
            »der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«

    zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf a.

Es ist zweitens zu beweisen, dass von der 0 das gilt, was in den
eben ausgesprochenen Sätzen von d und von a ausgesagt ist, und dann
zu folgern, dass es auch von n gilt, wenn n der mit 0 anfangenden
natürlichen Zahlenreihe angehört. Diese Schlussweise ist eine Anwendung
der Definition, die ich von dem Ausdrucke

            »y folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf x«

gegeben habe, indem man als Begriff F jene gemeinsame Aussage von d und
von a, von 0 und von n zu nehmen hat.


§ 83. Um den Satz (1) des vorigen § zu beweisen, müssen wir zeigen,
dass a die Anzahl ist, welche dem Begriffe »der mit a endenden
natürlichen Zahlenreihe angehörend, aber nicht gleich a« zukommt. Und
dazu ist wieder zu beweisen, dass dieser Begriff gleichen Umfanges mit
dem Begriffe »der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
ist. Hierfür bedarf man des Satzes, dass kein Gegenstand, welcher der
mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe angehört, auf sich selbst in
der natürlichen Zahlenreihe folgen kann. Dies muss ebenfalls mittels
unserer Definition des Folgens in einer Reihe, wie oben angedeutet ist,
bewiesen werden[96].

Wir werden hierdurch genöthigt, dem Satze, dass die Anzahl, welche dem
Begriffe

    »der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«

zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf n folgt, die
Bedingung hinzuzufügen, dass n der mit 0 anfangenden natürlichen
Zahlenreihe angehöre. Hierfür ist eine kürzere Ausdrucksweise
gebräuchlich, die ich nun erkläre:

            der Satz

    »n gehört der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe an«

sei gleichbedeutend mit

    »n ist eine endliche Anzahl«.

Dann können wir den letzten Satz so ausdrücken: keine endliche Anzahl
folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber.



Unendliche Anzahlen.


§ 84. Den endlichen gegenüber stehen die unendlichen Anzahlen. Die
Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl« zukommt, ist eine
unendliche. Bezeichnen wir sie etwa durch ∞₁! Wäre sie eine endliche,
so könnte sie nicht auf sich selber in der natürlichen Zahlenreihe
folgen. Man kann aber zeigen, dass ∞₁ das thut.

In der so erklärten unendlichen Anzahl ∞₁ liegt nichts irgendwie
Geheimnissvolles oder Wunderbares. »Die Anzahl, welche dem Begriffe
F zukommt, ist ∞₁« heisst nun nichts mehr und nichts weniger als:
es giebt eine Beziehung, welche die unter den Begriff F fallenden
Gegenstände den endlichen Anzahlen beiderseits eindeutig zuordnet.
Dies ist nach unseren Erklärungen ein ganz klarer und unzweideutiger
Sinn; und das genügt, um den Gebrauch des Zeichens ∞₁ zu rechtfertigen
und ihm eine Bedeutung zu sichern. Dass wir uns keine Vorstellung von
einer unendlichen Anzahl bilden können, ist ganz unerheblich und würde
endliche Anzahlen ebenso treffen. Unsere Anzahl ∞₁ hat auf diese Weise
etwas ebenso Bestimmtes wie irgendeine endliche: sie ist zweifellos als
dieselbe wiederzuerkennen und von einer andern zu unterscheiden.


§ 85. Vor Kurzem hat _G. Cantor_ in einer bemerkenswerthen Schrift[97]
unendliche Anzahlen eingeführt. Ich stimme ihm durchaus in der
Würdigung der Ansicht bei, welche überhaupt nur die endlichen Anzahlen
als wirklich gelten lassen will. Sinnlich wahrnehmbar und räumlich
sind weder diese noch die Brüche, noch die negativen, irrationalen
und complexen Zahlen; und wenn man wirklich nennt, was auf die Sinne
wirkt, oder was wenigstens Wirkungen hat, die Sinneswahrnehmungen zur
nähern oder entferntern Folge haben können, so ist freilich keine
dieser Zahlen wirklich. Aber wir brauchen auch solche Wahrnehmungen
gar nicht als Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Einen Namen oder ein
Zeichen, das logisch einwurfsfrei eingeführt ist, können wir in unsern
Untersuchungen ohne Scheu gebrauchen, und so ist unsere Anzahl ∞₁ so
gerechtfertigt wie die Zwei oder die Drei.

Indem ich hierin, wie ich glaube, mit _Cantor_ übereinstimme, weiche
ich doch in der Benennung etwas von ihm ab. Meine Anzahl nennt er
»Mächtigkeit,« während sein Begriff[98] der Anzahl auf die Anordnung
Bezug nimmt. Für endliche Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine
Unabhängigkeit von der Reihenfolge, dagegen nicht für unendlichgrosse.
Nun enthält der Sprachgebrauch des Wortes »Anzahl« und der Frage
»wieviele?« keine Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors
Anzahl antwortet vielmehr auf die Frage: »das wievielste Glied in der
Succession ist das Endglied?« Darum scheint mir meine Benennung besser
mit dem Sprachgebrauche übereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung eines
Wortes erweitert, so wird man darauf zu achten haben, dass möglichst
viele allgemeine Sätze ihre Geltung behalten und zumal so grundlegende,
wie für die Anzahl die Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir
haben gar keine Erweiterung nöthig gehabt, weil unser Begriff der
Anzahl sofort auch unendliche Zahlen umfasst.


§ 86. Um seine unendlichen Anzahlen zu gewinnen, führt _Cantor_ den
Beziehungsbegriff des Folgens in einer Succession ein, der von meinem
»Folgen in einer Reihe« abweicht. Nach ihm würde z. B. eine Succession
entstehen, wenn man die endlichen positiven ganzen Zahlen so anordnete,
dass die unpaaren in ihrer natürlichen Reihenfolge für sich und ebenso
die paaren unter sich auf einander folgten, ferner festgesetzt wäre,
dass jede paare auf jede unpaare folgen solle. In dieser Succession
würde z. B. 0 auf 13 folgen. Es wurde aber keine Zahl unmittelbar der
0 vorhergehen. Dies ist nun ein Fall, der in dem von mir definirten
Folgen in der Reihe nicht vorkommen kann. Man kann streng beweisen,
ohne ein Axiom der Anschauung zu benutzen, dass wenn y auf x in
der φ-Reihe folgt, es einen Gegenstand giebt, der in dieser Reihe
dem y unmittelbar vorhergeht. Mir scheinen nun genaue Definitionen
des Folgens in der Succession und der cantorschen Anzahl noch zu
fehlen. So beruft sich _Cantor_ auf die etwas geheimnissvolle »innere
Anschauung,« wo ein Beweis aus Definitionen anzustreben und wohl auch
möglich wäre. Denn ich glaube vorauszusehen, wie sich jene Begriffe
bestimmen liessen. Jedenfalls will ich durch diese Bemerkungen, deren
Berechtigung und Fruchtbarkeit durchaus nicht angreifen. Im Gegentheil
begrüsse ich in diesen Untersuchungen eine Erweiterung der Wissenschaft
besonders deshalb, weil durch sie ein rein arithmetischer Weg zu höhern
unendlichgrossen Anzahlen (Mächtigkeiten) gebahnt ist.



V. Schluss.


§ 87. Ich hoffe in dieser Schrift wahrscheinlich gemacht zu haben, dass
die arithmetischen Gesetze analytische Urtheile und folglich a priori
sind. Demnach würde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik,
jeder arithmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes
sein. Die Anwendungen der Arithmetik zur Naturerklärung wären
logische Bearbeitungen von beobachteten Thatsachen[99]; Rechnen wäre
Schlussfolgern. Die Zahlgesetze werden nicht, wie _Baumann_[100] meint,
eine praktische Bewährung nöthig haben, um in der Aussenwelt anwendbar
zu sein; denn in der Aussenwelt, der Gesammtheit des Räumlichen, giebt
es keine Begriffe, keine Eigenschaften der Begriffe, keine Zahlen.
Also sind die Zahlgesetze nicht eigentlich auf die äussern Dinge
anwendbar: sie sind nicht Naturgesetze. Wohl aber sind sie anwendbar
auf Urtheile, die von Dingen der Aussenwelt gelten: sie sind Gesetze
der Naturgesetze. Sie behaupten nicht einen Zusammenhang zwischen
Naturerscheinungen, sondern einen solchen zwischen Urtheilen; und zu
diesen gehören auch die Naturgesetze.


