Title: Lehrbuch der Perspective
Author: Conz, Gustav
Language: German
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    Buches.



    LEHRBUCH

    DER

    PERSPECTIVE.

    MIT 118 IN DEN TEXT GEDRUCKTEN
    ZEICHNUNGEN

    VON

    G. CONZ,

    MALER, PROFESSOR AM K. CATHARINENSTIFT IN STUTTGART.

    [Illustration]

    STUTTGART.

    VERLAG VON KONRAD WITTWER.
    1888.



    ~Alle Rechte vorbehalten.~


    Druck von ~Carl Hammer~ in Stuttgart.



Vorwort.


Wer das Schaffen unserer Künstler kennt, der weiss, dass auch der
Talentvollste nicht ohne gewissenhaftes und gründliches Studium zum
Ziele gelangt, und dass sie Mühe und Arbeit nicht zu scheuen pflegen.
Woher kommt es nun, dass die Mehrzahl der Maler so wenig von der
Perspective versteht, welche doch zweifellos eine so wichtige Grundlage
ihrer Studien bildet? Die Meisten unterschäzen den Wert derselben
nicht, nehmen auch wohl dieses oder jenes Lehrbuch zur Hand, aber
gewöhnlich nur, um es bald wieder zur Seite zu legen, ohne ihren Zweck
erreicht zu haben, und wenn man nach dem Grunde fragt, so heisst es,
das möge alles ganz gut für Architekten sein, eigne sich aber nicht für
Maler.

Allerdings ist die Art und Weise, in welcher der Architekt die
perspectivischen Geseze anwendet, wesentlich verschieden von der
des Malers und es mag wohl sein, dass die meisten perspectivischen
Lehrbücher dem Standpunkt des Lezteren weniger als dem des Ersteren
Rechnung tragen.

Der Architekt stellt sich die Aufgabe, das perspectivische Bild eines
Gegenstands mathematisch genau zu berechnen auf Grund bestimmter
Angaben über die wirkliche (geometrische) Richtung, Grösse und
Winkelstellung sämtlicher Linien, wie sie ihm in seinem Grundriss
und Aufriss vorliegen. Für den Maler dagegen ist das perspectivische
Bild, welches in der Natur oder in seiner Fantasie vor ihm steht,
das zuerst Gegebene. In den meisten Fällen ist er darauf angewiesen,
zunächst die perspectivische Richtung und Grösse einzelner für die
beabsichtigte Wirkung seines Bildes wesentlicher Linien, so gut
die Übung seines Auges gestattet, festzustellen und dann erst die
perspectivische Berechnung anzuwenden, um das Übrige mit jenen in
richtige Übereinstimmung zu bringen. Für diese Berechnung fehlen ihm
aber, da er selten in der Lage ist, Messungen an seinem Gegenstand
vorzunehmen, die genauen und bestimmten Angaben, welche dem Architekten
zu Gebote stehen, und welche die Auffassung auch eines geübten Auges
nicht vollständig ersezen kann. Er muss daher in der Regel auf eine
vollständige perspectivische Genauigkeit aller Teile seines Bildes
verzichten und er bezweckt eine solche auch nicht. Man kann sagen, dass
er in dieser Beziehung seiner Aufgabe genügt, wenn er ~perspectivische
Fehler vermeidet, welche für das Auge eines kundigen Beschauers ohne
Anwendung einer Berechnung wahrnehmbar und deshalb für die Wirkung des
Ganzen störend wären~.

Hieraus ergeben sich einerseits gewisse Schwierigkeiten, welche ein
für die Zwecke des Malers geeignetes Lehrbuch der Perspective zu
berücksichtigen hat, anderseits bietet sich die Möglichkeit, in
mancher Beziehung den Stoff zu vereinfachen und leichter verständlich
zu machen.

Der Umgang mit Kunstgenossen, sowie eine langjährige Lehrthätigkeit
haben dem Verfasser das Bedürfnis eines in dem erwähnten Sinne
geschriebenen Lehrbuchs so oft nahe gelegt und ihm zugleich so
vielfache Gelegenheit gegeben, die Mittel und Wege, welche sich hiebei
darbieten, zu erproben, dass er vielleicht hoffen darf, mit dieser
Schrift Vielen einen Dienst zu erweisen. Neben den Bedürfnissen des
Malers sind zugleich diejenigen des Schulunterrichts ins Auge gefasst.
Mit Rücksicht auf diesen sind auch die einfachen geometrischen
Begriffe, welche in Betracht kommen, besprochen und ist die Anordnung
des Stoffes eine solche, dass die für das Freihandzeichnen wichtigsten
und unentbehrlichsten Lehrsäze, welche zugleich die verständlichsten
sind, leicht von den schwierigeren Teilen getrennt vorgenommen werden
können.[1]

    [1]: Anm. Das Notwendigste und zugleich Einfachste sind ausser
    einigen Grundbegriffen (§§ 1--15) die allgemeinen Regeln über
    die Richtung der verkürzten parallelen und wagrechten Linien (§§
    20--29, § 37); nächst diesen die §§ 30--36, 41--64, 71--73, 86--92,
    99--101, § 105. Der Grad von perspectivischer Genauigkeit, welcher
    mit Hilfe dieser Abschnitte zu erzielen ist, mag in vielen Fällen
    genügen.

Auch für den Künstler haben ohne Zweifel die weniger schwierigen
Berechnungen, welche sich im Notfall mittels einiger aus freier Hand
gezeichneter Hilfslinien ausführen lassen, den meisten Wert und
Manchen wäre vielleicht eine noch kürzere und einfachere Fassung des
Ganzen erwünscht und genügend gewesen. Aber abgesehen davon, dass ein
grösserer Massstab des Bildes zuweilen genauere und ausführlichere
Constructionen erfordert, haben dieselben auch den Wert, das
Verständnis zu üben und zu schärfen, wie überhaupt der wichtigste
Nuzen solcher Studien darin besteht, dass das Auge richtiger sehen und
auch ohne Anwendung einer Berechnung die Formen der Natur rascher und
sicherer auffassen lernt.

    =Stuttgart=, im März 1888.

    =Der Verfasser.=



Inhalt.


                                                                   Seite

              Vorwort                                            III--VI


              I. Geometrische Begriffe.

  § 1.        Senkrechte, wagrechte, schräge und parallele Linien      1

  § 2.        Winkel; rechte, stumpfe und spize                     1--3

  § 3.        Dreiecke; gleichseitige, gleichschenklige,
              rechtwinklige                                         3--4

  § 4.        Vierecke; Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez            4--5

  § 5.        Der Kreis. Hilfsmittel zum perspectivischen Zeichnen  5--6


              II. Grundbegriffe der Perspective.

  § 6--11.    Unterschied der geometrischen und perspectivischen
              Form                                                 7--14

  § 12--13.   Der Standpunkt; Sehkreis, Augpunkt, Horizont        15--19

  § 14--20.   Die Distanz      19--23

  § 21--24.   Das Grundgesez der perspectivischen Formerscheinung.
              Verkürzte und unverkürzte Stellung der Flächen und
              Linien                                              24--27


              III. Perspectivische Richtung verkürzter Linien.

  § 25--27.   Verkürzte Parallellinien                            28--31

  § 28--31.   Verkürzte wagrechte Linien                          31--37

  § 32--36.   Rechtwinklige wagrechte Linien                      37--45

  § 37.       Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht
              genau zu berechnen ist                                  45

  § 38--40.   Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt
              unzugänglich ist                                    46--51

  § 41--44.   Verkürzte schräge Linien                            51--57

  § 45--48.   Berechnung der Richtung schräger Linien ohne Hilfe
              ihrer Fluchtpunkte                                  57--62

  § 49--61.   Verschiedene Beispiele: Treppen, Dächer,
              Dachfenster, Turmhelme                              62--80


              IV. Die perspectivischen Grössenverhältnisse.

  § 62.       Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben               81

  § 63--70.   Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener
              Tiefe                                               82--90

  § 71--73.   Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten
              Verhältnissen                                       90--94

  § 74--79.   Perspectivisches Grössenverhältnis nicht
              paralleler Linien                                  95--105

  § 80.       Das Quadrat in gerader Stellung                   105--106

  § 81--85.   Das Quadrat in schräger Stellung                  106--111

  § 86--87.   Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats
              oder Rechtecks                                    111--115


              V. Verkürzte Kreise, Achtecke und Sechsecke;
              Gewölbeformen.

  § 88--90.   Der Kreis in verkürzter Stellung                  116--119

  § 91.       Parallele und concentrische Kreise                119--120

  § 92.       Teilung eines verkürzten Kreises                  120--121

  § 93--95.   Verkürzte Achtecke                                122--127

  § 96--98.   Verkürzte Sechsecke                               127--130

  § 99--100.  Weitere Beispiele: Rad, Wasserrad, Walze,
              Cylinder                                          130--133

  § 101--108. Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel    133--144


Druckfehler.