§ 88. _Kant_[101] hat den Werth der analytischen Urtheile offenbar
-- wohl in Folge einer zu engen Begriffsbestimmung -- unterschätzt,
obgleich ihm der hier benutzte weitere Begriff vorgeschwebt zu haben
scheint[102]. Wenn man seine Definition zu Grunde legt, ist die
Eintheilung in analytische und synthetische Urtheile nicht erschöpfend.
Er denkt an den Fall des allgemein bejahenden Urtheils. Dann kann man
von einem Subjectsbegriffe reden und fragen, ob der Prädicatsbegriff
in ihm -- zufolge der Definition -- enthalten sei. Wie aber, wenn
das Subject ein einzelner Gegenstand ist? wie, wenn es sich um ein
Existentialurtheil handelt? Dann kann in diesem Sinne gar nicht von
einem Subjectsbegriffe die Rede sein. _Kant_ scheint den Begriff durch
beigeordnete Merkmale bestimmt zu denken; das ist aber eine der am
wenigsten fruchtbaren Begriffsbildungen. Wenn man die oben gegebenen
Definitionen überblickt, so wird man kaum eine von der Art finden.
Dasselbe gilt auch von den wirklich fruchtbaren Definitionen in der
Mathematik z. B. der Stetigkeit einer Function. Wir haben da nicht eine
Reihe beigeordneter Merkmale, sondern eine innigere, ich möchte sagen
organischere Verbindung der Bestimmungen. Man kann sich den Unterschied
durch ein geometrisches Bild anschaulich machen. Wenn man die Begriffe
(oder ihre Umfänge) durch Bezirke einer Ebene darstellt, so entspricht
dem durch beigeordnete Merkmale definirten Begriffe der Bezirk, welcher
allen Bezirken der Merkmale gemeinsam ist; er wird durch Theile von
deren Begrenzungen umschlossen. Bei einer solchen Definition handelt es
sich also -- im Bilde zu sprechen -- darum, die schon gegebenen Linien
in neuer Weise zur Abgrenzung eines Bezirks zu verwenden[103]. Aber
dabei kommt nichts wesentlich Neues zum Vorschein. Die fruchtbareren
Begriffsbestimmungen ziehen Grenzlinien, die noch gar nicht gegeben
waren. Was sich aus ihnen schliessen lasse, ist nicht von vornherein
zu übersehen; man holt dabei nicht einfach aus dem Kasten wieder
heraus, was man hineingelegt hatte. Diese Folgerungen erweitern unsere
Kenntnisse, und man sollte sie daher _Kant_ zufolge für synthetisch
halten; dennoch können sie rein logisch bewiesen werden und sind also
analytisch. Sie sind in der That in den Definitionen enthalten, aber
wie die Pflanze im Samen, nicht wie der Balken im Hause. Oft braucht
man mehre Definitionen zum Beweise eines Satzes, der folglich in keiner
einzelnen enthalten ist und doch aus allen zusammen rein logisch folgt.


§ 89. Ich muss auch der Allgemeinheit der Behauptung _Kants_[104]
widersprechen: ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben
werden. Die Null, die Eins sind Gegenstände, die uns nicht sinnlich
gegeben werden können. Auch Diejenigen, welche die kleineren Zahlen
für anschaulich halten, werden doch einräumen müssen, dass ihnen keine
der Zahlen, die grösser als 1000 (^{1000^{1000}}) sind, anschaulich
gegeben werden können, und dass wir dennoch Mancherlei von ihnen
wissen. Vielleicht hat _Kant_ das Wort »Gegenstand« in etwas anderm
Sinne gebraucht; aber dann fallen die Null, die Eins, unser ∞₁ ganz aus
seiner Betrachtung heraus; denn Begriffe sind sie auch nicht, und auch
von Begriffen verlangt _Kant_[104], dass man ihnen den Gegenstand in
der Anschauung beifüge.

Um nicht den Vorwurf einer kleinlichen Tadelsucht gegenüber einem
Geiste auf mich zu laden, zu dem wir nur mit dankbarer Bewunderung
aufblicken können, glaube ich auch die Uebereinstimmung hervorheben zu
müssen, welche weit überwiegt. Um nur das hier zunächst Liegende zu
berühren, sehe ich ein grosses Verdienst _Kants_ darin, dass er die
Unterscheidung von synthetischen und analytischen Urtheilen gemacht
hat. Indem er die geometrischen Wahrheiten synthetisch und a priori
nannte, hat er ihr wahres Wesen enthüllt. Und dies ist noch jetzt
werth wiederholt zu werden, weil es noch oft verkannt wird. Wenn _Kant_
sich hinsichtlich der Arithmetik geirrt hat, so thut das, glaube ich,
seinem Verdienste keinen wesentlichen Eintrag. Ihm kam es darauf
an, dass es synthetische Urtheile a priori giebt; ob sie nur in der
Geometrie oder auch in der Arithmetik vorkommen, ist von geringerer
Bedeutung.


§ 90. Ich erhebe nicht den Anspruch, die analytische Natur der
arithmetischen Sätze mehr als wahrscheinlich gemacht zu haben, weil
man immer noch zweifeln kann, ob ihr Beweis ganz aus rein logischen
Gesetzen geführt werden könne, ob sich nicht irgendwo ein Beweisgrund
andrer Art unvermerkt einmische. Dies Bedenken wird auch durch die
Andeutungen nicht vollständig entkräftet, die ich für den Beweis
einiger Sätze gegeben habe; es kann nur durch eine lückenlose
Schlusskette gehoben werden, sodass kein Schritt geschieht, der
nicht einer von wenigen als rein logisch anerkannten Schlussweisen
gemäss ist. So ist bis jetzt kaum ein Beweis geführt worden, weil
der Mathematiker zufrieden ist, wenn jeder Uebergang zu einem
neuen Urtheile als richtig einleuchtet, ohne nach der Natur dieses
Einleuchtens zu fragen, ob es logisch oder anschaulich sei. Ein solcher
Fortschritt ist oft sehr zusammengesetzt und mehren einfachen Schlüssen
gleichwerthig, neben welchen noch aus der Anschauung etwas einfliessen
kann. Man geht sprungweise vor, und daraus entsteht die scheinbar
überreiche Mannichfaltigkeit der Schlussweisen in der Mathematik;
denn je grösser die Sprünge sind, desto vielfachere Combinationen
aus einfachen Schlüssen und Anschauungsaxiomen können sie vertreten.
Dennoch leuchtet uns ein solcher Uebergang oft unmittelbar ein, ohne
dass uns die Zwischenstufen zum Bewusstsein kommen, und da er sich
nicht als eine der anerkannten logischen Schlussweisen darstellt, sind
wir sogleich bereit, dies Einleuchten für ein anschauliches und die
erschlossene Wahrheit für eine synthetische zu halten, auch dann, wenn
der Geltungsbereich offenbar über das Anschauliche hinausreicht.

Auf diesem Wege ist es nicht möglich, das auf Anschauung beruhende
Synthetische von dem Analytischen rein zu scheiden. Es gelingt so
auch nicht, die Axiome der Anschauung mit Sicherheit vollständig
zusammenzustellen, sodass jeder mathematische Beweis allein aus diesen
Axiomen nach den logischen Gesetzen geführt werden kann.


§ 91. Die Forderung ist also unabweisbar, alle Sprünge in der
Schlussfolgerung zu vermeiden. Dass ihr so schwer zu genügen ist,
liegt an der Langwierigkeit eines schrittweisen Vorgehens. Jeder
nur etwas verwickeltere Beweis droht eine ungeheuerliche Länge
anzunehmen. Dazu kommt, dass die übergrosse Mannichfaltigkeit der in
der Sprache ausgeprägten logischen Formen es erschwert, einen Kreis
von Schlussweisen abzugrenzen, der für alle Fälle genügt und leicht zu
übersehen ist.

Um diese Uebelstände zu vermindern, habe ich meine Begriffsschrift
erdacht. Sie soll grössere Kürze und Uebersichtlichkeit des Ausdrucks
erzielen und sich in wenigen festen Formen nach Art einer Rechnung
bewegen, sodass kein Uebergang gestattet wird, der nicht den ein für
alle Mal aufgestellten Regeln gemäss ist[105]. Es kann sich dann kein
Beweisgrund unbemerkt einschleichen. Ich habe so, ohne der Anschauung
ein Axiom zu entlehnen, einen Satz bewiesen[106], den man beim ersten
Blick für einen synthetischen halten möchte, welchen ich hier so
aussprechen will:

Wenn die Beziehung jedes Gliedes einer Reihe zum nächstfolgenden
eindeutig ist, und wenn m und y in dieser Reihe auf x folgen, so geht y
dem m in dieser Reihe vorher oder fällt mit ihm zusammen oder folgt auf
m.

Aus diesem Beweise kann man ersehen, dass Sätze, welche unsere
Kenntnisse erweitern, analytische Urtheile enthalten können[107].



Andere Zahlen.


§ 92. Wir haben unsere Betrachtung bisher auf die Anzahlen beschränkt.
Werfen wir nun noch einen Blick auf die andern Zahlengattungen und
versuchen wir für dies weitere Feld nutzbar zu machen, was wir auf dem
engern erkannt haben!

Um den Sinn der Frage nach der Möglichkeit einer gewissen Zahl klar zu
machen, sagt _Hankel_[108]:

»Ein Ding, eine Substanz, die selbständig ausserhalb des denkenden
Subjects und der sie veranlassenden Objecte existirte, ein
selbständiges Princip, wie etwa bei den Pythagoräern, ist die Zahl
heute nicht mehr. Die Frage von der Existenz kann daher nur auf das
denkende Subject oder die gedachten Objecte, deren Beziehungen die
Zahlen darstellen, bezogen werden. Als unmöglich gilt dem Mathematiker
streng genommen nur das, was logisch unmöglich ist, d. h. sich selbst
widerspricht. Dass in diesem Sinne unmögliche Zahlen nicht zugelassen
werden können, bedarf keines Beweises. Sind aber die betreffenden
Zahlen logisch möglich, ihr Begriff klar und bestimmt definirt und
also ohne Widerspruch, so kann jene Frage nur darauf hinauskommen, ob
es im Gebiete des Realen oder des in der Anschauung Wirklichen, des
Actuellen ein Substrat derselben, ob es Objecte gebe, an welchen die
Zahlen, also die intellectuellen Beziehungen der bestimmten Art zur
Erscheinung kommen«.


§ 93. Bei dem ersten Satze kann man zweifeln, ob nach _Hankel_ die
Zahlen in dem denkenden Subjecte oder in den sie veranlassenden
Objecten oder in beiden existiren. Im räumlichen Sinne sind sie
jedenfalls weder innerhalb noch ausserhalb weder des Subjects noch
eines Objects. Wohl aber sind sie in dem Sinne ausserhalb des Subjects,
dass sie nicht subjectiv sind. Während jeder nur seinen Schmerz, seine
Lust, seinen Hunger fühlen, seine Ton- und Farbenempfindungen haben
kann, können die Zahlen gemeinsame Gegenstände für Viele sein, und zwar
sind sie für Alle genau dieselben, nicht nur mehr oder minder ähnliche
innere Zustände von Verschiedenen. Wenn _Hankel_ die Frage von der
Existenz auf das denkende Subject beziehen will, so scheint er sie
damit zu einer psychologischen zu machen, was sie in keiner Weise ist.
Die Mathematik beschäftigt sich nicht mit der Natur unserer Seele, und
wie irgendwelche psychologische Fragen beantwortet werden, muss für sie
völlig gleichgiltig sein.


§ 94. Auch dass dem Mathematiker nur, was sich selbst widerspricht, als
unmöglich gelte, muss beanstandet werden. Ein Begriff ist zulässig,
auch wenn seine Merkmale einen Widerspruch enthalten; man darf nur
nicht voraussetzen, dass etwas unter ihn falle. Aber daraus, dass
der Begriff keinen Widerspruch enthält, kann noch nicht geschlossen
werden, dass etwas unter ihn falle. Wie soll man übrigens beweisen,
dass ein Begriff keinen Widerspruch enthalte? Auf der Hand liegt
das keineswegs immer; daraus, dass man keinen Widerspruch sieht,
folgt nicht, dass keiner da ist, und die Bestimmtheit der Definition
leistet keine Gewähr dafür. _Hankel_ beweist[109], dass ein höheres
begrenztes complexes Zahlensystem als das gemeine, das allen Gesetzen
der Addition und Multiplication unterworfen wäre, einen Widerspruch
enthält. Das muss eben bewiesen werden; man sieht es nicht sogleich.
Bevor dies geschehen, könnte immerhin jemand unter Benutzung eines
solchen Zahlensystems zu wunderbaren Ergebnissen gelangen, deren
Begründung nicht schlechter wäre, als die, welche _Hankel_[110] von
den Determinantensätzen mittels der alternirenden Zahlen giebt; denn
wer bürgt dafür, dass nicht auch in deren Begriffe ein versteckter
Widerspruch enthalten ist? Und selbst, wenn man einen solchen allgemein
für beliebig viele alternirende Einheiten ausschliessen könnte, würde
immer noch nicht folgen, dass es solche Einheiten gebe. Und grade dies
brauchen wir. Nehmen wir als Beispiel den 18. Satz des 1. Buches von
Euklids Elementen:

In jedem Dreiecke liegt der grössern Seite der grössere Winkel
gegenüber.

Um das zu beweisen, trägt _Euklid_ auf der grössern Seite AC ein Stück
AD gleich der kleinern Seite AB ab und beruft sich dabei auf eine
frühere Construction. Der Beweis würde in sich zusammenfallen, wenn es
einen solchen Punkt nicht gäbe, und es genügt nicht, dass man in dem
Begriffe »Punkt auf AC, dessen Entfernung von A gleich B ist« keinen
Widerspruch entdeckt. Es wird nun B mit D verbunden. Auch dass es eine
solche Gerade giebt, ist ein Satz, auf den sich der Beweis stützt.


§ 95. Streng kann die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes wohl nur
durch den Nachweis dargelegt werden, dass etwas unter ihn falle. Das
Umgekehrte würde ein Fehler sein. In diesen verfällt _Hankel_, wenn er
in Bezug auf die Gleichung x + b = c sagt[111]:

»Es liegt auf der Hand, dass es, wenn b > c ist, keine Zahl x in der
Reihe 1, 2, 3, ... giebt, welche die betreffende Aufgabe löst: die
Subtraction ist dann _unmöglich_. Nichts hindert uns jedoch, dass
wir in diesem Falle die Differenz (c - b) als ein Zeichen _ansehen_,
welches die Aufgabe löst, und mit welchem genau so zu operiren ist, als
wenn es eine numerische Zahl aus der Reihe 1, 2, 3, ... wäre.«

Uns hindert allerdings etwas (2 - 3), ohne Weiteres als Zeichen
anzusehen, welches die Aufgabe löst; denn ein leeres Zeichen löst
eben die Aufgabe nicht; ohne einen Inhalt ist es nur Tinte oder
Druckerschwärze auf Papier, hat als solche physikalische Eigenschaften,
aber nicht die, um 3 vermehrt 2 zu geben. Es wäre eigentlich gar kein
Zeichen, und sein Gebrauch als solches wäre ein logischer Fehler. Auch
in dem Falle, wo c > b, ist nicht das Zeichen (»c - b«) die Lösung der
Aufgabe, sondern dessen Inhalt.


§ 96. Ebensogut könnte man sagen: unter den bisher bekannten Zahlen
giebt es keine, welche die beiden Gleichungen

            x + 1 = 2 und x + 2 = 1

zugleich befriedigt; aber nichts hindert uns ein Zeichen einzuführen,
das die Aufgabe löst. Man wird sagen: die Aufgabe enthält ja einen
Widerspruch. Freilich, wenn man als Lösung eine reelle oder gemeine
complexe Zahl verlangt; aber erweitern wir doch unser Zahlsystem,
schaffen wir doch Zahlen, die den Anforderungen genügen! Warten wir
ab, ob uns jemand einen Widerspruch nachweist! Wer kann wissen, was
bei diesen neuen Zahlen möglich ist? Die Eindeutigkeit der Subtraction
werden wir dann freilich nicht aufrecht erhalten können; aber wir
müssen ja auch die Eindeutigkeit des Wurzelziehens aufgeben, wenn wir
die negativen Zahlen einführen wollen; durch die complexen Zahlen wird
das Logarithmiren vieldeutig.

Schaffen wir auch Zahlen, welche divergirende Reihen zu summiren
gestatten! Nein! auch der Mathematiker kann nicht beliebig etwas
schaffen, so wenig wie der Geograph; auch er kann nur entdecken, was da
ist, und es benennen.