    S. 17 Zeile 13 und 14 von oben ist zu lesen: je tiefer wir stehen,
      desto schmaler, je höher wir stehen, desto breiter erscheint uns
      dieselbe.

    S. 26 Z. 14 v. o ist zu lesen: _b c_ ferner als _a d_.

    S. 50 "  16 "  "  "   "   "    _B_ statt _g_.

    S. 57 "   1 v. u. "   "   "    _F_ statt _E_.

    S. 62 "   3 v. o. "   "   "    _n a_ statt _m d_.



I. Geometrische Begriffe.


Gerade Linien.

§ 1. Eine gerade Linie ist ~senkrecht~, wenn sie die durch das Lot
oder Senkblei angegebene Richtung hat, ~wagrecht~, wenn ihre beiden
Endpunkte (und somit alle Punkte derselben) in gleicher Höhe liegen,
~schräg~, wenn sie nach irgend einer Richtung hin steigt oder fällt.
Dies gilt sowohl von den wirklichen Linien im Raume, als von den Linien
einer Zeichnung, wenn wir uns leztere senkrecht stehend denken.

Linien, welche dieselbe Richtung haben, so dass der Abstand zwischen
ihnen, soweit man sie verlängern mag, überall gleich gross ist, heissen
~Parallellinien~, vgl. _A B_ und _C D_, _E F_ und _G H_ Fig. 1. Zieht
man zwischen 2 parallelen Linien Verbindungslinien, welche unter sich
gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang, vgl. die Linien
_a_, _b_, _c_, _d_, _e_, _f_ Fig. 1.

[Illustration: Fig. 1.]


Winkel.

§ 2. Linien, welche nicht parallel sind, stehen in einem ~Winkel~ zu
einander. Treffen sie in einem Punkte zusammen, wie in Fig. 2 _b c_ und
_c d_ in _c_ oder _a b_ und _b c_ in _b_, so heisst dieser Punkt die
~Spize~ des Winkels; die beiden den Winkel bildenden Linien heissen
seine ~Schenkel~. Wenn man von der Grösse eines Winkels spricht, so
ist damit der Grad gemeint, in welchem beide Schenkel desselben gegen
einander geneigt sind; der Winkel bei _c_ ist z. B. kleiner, als der
Winkel bei _b_; die Länge der Schenkel kommt hiebei nicht in Betracht.

[Illustration: Fig. 2.]

Eine senkrechte und eine wagrechte Linie, oder 2 schräge Linien, welche
in demselben Grade gegen einander geneigt sind, wie eine senkrechte
und eine wagrechte, bilden einen ~rechten Winkel~, vgl. Fig. 2 _A B_
und _A C_, _e f_ und _c d_. Werden die Schenkel eines rechten Winkels
über die Spize hinaus verlängert, so entstehen 4 rechte Winkel (z. B.
bei _A_). Zwei Linien, welche weniger gegen einander geneigt sind, als
die Schenkel eines rechten Winkels, bilden einen ~stumpfen~ solche,
die stärker gegen einander geneigt sind, einen ~spizen~ Winkel. Ein
stumpfer Winkel (_a b_ und _c b_, Fig. 2) ist also grösser, ein spizer
Winkel (_b c_ und _c d_) ist kleiner, als ein rechter.


Dreiecke.

[Illustration: Fig. 3.]

§ 3. _A_, _B_, _C_, _D_, _E_ Fig. 3 sind verschiedene Arten von
Dreiecken: _A_, ein ~gleichseitiges~ Dreieck, hat 3 gleich lange
Seiten, welche in den Ecken 3 gleich grosse spize Winkel bilden; _B_,
_C_ und _E_ sind ~gleichschenklige~ Dreiecke, in welchen 2 Seiten
gleich lang sind, während die dritte entweder länger oder kürzer ist,
als jene beiden; leztere heisst die ~Grundlinie~. _D_ und _E_ sind
~rechtwinklige~ Dreiecke, d. h. einer der 3 Winkel ist ein rechter; _E_
ist also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck: der Winkel bei
_a_ ist ein rechter, _a b_ und _a c_ sind gleich lang; die Winkel bei
_b_ und _c_ sind halbe rechte Winkel; durch eine Linie von _a_ nach
_d_, der Mitte von _b c_, entstehen 2 rechtwinklige gleichschenklige
Dreiecke: _a d c_ und _a d b_.


Vierecke.

§ 4. Fig. 4 ist ein ~Quadrat~, d. h. ein Viereck mit 4 gleich langen
Seiten, welche in den Ecken 4 rechte Winkel bilden; in einem ~Rechteck~
oder Oblongum (Fig. 5) stossen die Seiten gleichfalls in rechten
Winkeln zusammen, aber das eine Seitenpaar ist länger, als das andere.
Fig. 6 ist eine ~Raute~ oder ein Rhombus: die 4 Seiten sind gleich lang
und die gegenüberliegenden sind parallel, wie im Quadrat, aber sie
bilden in den Ecken nicht rechte, sondern 2 spize und 2 stumpfe Winkel.

[Illustration: Fig. 4.]

[Illustration: Fig. 5.]

[Illustration: Fig. 6.]

Vierecke, in welchen die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, also
Quadrat, Rechteck und Raute, heissen ~Parallelogramme~. Die Linien
_a c_ und _b d_ in Fig. 4, 5 und 6, welche die gegenüberliegenden Ecken
eines Parallelogrammes verbinden, heissen ~Diagonalen~. Die beiden
Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang, und schneiden sich
im Mittelpunkt desselben. Zieht man durch den Punkt _e_, in welchem
sie sich schneiden, Linien, welche mit den Seiten parallel sind, so
werden leztere halbiert. Im Quadrat werden die rechten Winkel der
Ecken durch die Diagonalen halbiert. Diese stehen zu einander in einem
rechten, zu den Seiten des Quadrats in einem halben rechten Winkel.
_e a b_, _e b c_, _e c d_ und _e d a_ Fig. 4 sind 4 rechtwinklige,
gleichschenklige Dreiecke, welche durch die Linien _e f_, _e g_, _e h_
und _e i_ wieder in je 2 solche Dreiecke geteilt werden.

[Illustration: Fig. 7.]

Ein Viereck, in welchem 2 Seiten parallel, die beiden andern nicht
parallel sind, heisst ~Trapez~ (Fig. 7.)


Der Kreis; Hilfsmittel zum perspectivischen Zeichnen.

§ 5. Der ~Kreis~ (Fig. 8) ist eine gebogene Linie, welche überall
gleich weit von einem Punkte, ihrem Mittelpunkt, entfernt ist.
~Durchmesser~ des Kreises heisst eine gerade Linie, welche von einem
beliebigen Punkte der Kreislinie durch den Mittelpunkt hindurch
nach dem entgegengesezten Punkt derselben gezogen wird, wie _a b_;
eine gerade Linie vom Mittelpunkt nach einem beliebigen Punkt der
Kreislinie, z. B. _c a_, _c b_, _c d_, _c e_, welche somit die Hälfte
eines Durchmessers bildet, heisst ~Halbmesser~ oder ~Radius~. Alle
Radien eines Kreises sind gleich lang. ~Concentrische~ Kreise sind
Kreise, welche denselben Mittelpunkt haben.

[Illustration: Fig. 8.]

[Illustration: Fig. 9.]

[Illustration: Fig. 10.]

Als Hilfsmittel sind zum perspectivischen Zeichnen erforderlich: ein
grösseres Reissbrett, ein Zirkel, ein rechter Winkel (Fig. 9) und eine
Reissschiene (Fig. 10); durch leztere erhält man, indem der kurze
Teil an den Rand des Reissbretts angelegt wird, auf bequeme Weise die
senkrechten und wagrechten Linien.



II. Grundbegriffe der Perspective.


Unterschied der geometrischen und perspectivischen Form.