An diesem Irrthum krankt die formale Theorie der Brüche, der negativen,
der complexen Zahlen[112]. Man stellt die Forderung, dass die
bekannten Rechnungsregeln für die neu einzuführenden Zahlen möglichst
erhalten bleiben, und leitet daraus allgemeine Eigenschaften und
Beziehungen ab. Stösst man nirgends auf einen Widerspruch, so hält
man die Einführung der neuen Zahlen für gerechtfertigt, als ob ein
Widerspruch nicht dennoch irgendwo versteckt sein könnte, und als ob
Widerspruchslosigkeit schon Existenz wäre.


§ 97. Dass dieser Fehler so leicht begangen wird, liegt wohl an einer
mangelhaften Unterscheidung der Begriffe von den Gegenständen. Nichts
hindert uns, den Begriff »Quadratwurzel aus -1« zu gebrauchen; aber wir
sind nicht ohne Weiteres berechtigt, den bestimmten Artikel davor zu
setzen und den Ausdruck »die Quadratwurzel aus -1« als einen sinnvollen
anzusehen. Wir können unter der Voraussetzung, dass i² = -1 sei, die
Formel beweisen, durch welche der Sinus eines Vielfachen des Winkels α
durch Sinus und Cosinus von α selbst ausgedrückt wird; aber wir dürfen
nicht vergessen, dass der Satz dann die Bedingung i² = -1 mit sich
führt, welche wir nicht ohne Weiteres weglassen dürfen. Gäbe es gar
nichts, dessen Quadrat -1 wäre, so brauchte die Gleichung kraft unseres
Beweises nicht richtig zu sein[113], weil die Bedingung i² = -1 niemals
erfüllt wäre, von der ihre Geltung abhängig erscheint. Es wäre so, als
ob wir in einem geometrischen Beweise eine Hilfslinie benutzt hätten,
die gar nicht gezogen werden kann.


§ 98. _Hankel_[114] führt zwei Arten von Operationen ein, die er
lytische und thetische nennt, und die er durch gewisse Eigenschaften
bestimmt, welche diese Operationen haben sollen. Dagegen ist nichts zu
sagen, so lange man nur nicht voraussetzt, dass es solche Operationen
und Gegenstände giebt, welche deren Ergebnisse sein können[115].
Später[116] bezeichnet er eine thetische, vollkommen eindeutige,
associative Operation durch (a + b) und die entsprechende ebenfalls
vollkommen eindeutige lytische durch (a - b). Eine solche Operation?
welche? eine beliebige? dann ist dies keine Definition von (a + b); und
wenn es nun keine giebt? Wenn das Wort »Addition« noch keine Bedeutung
hätte, wäre es logisch zulässig zu sagen: eine solche Operation wollen
wir eine Addition nennen; aber man darf nicht sagen: eine solche
Operation soll die Addition heissen und durch (a + b) bezeichnet
werden, bevor es feststeht, dass es eine und nur eine einzige giebt.
Man darf nicht auf der einen Seite einer Definitionsgleichung den
unbestimmten und auf der andern den bestimmten Artikel gebrauchen. Dann
sagt _Hankel_ ohne Weiteres: »der Modul der Operation«, ohne bewiesen
zu haben, dass es einen und nur einen giebt.


§ 99. Kurz diese rein formale Theorie ist unzureichend. Das Werthvolle
an ihr ist nur dies. Man beweist, dass wenn Operationen gewisse
Eigenschaften wie die Associativität und die Commutativität haben,
gewisse Sätze von ihnen gelten. Man zeigt nun, dass die Addition und
Multiplication, welche man schon kennt, diese Eigenschaften haben,
und kann nun sofort jene Sätze von ihnen aussprechen, ohne den Beweis
in jedem einzelnen Falle weitläufig zu wiederholen. Erst durch diese
Anwendung auf anderweitig gegebene Operationen, gelangt man zu den
bekannten Sätzen der Arithmetik. Keineswegs darf man aber glauben die
Addition und die Multiplication auf diesem Wege einführen zu können.
Man giebt nur eine Anleitung für die Definitionen, nicht diese selbst.
Man sagt: der Name »Addition« soll nur einer thetischen, vollkommen
eindeutigen, associativen Operation gegeben werden, womit diejenige,
welche nun so heissen soll, noch gar nicht angegeben ist. Danach stände
nichts im Wege, die Multiplication Addition zu nennen und durch (a + b)
zu bezeichnen, und niemand könnte mit Bestimmtheit sagen, ob 2 + 3  5
oder 6 wäre.


§ 100. Wenn wir diese rein formale Betrachtungsweise aufgeben, so
kann sich aus dem Umstande, dass gleichzeitig mit der Einführung von
neuen Zahlen die Bedeutung der Wörter »Summe« und »Product« erweitert
wird, ein Weg darzubieten scheinen. Man nimmt einen Gegenstand, etwa
den Mond, und erklärt: der Mond mit sich selbst multiplicirt sei -1.
Dann haben wir in dem Monde eine Quadratwurzel aus -1. Diese Erklärung
scheint gestattet, weil aus der bisherigen Bedeutung der Multiplication
der Sinn eines Solchen Products noch gar nicht hervorgeht und also bei
der Erweiterung dieser Bedeutung beliebig festgesetzt werden kann. Aber
wir brauchen auch die Producte einer reellen Zahl mit der Quadratwurzel
aus -1. Wählen wir deshalb lieber den Zeitraum einer Secunde zu einer
Quadratwurzel aus -1 und bezeichnen ihn durch i! Dann werden wir
unter 3 i den Zeitraum von 3 Secunden verstehen u. s. w.[117] Welchen
Gegenstand werden wir dann etwa durch 2 + 3i bezeichnen? Welche
Bedeutung würde dem Pluszeichen in diesem Falle zu geben sein? Nun das
muss allgemein festgesetzt werden, was freilich nicht leicht sein
wird. Doch nehmen wir einmal an, dass wir allen Zeichen von der Form
a + bi einen Sinn gesichert hätten, und zwar einen solchen, dass die
bekannten Additionssätze gelten! Dann müssten wir ferner festsetzen,
dass allgemein

            (a + bi) (c + di) = ac - bd + i (ad + bc)

sein solle, wodurch wir die Multiplication weiter bestimmen würden.


§ 101. Nun könnten wir die Formel für cos (nα) beweisen, wenn wir
wüssten, dass aus der Gleichheit complexer Zahlen die Gleichheit der
reellen Theile folgt. Das müsste aus dem Sinne von a + bi hervorgehn,
den wir hier als vorhanden angenommen haben. Der Beweis würde nur
für den Sinn der complexen Zahlen, ihrer Summen und Producte gelten,
den wir festgesetzt haben. Da nun für ganzes reelles n und reelles α
i gar nicht mehr in der Gleichung vorkommt, so ist man versucht zu
schliessen: also ist es ganz gleichgiltig, ob i eine Secunde, ein
Millimeter oder was sonst bedeutet, wenn nur unsere Additions- und
Multiplicationssätze gelten; auf die allein kommt es an; um das Uebrige
brauchen wir uns nicht zu kümmern. Vielleicht kann man die Bedeutung
von a + bi, von Summe und Product in verschiedener Weise so festsetzen,
dass jene Sätze bestehen bleiben; aber es ist nicht gleichgiltig, ob
man überhaupt einen solchen Sinn für diese Ausdrücke finden kann.


§ 102. Man thut oft so, als ob die blosse Forderung schon ihre
Erfüllung wäre. Man fordert, dass die Subtraction[118], die Division,
die Radicirung immer ausführbar seien, und glaubt damit genug gethan
zu haben. Warum fordert man nicht auch, dass durch beliebige drei
Punkte eine Gerade gezogen werde? Warum fordert man nicht, dass für ein
dreidimensionales complexes Zahlensystem sämmtliche Additions- und
Multiplicationssätze gelten wie für ein reelles? Weil diese Forderung
einen Widerspruch enthält. Ei so beweise man denn erst, dass jene
andern Forderungen keinen Widerspruch enthalten! Ehe man das gethan
hat, ist alle vielerstrebte Strenge nichts als eitel Schein und Dunst.

In einem geometrischen Lehrsatze kommt die zum Beweise etwa gezogene
Hilfslinie nicht vor. Vielleicht sind mehre möglich z. B., wenn man
einen Punkt willkührlich wählen kann. Aber wie entbehrlich auch
jede einzelne sein mag, so hängt doch die Beweiskraft daran, dass
man eine Linie von der verlangten Beschaffenheit ziehen könne. Die
blosse Forderung genügt nicht. So ist es auch in unserm Falle für
die Beweiskraft nicht gleichgiltig, ob »a + bi« einen Sinn hat oder
blosse Druckerschwärze ist. Es reicht dazu nicht hin, zu verlangen,
es solle einen Sinn haben, oder zu sagen, der Sinn sei die Summe von
a und bi, wenn man nicht vorher erklärt hat, was »Summe« in diesem
Falle bedeutet, und wenn man den Gebrauch des bestimmten Artikels nicht
gerechtfertigt hat.


§ 103. Gegen die von uns versuchte Festsetzung des Sinnes von »i«
lässt sich freilich Manches einwenden. Wir bringen dadurch etwas
ganz Fremdartiges, die Zeit, in die Arithmetik. Die Secunde steht in
gar keiner innern Beziehung zu den reellen Zahlen. Die Sätze, welche
mittels der complexen Zahlen bewiesen werden, würden Urtheile a
posteriori oder doch synthetische sein, wenn es keine andere Art des
Beweises gäbe, oder wenn man für i keinen andern Sinn finden könnte.
Zunächst muss jedenfalls der Versuch gemacht werden, alle Sätze der
Arithmetik als analytische nachzuweisen.

Wenn _Kossak_[119] in Bezug auf die complexe Zahl sagt:

»Sie ist die zusammengesetzte Vorstellung von verschiedenartigen
Gruppen unter einander gleicher Elemente[120]«, so scheint er damit die
Einmischung von Fremdartigem vermieden zu haben; aber er scheint es
auch nur infolge der Unbestimmtheit des Ausdrucks. Man erhält gar keine
Antwort darauf, was 1 + i eigentlich bedeute: die Vorstellung eines
Apfels und einer Birne oder die von Zahnweh und Podagra? Beide zugleich
kann es doch nicht bedeuten, weil dann 1 + i nicht immer gleich 1 + i
wäre. Man wird sagen: das kommt auf die besondere Festsetzung an. Nun,
dann haben wir auch in _Kossak's_ Satze noch gar keine Definition
der complexen Zahl, sondern nur eine allgemeine Anleitung dazu. Wir
brauchen aber mehr; wir müssen bestimmt wissen, was »i« bedeutet, und
wenn wir nun jener Anleitung folgend sagen wollten: die Vorstellung
einer Birne, so würden wir wieder etwas Fremdartiges in die Arithmetik
einführen.

Das, was man die geometrische Darstellung complexer Zahlen zu nennen
pflegt, hat wenigstens den Vorzug vor den bisher betrachteten
Versuchen, dass dabei 1 und i nicht ganz ohne Zusammenhang und
ungleichartig erscheinen sondern dass die Strecke, welche man als
Darstellung von i betrachtet, in einer gesetzmässigen Beziehung zu der
Strecke steht, durch welche 1 dargestellt wird. Uebrigens ist es genau
genommen nicht richtig, dass hierbei 1 eine gewisse Strecke, i eine zu
ihr senkrechte von gleicher Länge bedeute, sondern »1« bedeutet überall
dasselbe. Eine complexe Zahl giebt hier an, wie die Strecke, welche als
ihre Darstellung gilt, aus einer gegebenen Strecke (Einheitsstrecke)
durch Vervielfältigung, Theilung und Drehung[121] hervorgeht. Aber auch
hiernach erscheint jeder Lehrsatz, dessen Beweis sich auf die Existenz
einer complexen Zahl stützen muss, von der geometrischen Anschauung
abhängig und also synthetisch.


§ 104. Wodurch sollen uns denn nun die Brüche, die Irrationalzahlen und
die complexen Zahlen gegeben werden? Wenn wir die Anschauung zu Hilfe
nehmen, so führen wir etwas Fremdartiges in die Arithmetik ein; wenn
wir aber nur den Begriff einer solchen Zahl durch Merkmale bestimmen,
wenn wir nur verlangen, dass die Zahl gewisse Eigenschaften habe, so
bürgt nichts dafür, dass auch etwas unter den Begriff falle und unsern
Anforderungen entspreche, und doch müssen sich grade hierauf Beweise
stützen.

Nun, wie ist es denn bei der Anzahl? Dürfen wir wirklich von 1000
(^{1000^{1000}}) nicht reden, bevor uns nicht soviele Gegenstände
in der Anschauung gegeben sind? Ist es so lange ein leeres Zeichen?
Nein! es hat einen ganz bestimmten Sinn, obwohl es psychologisch schon
in Anbetracht der Kürze unseres Lebens unmöglich ist, uns soviele
Gegenstände vor das Bewusstsein zu führen[122]; aber trotzdem ist 1000
(^{1000^{1000}}) ein Gegenstand, dessen Eigenschaften wir erkennen
können, obgleich er nicht anschaulich ist. Man überzeugt sich davon,
indem man bei der Einführung des Zeichens a^n für die Potenz zeigt,
dass immer eine und nur eine positive ganze Zahl dadurch ausgedrückt
wird, wenn a und n positive ganze Zahlen sind. Wie dies geschehen kann,
würde hier zu weit führen, im Einzelnen darzulegen. Die Weise, wie wir
im § 74 die Null, in § 77 die Eins, in § 84 die unendliche Anzahl ∞₁
erklärt haben, und die Andeutung des Beweises, dass auf jede endliche
Anzahl in der natürlichen Zahlenreihe eine Anzahl unmittelbar folgt (§§
82 u. 83), werden den Weg im Allgemeinen erkennen lassen.

Es wird zuletzt auch bei der Definition der Brüche, complexen Zahlen u.
s. w. Alles darauf ankommen, einen beurtheilbaren Inhalt aufzusuchen,
der in eine Gleichung verwandelt werden kann, deren Seiten dann eben
die neuen Zahlen sind. Mit andern Worten: wir müssen den Sinn eines
Wiedererkennungsurtheils für solche Zahlen festsetzen. Dabei sind die
Bedenken zu beachten, die wir (§§ 63-68) in Betreff einer solchen
Umwandlung erörtert haben. Wenn wir ebenso wie dort verfahren, so
werden uns die neuen Zahlen als Umfänge von Begriffen gegeben.


§ 105. Aus dieser Auffassung der Zahlen[123] erklärt sich, wie mir
scheint, leicht der Reiz, den die Beschäftigung mit der Arithmetik und
Analysis ausübt. Man könnte wohl mit Abänderung eines bekannten Satzes
sagen: der eigentliche Gegenstand der Vernunft ist die Vernunft. Wir
beschäftigen uns in der Arithmetik mit Gegenständen, die uns nicht als
etwas Fremdes von aussen durch Vermittelung der Sinne bekannt werden,
sondern die unmittelbar der Vernunft gegeben sind, welche sie als ihr
Eigenstes völlig durchschauen kann[124].

Und doch, oder vielmehr grade daher sind diese Gegenstände nicht
subjective Hirngespinnste. Es giebt nichts Objectiveres als die
arithmetischen Gesetze.


§ 106. Werfen wir noch einen kurzen Rückblick auf den Gang unserer
Untersuchung! Nachdem wir festgestellt hatten, dass die Zahl weder ein
Haufe von Dingen noch eine Eigenschaft eines solchen, dass sie aber
auch nicht subjectives Erzeugniss seelischer Vorgänge ist; sondern dass
die Zahlangabe von einem Begriffe etwas Objectives aussage, versuchten
wir zunächst die einzelnen Zahlen 0, 1 u. s. w. und das Fortschreiten
in der Zahlenreihe zu definiren. Der erste Versuch misslang, weil wir
nur jene Aussage von Begriffen, nicht aber die 0, die 1 abgesondert
definirt hatten, welche nur Theile von ihr sind. Dies hatte zur Folge,
dass wir die Gleichheit von Zahlen nicht beweisen konnten. Es zeigte
sich, dass die Zahl, mit der sich die Arithmetik beschäftigt, nicht als
ein unselbständiges Attribut, sondern substantivisch gefasst werden
muss[125]. Die Zahl erschien so als wiedererkennbarer Gegenstand, wenn
auch nicht als physikalischer oder auch nur räumlicher noch als einer,
von dem wir uns durch die Einbildungskraft ein Bild entwerfen können.
Wir stellten nun den Grundsatz auf, dass die Bedeutung eines Wortes
nicht vereinzelt, sondern im Zusammenhange eines Satzes zu erklären
sei, durch dessen Befolgung allein, wie ich glaube, die physikalische
Auffassung der Zahl vermieden werden kann, ohne in die psychologische
zu verfallen. Es giebt nun eine Art von Sätzen, die für jeden
Gegenstand einen Sinn haben müssen, das sind die Wiedererkennungsätze,
bei den Zahlen Gleichungen genannt. Auch die Zahlangabe, sahen wir,
ist als eine Gleichung aufzufassen. Es kam also darauf an, den Sinn
einer Zahlengleichung festzustellen, ihn auszudrücken, ohne von den
Zahlwörtern oder dem Worte »Zahl« Gebrauch zu machen. Die Möglichkeit
die unter einen Begriff F fallenden Gegenstände, den unter einen
Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuzuordnen, erkannten
wir als Inhalt eines Wiedererkennungsurtheils von Zahlen. Unsere
Definition musste also jene Möglichkeit als gleichbedeutend mit einer
Zahlengleichung hinstellen. Wir erinnerten an ähnliche Fälle: die
Definition der Richtung aus dem Parallelismus, der Gestalt aus der
Aehnlichkeit u. s. w.