§ 6. Einen Gegenstand perspectivisch zeichnen heisst ihn so zeichnen,
wie er dem Auge erscheint, wenn wir ihn von einem bestimmten
Standpunkte aus betrachten. Dieses scheinbare oder ~perspectivische
Bild~ der Dinge ist vielfach verschieden von der Form, welche sie
in Wirklichkeit haben, d. h. ihrer ~geometrischen Form~; während
leztere unverändert bleibt, ändert sich die perspectivische Form eines
Gegenstands mit jeder Veränderung unseres Standpunkts oder mit jeder
Veränderung in der Stellung des betreffenden Gegenstandes.

Die geometrische Form eines Würfels (cubus) ist z. B. die eines
Körpers, welcher von 6 gleich grossen quadratischen, rechtwinklig
aneinanderstossenden Flächen begrenzt wird. Die Umrisslinien dieser
Flächen sind geometrisch gleich lang, ihre geometrische Richtung
ist, wenn wir den Würfel auf eine wagrechte Fläche stellen, teils
senkrecht, teils wagrecht, sie stehen geometrisch teils parallel, teils
rechtwinklig zu einander. Stellen wir aber mehrere in Wirklichkeit
gleich grosse Würfel in verschiedener Stellung und Entfernung
vor uns, oder betrachten wir denselben Würfel von verschiedenen
Standpunkten aus, so erhalten wir sehr verschiedene Bilder, wie
Fig. 11 zeigt: während einige Linien, wie _a b_, _b c_, _c d_ in
_A_, ihre geometrische Richtung und Länge behalten, erscheint ein
Teil der geometrisch wagrechten Linien schräg, wie _c e_ in _A_,
_a b_, _a g_, _c d_, _c e_, _d f_ und _e f_ in _B_, zuweilen auch
senkrecht, wie _d f_ in _A_; geometrisch parallele Linien erscheinen
nicht mehr parallel, wie _c e_ und _d f_ in _A_, von den geometrisch
gleich grossen Linien und Flächen erscheint bald die eine, bald die
andere grösser oder kleiner u. s. w. Und während in Wirklichkeit die
Gegenstände und ihre einzelnen Teile und Linien nicht nur neben und
über einander, sondern auch in den verschiedensten Entfernungen vor und
hinter einander liegen, sehen wir sie perspectivisch so, als ob sie
in einer senkrechten Fläche sämtlich neben und über einander lägen,
weshalb wir denn auch auf der Fläche des Papiers, der Leinwand u. s.
w. das naturgetreue Bild eines Gegenstandes wiedergeben können. Die
deutlichste Anschauung hievon gibt das fotografische Abbild oder
das Spiegelbild. Wenn wir einen Gegenstand, ohne unser Auge von der
Stelle zu bewegen, so wie wir ihn in einem Spiegel oder durch eine
Fensterscheibe sehen, auf der Fläche des Glases nachzeichnen, so
erhalten wir sein genaues perspectivisches Bild.

[Illustration: Fig. 11.]


§ 7. Es ist die Erfahrung und Übung des Auges, welche bewirkt, dass wir
die perspectivische Form, in der wir die Dinge sehen, nicht mit ihrer
wirklichen oder geometrischen Form verwechseln, sondern uns auch da,
wo die erstere von der lezteren abweicht, eine allerdings nicht immer
genaue Vorstellung von der wirklichen Form des betreffenden Gegenstands
machen können; dass wir z. B. bei Betrachtung von mehreren, wie _A_,
_B_, _C_, _D_, _E_, _F_, _G_ Fig. 11 sich darstellenden Würfeln uns
ihrer verschiedenen Entfernung von unserem Standpunkt, der geometrisch
wagrechten und parallelen Richtung der Linien _c e_, _d f_ u. s. w. in
_A_, der geometrisch gleichen Länge sämtlicher Umrisslinien der Würfel
bewusst sind.

Ja, diese auf der Erfahrung unseres Auges beruhende Kenntnis der
geometrischen Form bildet ein nicht unwesentliches Hindernis für die
richtige Auffassung des perspectivischen Bildes.[2] Unbewusst halten
wir in dem häufigen und mannigfachen Wechsel der perspectivischen
Erscheinung die Vorstellung der geometrischen Form fest und der
ungeübte Zeichner ist deshalb stets geneigt, auch wo das seinem
Auge sich darbietende Bild eines Gegenstands von dessen wirklicher
Form erheblich abweicht, die leztere an Stelle des ersteren zu
sezen, oder wenigstens mehr als richtig ist, der geometrischen Form
nahe zu bleiben. Er wird z. B. Flächen oder Linien, welche von dem
angenommenen Standpunkt aus im Verhältnis zu andern kleiner erscheinen,
als sie in Wirklichkeit sind, fast immer zu gross, in Fig. 12 z. B.
_a b_ statt _i g_ (das linke Bild als das richtige angenommen),
geometrisch rechtwinklige Linien, welche perspectivisch einen stumpfen
oder spizen Winkel bilden, meist so zeichnen, dass sie wenigstens
annähernd rechtwinklig zu einander stehen, vgl. _c_, _d_, _e_, _f_
statt _m_, _n_, _o_, _p_; erscheint eine geometrisch wagrechte Linie
perspectivisch schräg, so wird er sie zu wenig von der wagrechten
Richtung abweichen lassen, vgl. _a b_ u. s. w.

    [2]: Mit dem Ausdruck »Bild« wird sowohl der perspectivisch
    gesehene Gegenstand selbst, als die perspectivische Darstellung
    desselben bezeichnet.

[Illustration: Fig. 12.]


§ 8. ~Jede Berechnung einer perspectivischen Form muss zunächst
ausgehen von der geometrischen Form des betreffenden Gegenstands~: um
zu berechnen, welche Richtung und welche Länge eine bestimmte Linie
unseres Bildes haben soll, müssen wir die wirkliche Richtung und Länge
der betreffenden Linie kennen und nur soweit, als wir diese genau
anzugeben vermögen, ist ein genaues Resultat unserer Berechnung möglich.

Aber, wie bereits angedeutet, ist unsere Beurteilung der geometrischen
Form nicht eine unbedingt sichere und genaue, wenn wir (siehe
Vorwort) voraussezen, dass wir ohne Hilfe von Messungen am Gegenstand
die wirkliche Form desselben nur auf Grund unserer Anschauung und
Erfahrung uns klar zu machen haben.

~Auch ein geübtes Auge vermag die geometrische Form der Dinge nur
dann mit vollkommener Bestimmtheit und Genauigkeit zu erkennen, wenn
dieselbe eine regelmässige, durch die Natur des Gegenstands notwendig
bedingte und dem Auge aus Erfahrung bekannte, nicht aber, wenn sie
unregelmässig, zufällig und willkürlich ist. Unsere Berechnung wird
sich daher nur auf Formen der ersteren Art erstrecken.~

Teils aus diesem Grunde, teils weil wir bei Ausführung einer
perspectivischen Berechnung auf das Lineal angewiesen sind, haben
wir es zunächst nur mit geraden Linien zu thun. Doch ist damit
die Anwendung der perspectivischen Regeln auf Formen, welche
nicht geradlinige Umrisse haben, nicht ausgeschlossen, indem wir
mittels gerader Linien die Lage einzelner wichtiger Punkte ihres
perspectivischen Bildes berechnen können, von welchen aus das Übrige
sich leicht aus freier Hand ergänzen lässt, wie dies z. B. bei der
Darstellung eines von der Seite gesehenen Kreises geschieht, vgl. Fig.
93 und 94.


§ 9. Welche Linienrichtungen und Grössenverhältnisse sind nun als
regelmässig und notwendig, welche als willkürlich anzusehen?

Bei aufmerksamer Betrachtung von Gegenständen der verschiedensten Art
werden wir finden, dass es meist durch die Natur des betreffenden
Gegenstandes bedingt und, auch wenn das perspectivische Bild von
der geometrischen Form abweicht, deutlich wahrnehmbar ist, ob eine
Linie geometrisch senkrecht, wagrecht, oder schräg ist, welche Linien
geometrisch parallel, welche rechtwinklig zu einander stehen. Dasselbe
gilt von den symmetrischen Grössenverhältnissen. (Da die Entfernung
zweier Punkte von einander nach der Länge einer zwischen ihnen
gezogenen geraden Linie bemessen wird, so bezieht sich das Gesagte auch
auf die perspectivischen Entfernungen).

Wo dagegen Linien in einem spizen oder stumpfen Winkel zu einander
stehen, ist die geometrische Größe dieses Winkels meist zufällig und
willkürlich. (Eine Ausnahme bilden die Winkel, in welchen die Linien
mancher geometrischen Figuren zu einander stehen, z. B. die Diagonalen
eines Quadrats zu dessen Seiten, die Seiten eines gleichseitigen
Dreiecks, eines Sechsecks, Achtecks u. s. w. zu einander). Alle
Grössenverhältnisse, mit Ausnahme der symmetrischen, sind mehr oder
weniger willkürlich.


§ 10. Nehmen wir z. B. an, dass das Haus Fig. 13 und das Zimmer Fig.
14 so, wie sie hier gezeichnet sind, in Wirklichkeit vor uns stehen
und dass die geometrische Richtung und Länge der verschiedenen Linien
angegeben werden soll.

[Illustration: Fig. 13.]

Leicht erkennbar sind überall die senkrechten Linien, da ihre Richtung
stets unverändert dieselbe ist. Beispiele geometrisch wagrechter
Linien sind in beiden Figuren die mit _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, _f_,
_g_, _h_ bezeichneten Linien, geometrisch schräg sind in Fig. 13 _i_,
_h_, _k_, _m_, _n_, _o_. Geometrisch parallel sind in Fig. 13 die
Wagrechten _a a_ und _b_, sodann die mit _c_ und die mit _e_, ferner
die mit _f_ bezeichneten Linien und die schrägen Linien _i i_, sowie
_o o_. In Fig. 14 sind geometrisch parallel die mit _e_, sodann die
mit _f_ bezeichneten Linien; ebenso _a_ und _b_, _c_ und _d_, _g_ und
_h_. Geometrisch rechtwinklig stehen zu einander in beiden Figuren die
Linien _a_ und _b_ zu _c_ und _d_, ferner die Linien _e_ zu _f_.

[Illustration: Fig. 14.]

In Fig. 13 haben die 5 Fenster des ersten Stockwerks in Wirklichkeit
gleiche Höhe, und Breite, die Entfernungen der Fenster von einander und
von den Ecken sind je auf einer Seite geometrisch gleich gross, die
Giebellinien _i_ und _k_ sind geometrisch gleich lang, ebenso in Fig.
14 die 4 Tischbeine, die 2 senkrechten Linien der Thüre (zwischen _g_
und _h_) u. s. w.

Die rasche und sichere Auffassung solcher geometrischen
Linienrichtungen und Grössenverhältnisse erfordert immerhin einige
Übung. Dass die geometrisch schräge Linie _m_ Fig. 13 (oder die
geometrisch wagrechte _a b_ Fig. 29) mit einer Senkrechten
verwechselt werde, ist kaum zu befürchten; leichter geschieht es, dass
der Anfänger die geometrisch parallele oder rechtwinklige Stellung von
Linien übersieht, welche nicht in Einer Fläche liegen oder wegen ihrer
geringen Länge wenig in's Auge fallen (z. B. dass die Linie _b_, Fig.
13 geometrisch parallel ist mit _a a_). Bei einiger Aufmerksamkeit
gewöhnt sich jedoch das Auge bald an eine richtige Unterscheidung der
angeführten Linienrichtungen und Grössenverhältnisse.

Aber weder unser Auge noch unsere Erfahrung sagen uns genau, wie gross
in Wirklichkeit der Winkel ist, in welchem die Linien _i_ und _k_
Fig. 13 zu der darunter liegenden Wagrechten _c_, oder in Fig. 14 die
Linien _a_ und _b_, _c_ und _d_ oder _g_ und _h_ zu _e e_ stehen, wie
breit in Wirklichkeit die linke Seite des Hauses Fig. 13 im Verhältnis
zur rechten, das Fenster Fig. 14 im Verhältnis zur vorderen, dieser
zum anstossenden Tischrand ist; denn alle diese Winkelstellungen und
Grössenverhältnisse ergeben sich nicht aus der Natur des Gegenstandes;
sie sind zufälliger Art.


§ 11. Da die zufälligen und willkürlichen Linienrichtungen,
Winkelstellungen und Grössenverhältnisse, deren Darstellung wir dem
Auge und der Übung des Zeichners überlassen, überall häufig vorkommen,
in der landschaftlichen Natur sogar weit vorherrschen über das
Regelmässige und Notwendige der Form, so könnte es scheinen, als ob
die Anwendung und der Nuzen perspectivischer Geseze und Studien sehr
beschränkt sei. Aber es ist klar, dass die Genauigkeit der Zeichnung
eine um so grössere sein muss, die Kenntnis und Anwendung bestimmter
Regeln daher um so notwendiger ist, je bekannter und regelmässiger die
darzustellenden Formen sind, während unregelmässige und willkürliche
Formen der Darstellung eine grössere Freiheit gestatten. Hievon
abgesehen beruht der Wert perspectivischer Studien nicht allein darin,
dass sie uns in Stand sezen, das perspectivische Bild eines Gegenstands
mathematisch zu berechnen, sondern wir lernen durch dieselben
überhaupt die Eindrücke des Auges mit richtigerem und klarerem
Verständnis aufzufassen und infolge dessen auch da, wo keine genauere
Berechnung stattfindet, richtiger wiederzugeben.


Der Standpunkt; Sehkreis, Augpunkt, Horizont.

§ 12. Nächst der geometrischen Richtung und Länge der Linien ist es
ihre Stellung zu unserem Auge, oder, was dasselbe ist, unseres Auges
zu ihnen, d. h. ~unser Standpunkt~, wovon das perspectivische Bild
abhängt. Gewöhnlich versteht man unter Standpunkt die Stelle, auf
welcher wir stehen oder sizen; im Sinne der genauen perspectivischen
Berechnung jedoch verstehen wir darunter ~den Punkt, wo unser Auge sich
befindet~. Der Unterschied zwischen rechtem und linkem Auge kommt dabei
nicht in Betracht wegen der als notwendig vorausgesetzten Entfernung
unseres Standpunkts von dem zu zeichnenden Gegenstand.

[Illustration: Fig. 15.]

Da wir nach allen Richtungen gleich viel übersehen, so bildet der
Umfang dessen, was wir mit Einem Blick erfassen können, einen --
selbstverständlich nicht bestimmt abgegrenzten -- Kreis, unsern
~Sehkreis~, vgl. Fig. 15. Der Mittelpunkt desselben, _P_, ist der
Punkt, welcher dem Auge gerade gegenüber liegt und heisst der
~Augpunkt~. Durch den Augpunkt denke man sich eine wagrechte den
Sehkreis in der Mitte durchschneidende und nach beiden Seiten über
denselben hinaus beliebig sich fortsezende Linie (_H H_) gezogen; dies
ist der perspectivische ~Horizont~. Die perspectivische Berechnung
geht von der Voraussezung aus, dass der Blick des Zeichners bei
aufrechter Haltung des Kopfes geradeaus gerichtet sei, so dass beide
Augen in einer wagrechten Linie liegen, welche wir unsere ~Augenlinie~
nennen. Mit dieser Linie parallel-laufend und in gleicher Höhe mit
ihr haben wir uns den Horizont zu denken. ~Eine von unserem Auge nach
dem Augpunkt gezogene Linie würde demnach rechtwinklig zu unserer
Augenlinie und zum Horizont stehen~ wie _D P_ zu _H H_ in Fig. 15. Man
denke sich die Zeichnung senkrecht stehend und _D P_ als wagrechte
rechtwinklig zu _H H_ stehende Linie, vgl. Fig. 16.

[Illustration: Fig. 16.]

Im gewöhnlichen Sprachgebrauch bedeutet Horizont die Linie, welche
die sichtbaren Gegenstände gegen den Himmel abgrenzt, es sei dies
eine Berglinie, oder der obere Umriss von Gebäuden u. s. w. Dieser
sogenannte scheinbare Horizont ist zugleich unser perspectivischer,
wenn wir eine wagrechte, soweit das Auge reicht vor uns ausgedehnte
Fläche überblicken. Eine solche Fläche erscheint gegen den Himmel
begrenzt durch eine wagrechte in gleicher Höhe mit unserem Auge
liegende Linie, wie uns am deutlichsten die Meeresfläche zeigt: je
tiefer wir stehen, desto schmaler, je höher wir stehen, desto breiter
erscheint uns dieselbe, mit unserem Standpunkt scheint auch die
Grenzlinie des Meeres höher oder tiefer zu rücken,[3] vgl. Fig. 17 und
18.