§ 107. Es erhob sich nun die Frage: wann ist man berechtigt, einen
Inhalt als den eines Wiedererkennungsurtheils aufzufassen? Es muss dazu
die Bedingung erfüllt sein, dass in jedem Urtheile unbeschadet seiner
Wahrheit die linke Seite der versuchsweise angenommenen Gleichung
durch die rechte ersetzt werden könne. Nun ist uns, ohne dass weitere
Definitionen hinzukommen, zunächst von der linken oder rechten Seite
einer solchen Gleichung keine Aussage weiter bekannt als eben die der
Gleichheit. Es brauchte also die Ersetzbarkeit nur in einer Gleichung
nachgewiesen zu werden.

Aber es blieb noch ein Bedenken bestehen. Ein Wiedererkennungssatz muss
nämlich immer einen Sinn haben. Wenn wir nun die Möglichkeit, die unter
den Begriff F fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden
beiderseits eindeutig zuzuordnen, als eine Gleichung auffassen, indem
wir dafür sagen: »die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich
der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt,« und hiermit den Ausdruck
»die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt« einführen, so haben wir
für die Gleichung nur dann einen Sinn, wenn beide Seiten die eben
genannte Form haben. Wir könnten nach einer solchen Definition nicht
beurtheilen, ob eine Gleichung wahr oder falsch ist, wenn nur die eine
Seite diese Form hat. Das veranlasste uns zu der Definition:

Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes
»Begriff gleichzahlig dem Begriffe F«, indem wir einen Begriff F
gleichzahlig einem Begriffe G nannten, wenn jene Möglichkeit der
beiderseits eindeutigen Zuordnung besteht.

Hierbei setzten wir den Sinn des Ausdruckes »Umfang des Begriffes«
als bekannt voraus. Diese Weise, die Schwierigkeit zu überwinden,
wird wohl nicht überall Beifall finden, und Manche werden vorziehn,
jenes Bedenken in andrer Weise zu beseitigen. Ich lege auch auf die
Heranziehung des Umfangs eines Begriffes kein entscheidendes Gewicht.


§ 108. Es blieb nun noch übrig die beiderseits eindeutige Zuordnung
zu erklären; wir führten sie auf rein logische Verhältnisse zurück.
Nachdem wir nun den Beweis des Satzes angedeutet hatten: die Zahl,
welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der, welche dem Begriffe
G zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist,
definirten wir die 0, den Ausdruck »n folgt in der natürlichen
Zahlenreihe unmittelbar auf m« und die Zahl 1 und zeigten, dass 1
in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0 folgt. Wir führten
einige Sätze an, die sich an dieser Stelle leicht beweisen lassen, und
gingen dann etwas näher auf folgenden ein, der die Unendlichkeit der
Zahlenreihe erkennen lässt:

Auf jede Zahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe eine Zahl.

Wir wurden hierdurch auf den Begriff »der mit n endenden natürlichen
Zahlenreihe angehörend« geführt, von dem wir zeigen wollten, dass
die ihm zukommende Anzahl auf n in der natürlichen Zahlenreihe
unmittelbar folge. Wir definirten ihn zunächst mittels des Folgens
eines Gegenstandes y auf einen Gegenstand x in einer allgemeinen
φ-Reihe. Auch der Sinn dieses Ausdruckes wurde auf rein logische
Verhältnisse zurückgeführt. Und dadurch gelang es, die Schlussweise von
n auf (n + 1), welche gewöhnlich für eine eigenthümlich mathematische
gehalten wird, als auf den allgemeinen logischen Schlussweisen beruhend
nachzuweisen.

Wir brauchten nun zum Beweise der Unendlichkeit der Zahlenreihe den
Satz, dass keine endliche Zahl in der natürlichen Zahlenreihe auf
sich selber folgt. Wir kamen so zu den Begriffen der endlichen und
der unendlichen Zahl. Wir zeigten, dass der letztere im Grunde nicht
weniger logisch gerechtfertigt als der erstere ist. Zum Vergleiche
wurden _Cantors_ unendliche Anzahlen und dessen »Folgen in der
Succession« herangezogen, wobei auf die Verschiedenheit im Ausdrucke
hingewiesen wurde.

§ 109. Aus allem Vorangehenden ergab sich nun mit grosser
Wahrscheinlichkeit die analytische und apriorische Natur der
arithmetischen Wahrheiten; und wir gelangten zu einer Verbesserung
der Ansicht Kants. Wir sahen ferner, was noch fehlt, um jene
Wahrscheinlichkeit zur Gewissheit zu erheben, und gaben den Weg an, der
dahin führen muss.

Endlich benutzten wir unsere Ergebnisse zur Kritik einer formalen
Theorie der negativen, gebrochenen, irrationalen und complexen Zahlen,
durch welche deren Unzulänglichkeit offenbar wurde. Ihren Fehler
erkannten wir darin, dass sie die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes
als bewiesen annahm, wenn sich kein Widerspruch gezeigt hatte, und
dass die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes schon als hinreichende
Gewähr für seine Erfülltheit galt. Diese Theorie bildet sich ein, sie
brauche nur Forderungen zu stellen; deren Erfüllung verstehe sich dann
von selbst. Sie gebärdet sich wie ein Gott, der durch sein blosses Wort
schaffen kann, wessen er bedarf. Es musste auch gerügt werden, wenn
eine Anweisung zur Definition für diese selbst ausgegeben wurde, eine
Anweisung, deren Befolgung Fremdartiges in die Arithmetik einführen
würde, obwohl sie selbst im Ausdrucke sich davon frei zu halten vermag,
aber nur weil sie blosse Anweisung bleibt.

So geräth jene formale Theorie in Gefahr, auf das Aposteriorische oder
doch Synthetische zurückzufallen, wie sehr sie sich auch den Anschein
giebt, in der Höhe der Abstractionen zu schweben.

Unsere frühere Betrachtung der positiven ganzen Zahlen zeigte uns nun
die Möglichkeit, die Einmischung von äussern Dingen und geometrischen
Anschauungen zu vermeiden, ohne doch in den Fehler jener formalen
Theorie zu verfallen. Es kommt wie dort darauf an, den Inhalt eines
Wiedererkennungsurtheils festzusetzen. Denken wir dies überall
geschehen, so erscheinen die negativen, gebrochenen, irrationalen
und complexen Zahlen nicht geheimnissvoller als die positiven ganzen
Zahlen, diese nicht reeller, wirklicher, greifbarer als jene.

[Illustration]



Fußnoten:


[1] Sämmtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd. X, 1 Thl.
Umriss pädagogischer Vorlesungen § 252, Anm. 2: »Zwei heisst nicht zwei
Dinge, sondern Verdoppelung« u. s. w.

[2] K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder
Wissenschaftslehre, 2. Aufl. § 94.

[3] Studien über Association der Vorstellungen. Wien 1883.

[4] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.

[5] Ich will damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen,
sondern nur das treffen, was frühere Schriftsteller, insbesondere
_Kant_ gemeint haben.

[6] Wenn man überhaupt allgemeine Wahrheiten anerkennt, so muss man
auch zugeben, dass es solche Urgesetze giebt, weil aus lauter einzelnen
Thatsachen nichts folgt, es sei denn auf Grund eines Gesetzes. Selbst
die Induction beruht auf dem allgemeinen Satze, dass dies Verfahren die
Wahrheit oder doch eine Wahrscheinlichkeit für ein Gesetz begründen
könne. Für den, der dies leugnet, ist die Induction nichts weiter
als eine psychologische Erscheinung, eine Weise, wie Menschen zu dem
Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne dass dieser Glaube
dadurch irgendwie gerechtfertigt wäre.