    [3]: Man könnte aus der Kugelgestalt der Erde schliessen, dass
    die Grenzlinie der Meeresfläche oder einer grossen Ebene nicht
    eine gerade Linie sei und nicht genau in der Höhe des Auges liege.
    Aber im Verhältnis zur Grösse des Erdballs ist der Teil, welchen
    wir mit Einem Blick übersehen können, so klein, dass er wie eine
    wagrechte Fläche, seine Grenzlinie vollständig wagrecht erscheint
    und angenommen werden kann, dass leztere in gleicher Höhe mit dem
    Auge liege.

[Illustration: Fig. 17 und 18.]


§ 13. Indem wir Augpunkt und Horizont auf unserer Zeichnung angeben
(was in sämtlichen Figuren durch die Buchstaben _P_ und _H H_ geschehen
ist), bezeichnen wir damit die ~Höhe~ und die ~Richtung~, aus welcher
wir den betreffenden Gegenstand sehen und zeichnen. In Fig. 15 haben
wir uns demnach den Zeichner in der Fortsezung der Linie _e f_ stehend
oder sizend zu denken, so dass sein Auge dem Punkte _P_ gerade
gegenüber und in gleicher Höhe mit diesem und mit der Linie _H H_ sich
befände, vgl. Fig. 16.

Um beim Zeichnen nach der Natur Augpunkt und Horizont an der richtigen
Stelle anzugeben, muss man zuvor, so gut dies ohne Berechnung möglich,
eine Skizze der Hauptlinien des Bildes nach ihren ungefähren
Verhältnissen entworfen haben. Hält man hierauf einen Bleistift, den
Rand des Zeichenblattes oder dgl. wagrecht in gleicher Höhe mit dem
Auge vor sich, so ist es nicht schwer, die Höhe zu ersehen, in welcher
der Gegenstand von der Horizontlinie durchschnitten wird und auf
derselben die dem Auge gerade gegenüberliegende Stelle zu bestimmen.

Gewöhnlich wird übrigens nicht der ganze Umfang des Sehkreises als Bild
verwendet. Wir pflegen vielmehr der Zeichnung die Form eines Rechtecks
zu geben, welches in der Regel so abgegrenzt wird, dass Horizont und
Augpunkt nicht in der Mitte, aber auch nicht zu nahe am Rande desselben
liegen, vgl. Fig. 17 und 18.


Die Distanz.

§ 14. Unter der ~Entfernung unseres Standpunkts~ oder der ~Distanz~ ist
zu verstehen ~unsere Entfernung von den uns zunächst liegenden Teilen
des zu zeichnenden Gegenstands~. Häufig liegt der nächste Vordergrund
in der wagrechten Fortsezung der Fläche, auf welcher wir unsern
Standpunkt genommen haben und bildet so den untern Rand der Zeichnung,
wie in Fig. 13--15. Ziehen wir in solchem Fall eine Linie von unserem
Fuss nach dem gerade gegenüber liegenden Punkt der Vordergrundlinie,
dem sog. ~Fusspunkt~, so bezeichnet die Länge dieser Linie (_F f_ Fig.
16) die genaue Grösse unserer Distanz.

Denken wir uns, dass anstossend an den Teil unseres Gegenstands,
welcher unserem Auge am nächsten liegt, z. B. in Fig. 15 und 16 auf der
Linie _a b_, eine grosse unser ganzes Bild umfassende Glastafel stehe
und dass Augpunkt, Horizont und Fusspunkt in der senkrechten Fläche
dieser Tafel (der sogenannten Bildfläche) liegen, so wäre eine Linie
vom Auge nach dem Augpunkt eben so lang, als eine Linie von unserem
Fusse nach dem Fusspunkt (vgl. _D P_ und _F f_ Fig. 16) und könnte
ebenso als Mass der Distanz gebraucht werden. In diesem Sinne ist es zu
verstehen, wenn gesagt wird, die Distanz bedeute die Entfernung unseres
Auges vom Augpunkt, und so oft von dieser die Rede ist, muss man sich
das zu zeichnende Bild in der angeführten Weise als eine senkrechte
Fläche vorstellen, wie wir es im Spiegelbilde sehen.


§ 15. ~Die Entfernung des Standpunkts muss wenigstens so gross sein,
dass der Zeichner gerade aus in der Richtung des Augpunkts blickend und
ohne das Auge nach der Seite, nach oben oder unten zu wenden, alles,
was er in sein Bild aufnehmen will, deutlich übersehen kann.~

Denn da bei jeder Veränderung des Standpunkts das perspectivische
Bild des Gegenstands ein anderes wird, so ist die erste Bedingung
einer perspectivisch richtigen Zeichnung, dass das Ganze von ein und
demselben Standpunkt aus, d. h. aus derselben Höhe, Richtung und
Entfernung gezeichnet, die einmal angenommene Lage von Horizont und
Augpunkt, sowie die Grösse der Distanz unverändert beibehalten werde.
Sobald wir aber die Richtung unseres Blickes verändern, so ändert sich
die Lage unseres Augpunkts und somit unser Standpunkt.

Die Grösse der Distanz muss demgemäss in einem gewissen Verhältnis zum
Umfang des zu zeichnenden Gegenstandes stehen: je grösser derselbe sein
soll, desto grösser muss auch die Distanz sein.


§ 16. Man nimmt an, dass das Auge eine ihm senkrecht gegenüberstehende
kreisrunde oder quadratische Fläche vollständig in der angeführten
Weise übersehen kann, wenn seine Entfernung vom Mittelpunkt dieser
Fläche wenigstens so gross ist, als ein Durchmesser oder eine Diagonale
derselben. Dabei ist vorausgesezt, dass sich das Auge dem Mittelpunkt
der Fläche gegenüber befinde.

Wenn wir uns z. B. das Quadrat _a b c d_ Fig. 15 als eine senkrecht vor
uns stehende Glastafel denken, deren Mittelpunkt unser Augpunkt und
deren Diagonale (_a c_ oder _b d_) 4-1/2 Meter lang wäre, so müsste
unser Auge von dem Mittelpunkt dieser Tafel wenigstens 4-1/2 Meter
entfernt sein, um ohne Veränderung des Standpunkts den ganzen Umfang
derselben übersehen zu können. Oder wenn in Fig. 16 _P_ Augpunkt des in
_F_ stehenden Beschauers und _a b c d_ eine quadratische Glastafel ist,
so müssen die Linien _D P_ und _F f_ wenigstens so lang sein wie _a c_
und _b d_, damit das Auge von _D_ aus die ganze Tafel und alles, was
durch dieselbe sichtbar ist, übersehen kann.

Befindet sich das Auge nicht dem Mittelpunkt der Bildfläche gegenüber,
so ist die Diagonale derselben noch kein hinreichendes Mass der
Distanz. Wenn wir z. B. dem Bilde _a b c d_ Fig. 15 so gegenüberstehen,
dass _m_ unser Augpunkt ist, so muss, um den von dem Viereck _a b c d_
umschlossenen Raum übersehen zu können, die Distanz wenigstens doppelt
so gross sein, als eine Linie von _m_ nach _b_ oder nach _c_, d. h.
eben so gross als für ein Rechteck _g b c k_ erforderlich wäre, dessen
Mittelpunkt _m_ ist oder für einen von _m_ aus durch _c_ und _b_
beschriebenen Kreis.

Dagegen kann die Distanz nach Belieben grösser angenommen werden.


§ 17. Natürlich ist das Gesagte nicht so aufzufassen, als ob innerhalb
eines bestimmten Umkreises alle Gegenstände gleich deutlich, jenseits
desselben undeutlich oder gar nicht mehr sichtbar wären, vielmehr nimmt
die Deutlichkeit derselben allmälig ab, je weiter sie sich vom Augpunkt
entfernen. Es ist aber für die perspectivische Berechnung notwendig,
eine Grenzlinie festzusezen, innerhalb deren eine hinreichende
Deutlichkeit des Bildes anzunehmen ist. Dieses Mass der kleinsten
Distanz ist in den perspectivischen Lehrbüchern verschieden angegeben,
wie auch der Umfang dessen, was mit Einem Blick zu übersehen ist,
nicht für jedes Auge gleich gross ist. Jedoch kann ohne Gefahr für
eine perspectivisch richtige Wirkung nicht wohl ein niedrigeres Mass
angenommen werden, als oben geschehen ist.

Ist es dem Zeichner durch die Raumverhältnisse unmöglich gemacht,
seinen Standpunkt in hinreichender Entfernung zu nehmen, so muss
mittels perspectivischer Berechnung das Ganze so gezeichnet werden, wie
es sich, in richtiger Entfernung gesehen, dem Auge darstellen würde.[4]

    [4]: Ein geschickter Zeichner mag sich allerdings zuweilen
    Abweichungen von dieser wie von andern Regeln gestatten, aber um
    zu wissen, wo und wie er dies thun kann, ohne dass die Wirkung
    seiner Zeichnung eine falsche oder zum mindesten unschöne wird,
    muss er vor allem die Regel kennen, welche hiedurch nichts an ihrer
    Giltigkeit verliert.


§ 18. Die Grösse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz wird
ausgedrückt durch die ~Distanzpunkte~. Ein Distanzpunkt ist ein
senkrecht über oder unter dem Augpunkt oder seitwärts von diesem in der
Horizontlinie angegebener Punkt, dessen Entfernung vom Augpunkt (im
Verhältnis der Zeichnung) der Entfernung unseres Auges vom Augpunkt
oder unseres Fusses vom Fusspunkt entspricht. Ist z. B. in Fig. 15
die Linie _a b_ 3 Meter lang und ist die vom Zeichner für das Bild
_a b c d_ angenommene Distanz eine solche, dass sein Fuss von _f_, sein
Auge von dem (senkrecht über _f_ gedachten) Augpunkt _P_ 4-1/2 Meter
entfernt sich befindet, so sind _D_ und _Dg_ Distanzpunkte, indem eine
Linie von einem dieser 2 Punkte bis _P_ 1-1/2 mal so gross ist, als
_a b_.

Zur Unterscheidung werden wir die seitwärts vom Augpunkt liegenden
Distanzpunkte ~Diagonalpunkte~ nennen (_Dg_ und _Dp_). Von den beiden
andern ist stets der unterhalb des Augpunkts liegende verwendet und als
Distanzpunkt (_D_) bezeichnet.

Aus § 16 folgt, dass ein Distanzpunkt oder Diagonalpunkt nie innerhalb
der Zeichnung liegen kann, da ~seine Entfernung vom Augpunkt wenigstens
so gross sein muss, als eine Diagonale derselben, wenn der Augpunkt in
der Mitte des Bildes liegt, oder, wenn dies nicht der Fall ist, doppelt
so gross als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten
Punkte der Zeichnung~.


§ 19. Ein genaues Abmessen der Distanz ist natürlich in den meisten
Fällen nicht ausführbar und ist auch behufs Angabe der Distanzpunkte
nicht notwendig. ~Die Hauptsache ist, dass eine zu kleine Distanz
vermieden wird.~ Um sich beim Zeichnen nach der Natur zu versichern,
dass die angenommene Entfernung des Standpunkts eine für den
beabsichtigten Umfang des Bildes hinreichende sei, kann man sich eines
aus starker Pappe gefertigten Rahmens bedienen, dessen innerer Rand ein
Rechteck von 48 : 36 Centimeter bildet. Die Diagonale eines Rechtecks
von dieser Grösse entspricht ungefähr der durchschnittlichen Länge des
Arms; die Distanz ist also hinreichend gross, wenn der Rahmen, auf
Armeslänge vor das Auge gehalten, während der Blick auf den Augpunkt
gerichtet ist, den ganzen Gegenstand, welcher gezeichnet werden soll,
umschliesst, vgl. Fig. 16. Hiebei wird man sich leicht überzeugen,
dass der Umfang des innerhalb des Rahmens sichtbaren Bildes kleiner
oder grösser wird, je nachdem man, denselben vor sich haltend, dem
Gegenstande näher tritt oder sich von demselben entfernt.


§ 20. Wenn von der Entfernung einzelner Teile des Bildes von unserem
Standpunkt die Rede ist, so kommt dabei nicht in Betracht, ob dieselben
mehr in der Mitte oder nach dem Rande desselben liegen, da dies bei
richtiger Grösse der Distanz keinen für die perspectivische Berechnung
wesentlichen Unterschied macht, sondern es ist damit nur die Entfernung
in der Richtung vom Vordergrund nach dem Hintergrund zu gemeint. Um die
Entfernung eines Punktes oder einer Linie vom Auge in diesem Sinne zu
bezeichnen, gebraucht man häufig den Ausdruck »~Tiefe~«. Man kann z.
B. sagen: _a_ und _b_ Fig. 15 liegen in gleicher Tiefe, _a_ und _e_ in
verschiedener Tiefe.


Das Grundgesez der perspectivischen Formerscheinung. Unverkürzte und
verkürzte Stellung der Flächen und Linien.

§ 21. Das wichtigste und am meisten in die Augen fallende Gesez
der Perspective ist, ~dass alle Gegenstände kleiner zu werden
scheinen, je weiter sie sich von unserem Standpunkt entfernen~. Alle
perspectivischen Formveränderungen lassen sich auf dieses Gesez
zurückführen, dessen Begründung wir im Bau unseres Auges und der
hiedurch bedingten Art, wie sich in demselben die Gegenstände spiegeln,
zu suchen haben.

[Illustration: Fig. 19.]

Aus jenem Gesez folgt zunächst, dass nur eine Fläche, welche ganz
gerade vor uns steht, d. h. senkrecht und parallel mit unserer
Augenlinie, wie die Fläche _A_ Fig. 19, dem Auge genau so erscheinen
kann, wie sie in Wirklichkeit ist, mit andern Worten so, dass die
perspectivische Richtung und das perspectivische Grössenverhältnis
ihrer Umrisse und aller in ihr liegenden Linien mit deren geometrischer
Richtung und Länge übereinstimmt. Denn in diesem Fall befinden sich
sämtliche Teile der Fläche in gleicher Entfernung vom Auge (in
gleicher Tiefe). Sobald wir die Tafel _A_, während unser Standpunkt
derselbe bleibt, nach irgend einer Seite wenden, so liegen einzelne
Teile derselben in ungleicher Tiefe; die ferneren Teile erscheinen
infolge dessen verhältnismässig kleiner, als die näheren und die
perspectivische Form der ganzen Tafel wird hiedurch eine von ihrer
geometrischen Form verschiedene. In _B_ ist z. B. die Linie _b c_
ferner als _a d_, jene erscheint daher kürzer als diese, folglich
können die geometrisch parallelen Linien _a b_ und _d c_ nicht mehr
parallel und sie können nicht mehr beide rechtwinklig zu _a d_
und _b c_ erscheinen. Wird die Tafel _B_ in mehrere gleich grosse
senkrechte Streifen geteilt, so erscheinen diese nach der Linie _b c_
hin allmälig kleiner zu werden, die ganze Fläche erscheint daher
schmaler als bei der Stellung _A_, vgl. Fig. 11.


§ 22. Wenn eine Fläche oder Linie eine solche Stellung zum Auge hat
(unser Standpunkt zu ihr ein solcher ist), dass sämtliche Teile
derselben in gleicher Tiefe liegen, wie in Fig. 19 _A_ und die an _A_
befindlichen Linien, so nennt man dies die ~unverkürzte Stellung~;
eine Fläche oder Linie ist dagegen ~verkürzt~, wenn einzelne Teile
derselben dem Auge näher, andere ferner liegen. Unverkürzt sind also
in Fig. 19 die Flächen _A_ und _G_, sämtliche senkrechte Linien, die
wagrechten Linien _a b_ und _c d_ in _A_ und _D_, _a e_ in _G_, die
schrägen Linien _a c_ und _b d_ in _A_, _a d_ und _b c_ in _E_. Alle
übrigen Flächen und Linien sind verkürzt. (Man bemerke, dass zwar die
schräge ~Fläche~ _E_ verkürzt ist, da _b c_ ferner liegt als _a d_, die
schrägen ~Linien~ _a d_ und _b c_ aber in _E_ unverkürzt sind, indem
ihre beiden Endpunkte in gleicher Tiefe liegen).