[7] Es wird also im Folgenden, wenn nichts weiter bemerkt wird, von
keinen andern Zahlen als den positiven ganzen die Rede sein, welche auf
die Frage wie viele? antworten.

[8] Hobbes, Locke, Newton. Vergl. _Baumann_, die Lehren von Zeit, Raum
und Mathematik. S. 241 u. 242, S. 365 ff., S. 475.

[9] Kritik der reinen Vernunft, herausgeg. v. Hartenstein. III. S. 157.

[10] Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen. S. 55.

[11] B: Nouveaux Essais, IV. § 10. Erdm. S. 363.

[12] C: Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.

[13] Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. I. Theil:
Arithmetik, Stettin 1860, S. 4.

[14] A System der deductiven und inductiven Logik, übersetzt von J.
Schiel. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[15] A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 2.

[16] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[17] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[18] A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 3.

[19] Baumann, a. a. O. II., S. 39; Erdm. S. 243.

[20] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 13 u. 14; Erdm. S. 195, S. 208 u. 209.

[21] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 38; Erdm. S. 212.

[22] A. a. O. Bd. II., S. 669.

[23] Lehrbuch der Analysis, Bd. I., S. 1.

[24] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 54 u. 55.

[25] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 56; Erdm. S. 424.

[26] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Erdm. S. 83.

[27] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Pertz, II., S. 55.

[28] The principles of science. London 1879. S. 156.

[29] Nouveaux Essais, IV, § 9; Erdm. S. 360.

[30] Es ist auffallend, dass auch _Mill_ a. a. O. II. Buch, VI.
Cap. § 4 diese Ansicht auszusprechen scheint. Sein gesunder Sinn
durchbricht eben von Zeit zu Zeit sein Vorurtheil für das Empirische.
Aber dieses bringt immer wieder Alles in Verwirrung, indem es ihn die
physikalischen Anwendungen der Arithmetik mit dieser selbst verwechseln
lässt. Er scheint nicht zu wissen, dass ein hypothetisches Urtheil auch
dann wahr sein kann, wenn die Bedingung nicht wahr ist.

[31] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 475.

[32] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.

[33] Grundzüge einer Elementarmathematik, S. 2, § 4. Aehnlich
Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bonn 1877, S. 1.

[34] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz. 1873, S. 6, 10 u. 11.

[35] A. a. O. Bd. II, S. 669.

[36] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[37] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.

[38] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 409.

[39] Ebenda, Bd. II, S. 56.

[40] Ebenda, Bd. II, S. 2.

[41] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.

[42] Genau genommen müsste hinzugefügt werden: sobald sie überhaupt
ein Phänomen sind. Wenn aber Jemand ein Pferd in Deutschland und eines
in Amerika (und sonst keins) hat, so besitzt er zwei Pferde. Diese
bilden jedoch kein Phänomen, sondern nur jedes Pferd für sich könnte so
genannt werden.

[43] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 428.

[44] Lehrbuch der Analysis, S. 1. Ich nehme an, dass _Lipschitz_ einen
innern Vorgang im Sinne hat.

[45] Handbuch der algebraischen Analysis, S. 1.

[46] Man kann dagegen auch einwenden, dass dann immer dieselbe
Vorstellung einer Stelle erscheinen müsste, wenn dieselbe Zahl
auftritt, was offenbar falsch ist. Das Folgende würde nicht zutreffen,
wenn er unter Vorstellung eine objective Idee verstehen wollte; aber
welcher Unterschied wäre dann zwischen der Vorstellung der Stelle und
der Stelle selbst?

Die Vorstellung im subjectiven Sinne ist das, worauf sich die
psychologischen Associationsgesetze beziehen; sie ist von sinnlicher,
bildhafter Beschaffenheit. Die Vorstellung im objectiven Sinne gehört
der Logik an und ist wesentlich unsinnlich, obwohl das Wort, welches
eine objective Vorstellung bedeutet, oft auch eine subjective mit
sich führt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die subjective
Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen Menschen,
die objective für alle dieselbe. Die objectiven Vorstellungen kann
man eintheilen in Gegenstände und Begriffe. Ich werde, um Verwirrung
zu vermeiden, »Vorstellung« nur im subjectiven Sinne gebrauchen.
Dadurch, dass Kant mit diesem Worte beide Bedeutungen verband, hat
er seiner Lehre eine sehr subjective, idealistische Färbung gegeben
und das Treffen seiner wahren Meinung erschwert. Die hier gemachte
Unterscheidung ist so berechtigt wie die zwischen Psychologie und
Logik. Möchte man diese immer recht streng auseinanderhalten!

[47] Elementare Theorie der analytischen Functionen, S. 1.

[48] 7. Buch der Elemente im Anfange: Μονάς έστι, καθ' ήν έκαστον τών
όντων έν λέγεται. Άριθμός δέ τό έκ μονάδων συγκείμενον πλήθος.

[49] A. a. O. S. 5.

[50] Es kommen Wendungen vor, die dem zu widersprechen scheinen; aber
bei genauerer Betrachtung wird man finden, dass ein Begriffswort zu
ergänzen ist, oder dass »Ein« nicht als Zahlwort gebraucht wird, dass
nicht die Einzigkeit, sondern die Einheitlichkeit behauptet werden soll.

[51] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2; Erdm. S. 8.

[52] A. a. O. Bd. II. S. 669.

[53] A. a. O. Bd. II. S. 669.

[54] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409.

[55] Ueber die Geschichte des Wortes »Einheit« vergl. Eucken,
Geschichte der philosophischen Terminologie. S. 122-3, S. 136, S. 220.

[56] Schularithmetik. Eisenach 1867. S. 5 u. 6.

[57] A. a. O. S. 5.

[58] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.

[59] Ebenda Bd. II. S. 568.

[60] A. a. O. S. 1.

[61] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 103.

[62] A. a. O. S. 3.

[63] The principles of Science, 3 d. Ed. S. 156.

[64] A. a. O. S. 162.

[65] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409-411.

[66] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 3.

[67] Vier Species. S. 2.

[68] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.

[69] Elementare Theorie der analyt. Functionen, S. 1.

[70] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2.

[71] A. a. O. Bd. II. S. 668.

[72] The Principles of Science, S. 157.

[73] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.

[74] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, S. 5 ff.

[75] zu zählenden Gegenstände.

[76] A. a. O. S. 158.

[77] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 169.

[78] A. a. O. S. 6.

[79] »Vorstellung« in dem Sinne von etwas Bildartigem genommen.

[80] Es kommt darauf an, den Sinn einer Gleichung wie

            df(x) = g(x) dx

zu definiren, nicht aber darauf, eine von zwei verschiedenen Punkten
begrenzte Strecke aufzuweisen, deren Länge dx wäre.

[81] Dies Wort rein psychologisch, nicht psychophysisch verstanden.

[82] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 565.

[83] Vergl. E. Schröder a. a. O. S. 7 und 8. E. Kossak, die Elemente
der Arithmetik, Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums.
Berlin, 1872. S. 16. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen
Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.

[84] Um mich bequemer ausdrücken zu können und leichter verstanden zu
werden, spreche ich hier vom Parallelismus. Das Wesentliche dieser
Erörterungen wird leicht auf den Fall der Zahlengleichheit übertragen
werden können.

[85] Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.

[86] In einem hypothetischen Urtheile könnte z. B. eine Gleichheit von
Richtungen als Bedingung oder Folge vorkommen.

[87] Der bestimmte Artikel deutet dies an. Begriff ist für mich ein
mögliches Praedicat eines singulären beurtheilbaren Inhalts, Gegenstand
ein mögliches Subject eines solchen. Wenn wir in dem Satze

      »die Richtung der Fernrohraxe ist gleich der Richtung der Erdaxe«

die Richtung der Fernrohraxe als Subject ansehen, so ist das Praedicat
»gleich der Richtung der Erdaxe«. Dies ist ein Begriff. Aber die
Richtung der Erdaxe ist nur ein Theil des Praedicates; sie ist ein
Gegenstand, da sie auch zum Subjecte gemacht werden kann.