~Die senkrechten Linien haben immer unverkürzte Stellung~, da ihre
beiden Endpunkte immer in gleicher Tiefe liegen. Eine senkrechte
_Fläche_ dagegen kann sowohl verkürzt sein wie _B_, als unverkürzt wie
_A_.

~Die unverkürzten wagrechten Linien eines Bildes sind parallel mit
unserer Augenlinie und mit dem Horizont, folglich auch parallel unter
sich.~ Wagrechte und schräge ~Flächen~ sind stets verkürzt.


§ 23. Für Anfänger ist es zweckmässig, einen Bleistift, ein Lineal oder
dergl. in der für die Zeichnung angenommenen Richtung der Augenlinie
und des Horizonts vor sich zu legen, um mit dieser Normallinie die
verschiedenen wagrechten Linien des Gegenstands vergleichen und
leichter unterscheiden zu können, ob sie unverkürzt oder verkürzt sind.

Sollte man in Betreff einer schrägen Linie im Zweifel sein, ob sie
unverkürzt oder verkürzt ist, so denke man sich dieselbe mit einer
senkrechten und einer wagrechten Linie zu einem Dreieck verbunden, wie
in _G_ die schräge Linie _a d_ mit _a e_ und _e d_ oder in _F_ die
Linie _b c_ mit _b e_ und _e c_. Man nennt dies das ~Massdreieck~ einer
schrägen Linie. Ist die wagrechte Linie dieses Dreiecks unverkürzt, wie
_a e_ in _G_, so ist es auch die schräge; ist erstere verkürzt, wie
_b e_ in _F_, so ist auch die schräge Linie verkürzt.


§ 24. ~Unverkürzte Linien, welche in gleicher Tiefe~ (in Einer
unverkürzten senkrechten Fläche) ~liegen~, wie sämtliche Linien der
Fläche _A_ Fig. 19, ~behalten ihre geometrische Richtung und ihr
geometrisches Grössenverhältnis~; sie erscheinen und werden gezeichnet
wie sie in Wirklichkeit sind; ~unverkürzte Linien in ungleicher Tiefe~,
wie _a d_ und _b c_ in _B_, _b c_ und _a d_ in _E_, ~behalten ihre
geometrische Richtung, nicht aber ihr geometrisches Grössenverhältnis~
(indem die ferneren kleiner erscheinen); ~die perspectivische Länge
der verkürzten Linien ist immer, ihre perspectivische Richtung in den
meisten Fällen verschieden von ihrer geometrischen Richtung und Länge~.

Wo die geometrische Richtung oder Länge einer Linie unverändert bleibt,
muss dieselbe entweder nach dem Augenmass oder mit Hilfe von Lineal
und Zirkel bestimmt werden. Wir bedürfen für solche Fälle keiner
perspectivischen Regel und Berechnung.



III. Perspectivische Richtung verkürzter Linien.


Verkürzte Parallellinien.

§ 25. Wenn 2 parallele Linien durch eine Anzahl von Linien verbunden
werden, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind nach § 1,
Fig. 1 diese Verbindungslinien gleich lang. Haben wir nun parallele
Linien in verkürzter Stellung vor uns, wie die Eisenbahnschienen in
Fig. 20, so befinden sich die Verbindungslinien, hier die Schwellen,
in verschiedener Entfernung vom Auge, sie scheinen daher nach der
Ferne hin immer kleiner zu werden, d. h. der Abstand zwischen den
beiden verkürzten Parallellinien scheint sich zu verkleinern, sie
scheinen näher zusammenzurücken je weiter sie sich von unserem Auge
entfernen und wenn sie sich auf sehr weite Entfernung fortsezen, so
müssen sie schliesslich in Einem Punkte, wie hier in dem Punkte _P_,
zusammentreffen, in welchem sie aufhören sichtbar zu sein.

[Illustration: Fig. 20.]

Man nennt diesen Punkt den ~Fluchtpunkt~ oder ~Verschwindungspunkt~ der
betreffenden Linien.


§ 26. In demselben Punkte, in welchem 2 verkürzte Parallellinien
zusammentreffen, müssen auch alle weiteren mit ihnen parallelen Linien,
wie in Fig. 20 die Linien _a P_, _b P_, _c P_, sich treffen, da der
Zwischenraum zwischen allen in demselben Verhältnis nach der Ferne hin
kleiner wird. Wenn _a b_, _b c_ und _c d_ gleich lang, _a e_ und _d f_
je halb so lang sind als _a b_, so müssen _g h_, _h i_ und _i k_, _m g_
und _k n_ in demselben Verhältnis zu einander stehen, sie werden also
zugleich aufhören, sichtbar zu sein.

Wenn wir solche Linien auch nicht mit dem Auge verfolgen können bis
zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen würden, sondern sie nur
in kürzerer Ausdehnung vor uns haben, wie die geometrisch parallelen
Linien _a a_ und _b b_ in Fig. 21, so müssen sie stets so gezeichnet
sein, dass der Zwischenraum zwischen ihnen nach der Ferne hin kleiner
wird, so dass sie, von ihrem ferner liegenden Ende aus fortgesezt,
irgendwo in Einem Punkte zusammentreffen würden, d. h. ~verkürzte
Parallellinien müssen die Richtung nach einem gemeinschaftlichen
Fluchtpunkt haben~.

[Illustration: Fig. 21.]

Man vergleiche ausser Fig. 20 und 21 die wagrechten Parallellinien
_a a_, _c c_, _f f_ in Fig. 13 und 14, sämtliche wagrechte Linien in
Fig. 22, die schrägen Parallellinien _n n_ in Fig. 21, _a c_ und _e d_,
_a g_ und _e h_ in Fig. 36, _a_, _b_, _c_ und _d_ Fig. 37 und andere.

[Illustration: Fig. 22.]


§ 27. Sobald wir also 2 verkürzte Parallellinien dieser Regel
entsprechend gezeichnet haben, so ist damit auch die perspectivische
Richtung aller weiteren mit ihnen parallelen Linien gegeben: man
verlängert die zuerst gezeichneten bis zu dem Punkte, in welchem sie
zusammentreffen und zieht nach diesem die übrigen.

Wie zu verfahren ist, wenn ein Fluchtpunkt ausserhalb der Zeichnung
liegt, wie die Fluchtpunkte der Linien _a a_, _b b_, _n n_ in Fig. 21,
wird später gezeigt werden. Häufig kann jedoch die genaue Berechnung
in solchen Fällen dadurch ersezt werden, dass man einen Papierstreifen
an das Zeichenblatt anlegt, um die betreffenden Linien bis zu ihrem
Fluchtpunkt verlängern zu können, oder dass man wie in Fig. 21 und
22 sie wenigstens so weit als der Raum gestattet, fortsezt, da sich,
je länger sie sind, desto deutlicher beurteilen lässt, ob sie die
erforderliche Richtung nach Einem Punkte hin haben.


Verkürzte wagrechte Linien.

§ 28. Wenn wir am Ende eines Zimmers stehend Decke und Fussboden
desselben betrachten, so scheint die erstere nach dem jenseitigen Ende
des Zimmers hin zu fallen, der Boden scheint nach dorthin anzusteigen;
ebenso scheinen alle wagrechten Flächen, welche höher liegen als
unser Auge, nach der Ferne hin zu fallen, tiefer liegende scheinen
zu steigen. Halten wir aber eine Fläche, z. B. ein dünnes Brett, ein
Stück Pappe oder dergl. wagrecht in gleicher Höhe mit unserem Auge vor
uns, so sehen wir weder die untere noch die obere Seite dieser Fläche,
wir sehen sie nur als eine wagrechte Linie, welche, da der Horizont
gleichfalls eine in der Höhe des Auges liegende wagrechte Linie ist,
mit diesem zusammenfällt, vgl. Fig. 22. ~Alle wagrechten Flächen
scheinen sich also nach dem Horizont hin zu neigen.~

Denn alle wagrechten Flächen sind parallel und sind verkürzt. Daher
scheint der Zwischenraum zwischen 2 wagrechten Flächen, z. B. zwischen
Decke und Fussboden, nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, sie
scheinen einander näher zu rücken, ebenso wie verkürzte parallele
Linien. Wie diese nach Einem Punkte, so scheinen alle wagrechten
Flächen nach Einer Linie hinzustreben und diese Linie kann nach dem
Gesagten nur der Horizont sein: ~der Horizont ist die gemeinschaftliche
Fluchtlinie oder Verschwindungslinie aller wagrechten Flächen~.