[88] Ich glaube, dass für »Umfang des Begriffes« einfach »Begriff«
gesagt werden könnte. Aber man würde zweierlei einwenden:

1. dies stehe im Widerspruche mit meiner früheren Behauptung, dass die
einzelne Zahl ein Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in
Ausdrücken wie »die Zwei« und durch die Unmöglichkeit angedeutet werde,
von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie dadurch, dass
die Zahl nur einen Theil des Praedicats der Zahlangabe ausmache;

2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne
zusammenzufallen.

Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide Einwände gehoben werden
können; aber das möchte hier zu weit führen. Ich setze voraus, dass man
wisse, was der Umfang eines Begriffes sei.

[89] Hiermit ist der Fall nicht zu verwechseln, wo das »und« nur
scheinbar die Subjecte, in Wahrheit aber zwei Sätze verbindet.

[90] Desgleichen die Umkehrung: Wenn die Zahl, welche dem Begriffe F
zukommt, dieselbe ist wie die, welche dem Begriffe G zukommt, so ist
der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig.

[91] Ganz davon verschieden ist die Definition eines Gegenstandes
aus einem Begriffe, unter den er fällt. Der Ausdruck »der grösste
ächte Bruch« hat z. B. keinen Inhalt, weil der bestimmte Artikel den
Anspruch erhebt, auf einen bestimmten Gegenstand hinzuweisen. Dagegen
ist der Begriff »Bruch, der kleiner als 1 und so beschaffen ist, dass
kein Bruch, der kleiner als 1 ist, ihn an Grösse übertrifft« ganz
unbedenklich, und um beweisen zu können, dass es keinen solchen Bruch
gebe, braucht man sogar diesen Begriff, obgleich er einen Widerspruch
enthält. Wenn man aber durch diesen Begriff einen Gegenstand bestimmen
wollte, der unter ihn fällt, wäre es allerdings nöthig, zweierlei
vorher zu zeigen:

  1. dass unter diesen Begriff ein Gegenstand falle;

  2. dass nur ein einziger Gegenstand unter ihn falle.

Da nun schon der erste dieser Sätze falsch ist, so ist der Ausdruck
»der grösste ächte Bruch« sinnlos.

[92] Siehe Anm. auf S. 87 u. 88.

[93] Satz ohne Allgemeinheit.

[94] Vergl. B. Erdmann, die Axiome der Geometrie S. 164.

[95] Wenn n keine Anzahl ist, so gehört nur n selbst der mit n endenden
natürlichen Zahlenreihe an. Man stosse sich nicht an dem Ausdrucke!

[96] E. Schröder scheint a. a. O. S. 63 diesen Satz als Folge einer
auch anders denkbaren Bezeichnungsweise anzusehen. Es macht sich auch
hier der Uebelstand bemerkbar, der seine ganze Darstellung dieser
Sache beeinträchtigt, dass man nicht recht weiss, ob die Zahl ein
Zeichen ist, und was dann dessen Bedeutung, oder ob sie eben diese
Bedeutung ist. Daraus, dass man verschiedene Zeichen festsetzt, sodass
nie dasselbe wiederkehrt, folgt noch nicht, dass diese Zeichen auch
Verschiedenes bedeuten.

[97] Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig,
1883.

[98] Dieser Ausdruck kann der früher hervorgehobenen Objectivität des
Begriffes zu widersprechen scheinen; aber subjectiv ist hier nur die
Benennung.

[99] Das Beobachten schliesst selbst schon eine logische Thätigkeit ein.

[100] A. a. O. Bd. II. S. 670.

[101] A. a. O. III. S. 39 u. ff.

[102] S. 43 sagt er, dass ein synthetischer Satz nur dann nach dem
Satze des Widerspruchs eingesehen werden kann, wenn ein andrer
synthetischer Satz vorausgesetzt wird.

[103] Ebenso, wenn die Merkmale durch »oder« verbunden sind.

[104] A. a. O. III, S. 82.

[105] Sie soll jedoch nicht nur die logische Form wie die boolesche
Bezeichnungsweise, sondern auch einen Inhalt auszudrücken im Stande
sein.

[106] Begriffsschrift, Halle a/S. 1870, S. 86, Formel 133.

[107] Diesen Beweis wird man immer noch viel zu weitläufig finden, ein
Nachtheil, der vielleicht die fast unbedingte Sicherheit vor einem
Fehler oder einer Lücke mehr als aufzuwiegen scheint. Mein Zweck war
damals Alles auf die möglichst geringe Zahl von möglichst einfachen
logischen Gesetzen zurückzuführen. Infolge dessen wendete ich nur eine
einzige Schlussweise an. Ich wies aber schon damals im Vorworte S. VII
darauf hin, dass für die weitere Anwendung es sich empfehlen würde,
mehr Schlussweisen zuzulassen. Dies kann geschehen ohne der Bündigkeit
der Schlusskette zu schaden, und so lässt sich eine bedeutende
Abkürzung erreichen.

[108] A. a. O. S. 6 u. 7.

[109] A. a. O. S. 106 u. 107.

[110] A. a. O. § 35.

[111] A. a. O. S. 5. Aehnlich E. Kossak, a. a. O. S. 17 unten.

[112] Aehnlich steht es bei _Cantors_ unendlichen Anzahlen.

[113] Auf einem andern Wege möchte sie immerhin streng bewiesen werden
können.

[114] A. a. O. S. 18.

[115] Das thut Hankel eigentlich schon durch den Gebrauch der Gleichung
Θ (c, b) = a.

[116] A. a. O. S. 29.

[117] Mit demselben Rechte könnten wir auch ein gewisses
Electricitätsquantum, einen gewissen Flächeninhalt u. s. w. zu
Quadratwurzeln aus -1 wählen, müssten diese verschiedenen Wurzeln dann
auch selbstverständlich verschieden bezeichnen. Dass man so beliebig
viele Quadratwurzeln aus -1 scheinbar schaffen kann, wird weniger
verwunderlich, wenn man bedenkt, dass die Bedeutung der Quadratwurzel
nicht schon vor diesen Festsetzungen unveränderlich feststand, sondern
durch sie erst mitbestimmt wird.

[118] Vergl. Kossak a. a. O. S. 17.

[119] A. a. O. S. 17.

[120] Man vergleiche über den Ausdruck »Vorstellung« § 27, über
»Gruppe« das in Bezug auf »Aggregat« § 23 u. § 25 Gesagte, über die
Gleichheit der Elemente §§ 34-39.

[121] Der Einfachheit wegen sehe ich hier vom Incommensurabeln ab.

[122] Ein leichter Ueberschlag zeigt, dass dazu Millionen Jahre lange
nicht hinreichen würden.

[123] Man könnte sie auch formal nennen. Doch ist sie ganz verschieden
von der oben unter diesem Namen beurtheilten.

[124] Ich will hiermit gar nicht leugnen, dass wir ohne sinnliche
Eindrücke dumm wie ein Brett wären und weder von Zahlen noch von
sonst etwas wüssten; aber dieser psychologische Satz geht uns hier
gar nichts an. Wegen der beständigen Gefahr der Vermischung zweier
grundverschiedener Fragen hebe ich dies nochmals hervor.

[125] Der Unterschied entspricht dem zwischen »blau« und »die Farbe des
Himmels«.



            TH. SCHATZKY BUCHDR., BRESLAU, WALLSTR. 14b.



    Weitere Anmerkungen zur Transkription


    Offensichtlich fehlerhafte Zeichensetzung wurde stillschweigend
    korrigiert.

    Die Schreibweise der Ellipsen wurde vereinheitlicht.

    Der »größer-als«-Operator wurde auf die heutige Schreibweise >
    geändert.

    Das Zeichen für parallele Strecken wurde von »//« zu »∥« geändert.

    Korrekturen:

    Inhalt § 10 iductive → inductive
      Additionsgesetze _inductive_ Wahrheiten

    S. II: Buchstaben ergänzt
      so ist _es_ doch wohl eine unabweisbare Aufgabe,

    S. 4: mathemathische → mathematische
      um eine _mathematische_ Wahrheit handelt

    S. 23: Endeckungen → Entdeckungen
      hier nicht um die Geschichte unserer _Entdeckungen_,

    S. 24: Ausicht → Ansicht
      Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte _Ansicht_

    S. 62: allmeines → allgemeines
      ein _allgemeines_ Begriffswort (notio communis) sein müsse

    Fußnote 10: ihren → ihre
      Vorlesungen über die complexen Zahlen und _ihre_ Functionen.

    Fußnote 52: Bl. → Bd.
      A. a. O. Bd. II. S. 669.





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