§ 29. Mit den wagrechten Flächen scheinen auch die in ihnen liegenden
verkürzten Linien[5] zu steigen oder zu fallen; jede wagrechte Linie
kann als Teil einer wagrechten Fläche gedacht werden; ~folglich müssen
verkürzte wagrechte Linien, wenn sie tiefer liegen als unser Auge, d.
h. unterhalb des Horizonts, von ihrem näheren nach ihrem entfernteren
Endpunkte zu steigen; wenn sie höher liegen als unser Auge, d. h. über
dem Horizont, so müssen sie nach der Ferne hin fallen; wagrechte Linien
aber, welche mit dem Auge in gleicher Höhe liegen, bleiben wagrecht,
auch wenn sie verkürzt sind~. Mit andern Worten: ~die Fluchtpunkte
aller verkürzten wagrechten Linien liegen im Horizont~; jede muss so
gezeichnet sein, dass sie, von ihrem entfernteren Ende aus verlängert,
in irgend einem Punkte den Horizont trifft und dieser Punkt ist
zugleich der Fluchtpunkt aller mit ihr parallelen Linien; vgl. Fig. 20,
21, 22.

    [5]: In einer senkrechten Fläche können sowohl senkrechte als
    wagrechte und schräge Linien liegen, in einer schrägen Fläche nur
    schräge und wagrechte, in einer wagrechten Fläche nur wagrechte
    Linien, vgl. die Flächen _A_, _D_ und _C_, Fig. 19.

Haben wir also wagrechte Parallellinien in verkürzter Stellung zu
zeichnen, so ist, sobald die perspectivische Richtung für eine
derselben bestimmt ist, auch die Richtung der übrigen gegeben: man
verlängert die erstere bis zum Horizont und nach dem Punkte, in welchem
sie ihn trifft, werden die andern gezogen.


§ 30. Die Lage dieser Fluchtpunkte kann nun, wie schon die bisherigen
Beispiele zeigen, eine sehr verschiedene sein. Es entsteht also die
Frage, an welcher Stelle des Horizonts in diesem oder jenem Falle der
Fluchtpunkt einer wagrechten Linie liegen muss, d. h. in welchem Grade
die verschiedenen wagrechten Linien nach dem Horizont hin fallen oder
steigen müssen.

Die allgemeine Regel in dieser Beziehung ist, ~dass der Fluchtpunkt
einer verkürzten wagrechten Linie da liegt, wo eine parallel mit ihr
vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde~. Denn
verkürzte Parallellinien haben denselben Fluchtpunkt.

Z. B.: _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ Fig. 23 sind verkürzte wagrechte Linien,
welche zu der unverkürzten Wagrechten _A B_ verschiedene Winkel bilden.
Der Horizont ist parallel mit den unverkürzten wagrechten Linien
unseres Gegenstandes (§ 22), der Winkel also, in welchem eine verkürzte
wagrechte Linie in Wirklichkeit zu einer unverkürzten Wagrechten steht,
ist derselbe, in welchem sie auch zum Horizont steht. Die geometrische
Stellung der Linien _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ zu _A B_ Fig. 23 ist in
Fig. 24 angegeben. Dies ist auch ihre Winkelstellung zum Horizont.
Denken wir uns nun, dass die 5 Stäbe in Wirklichkeit so wie sie hier
gezeichnet sind vor uns liegen und dass parallel mit denselben 5 Linien
von unserem Auge nach dem Horizont gezogen seien, so müssten die
Punkte, in welchen die von unserem Auge ausgehenden Linien den Horizont
treffen, die Fluchtpunkte der 5 Stäbe sein. Wenn man sich hievon eine
deutliche Vorstellung macht, etwa indem man einen langen Stab parallel
mit einer verkürzten Linie des zu zeichnenden Gegenstands vor's Auge
hält, so wird man die Lage ihres Fluchtpunkts annähernd bestimmen
können; man wird z. B. verstehen, dass der Fluchtpunkt von _e_ sehr
weit nach rechts, der Fluchtpunkt von _d_ näher nach dem Augpunkt hin
liegen muss u. s. w.

[Illustration: Fig. 23.]

[Illustration: Fig. 24.]


§ 31. Die Stellung einer Linie zum Horizont ist jedoch immer eine
willkürliche, da die Richtung des lezteren von der zufälligen Wahl
unseres Standpunkts abhängt. ~Wenn wir die Lage des Fluchtpunkts einer
wagrechten Linie genauer berechnen, so geschieht dies nicht, damit
ihre Stellung zum Horizont, sondern damit ihre Stellung zu andern
Linien des Bildes eine richtige Wirkung mache. Nur wo es sich um eine
bestimmte und notwendige Winkelstellung wagrechter Linien zu einander
handelt, bedürfen wir einer genaueren Regel in Betreff der Lage ihrer
Fluchtpunkte und können wir eine solche anwenden.~

Nehmen wir z. B. in Fig. 23 als Fluchtpunkt der Linie _d_ den Punkt
_y_ statt _x_ an, so scheint der Winkel, in welchem _d_ zu _e_ steht,
grösser, ihr Winkel zu _c_ kleiner zu sein, als wenn _x_ Fluchtpunkt
ist. Aber die Winkelstellung dieser Linien zu einander und zu den
übrigen Linien des Gegenstands ist ebenso willkürlich und zufällig, wie
ihre Stellung zum Horizont. Mit blossem Auge würde der Beschauer auch
nicht mit Bestimmtheit zu erkennen vermögen, dass ihre geometrische
Stellung zu _A B_ und zum Horizont oder ihre Stellung zu einander genau
die in Fig. 24 angegebene ist. Also können wir auch die perspectivische
Stellung dieser Linien zum Horizont und zu einander nicht genau
berechnen und ist es für die perspectivische Richtigkeit der Zeichnung
ohne Belang, ob beispielsweise _y_ oder _x_ als Fluchtpunkt der Linie
_d_ angenommen wird.

Ebenso ist in Fig. 14 die Winkelstellung der verkürzten wagrechten
Linien _g_ und _h_, sowie der Linien _a_, _b_, _c_, _d_ zu den übrigen
Linien des Bildes eine willkürliche. Notwendig ist nur, dass _g_ und
_h_, _a_ und _b_, _c_ und _d_ als parallele Linien erscheinen und dass
die Linien _a_, _b_, _c_, _d_ ein Rechteck darstellen. Wir überlassen
es deshalb dem Auge des Zeichners, zuerst die Richtung für eine der
Linien _g_ oder _h_ und für eine Seite des genannten Rechtecks zu
bestimmen, natürlich mit Rücksicht darauf, dass die Fluchtpunkte dieser
Linien im Horizont liegen müssen, da sie geometrisch wagrecht sind.
Aber angenommen, dass _g_ und _a_ die zuerst gezeichneten Linien seien,
so ist damit nicht nur die perspectivische Richtung der mit jenen
parallelen Linien _h_ und _b_, sondern auch der rechtwinklig zu _a_
stehenden Linien _c_ und _d_ gegeben. Für die Lage des Fluchtpunkts
der 2 lezteren sind ebenso wie für die Richtung der verkürzten
Parallellinien bestimmte Regeln massgebend.

Unsere nächste Aufgabe soll demgemäss die Beantwortung der Frage sein,
~welche Stellung in unserer Zeichnung wagrechte Linien zu einander
haben müssen, welche in Wirklichkeit rechtwinklig zu einander stehen~,
wie _a_ und _d_ oder _e_ und _f_ in Fig. 14, mit andern Worten, nach
welcher Regel der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie zu
bestimmen ist, welche zu einer gegebenen Wagrechten geometrisch
rechtwinklig steht.


Rechtwinklige wagrechte Linien.

§ 32. Man unterscheidet die ~gerade Ansicht eines rechten Winkels,
Rechtecks oder Quadrats~, d. i. wenn nur eine der beiden Linien, welche
einen rechten Winkel bilden, verkürzt, die andere aber unverkürzt ist,
wie _A B_ und _B C_ oder _A D_ und _D C_ in Fig. 25 und die ~schräge
Ansicht~, d. i. wenn beide Schenkel des Winkels verkürzt sind, wie
_a b_ und _b c_ oder _a d_ und _d c_. Der Ausdruck »schräg« bezieht
sich also in diesem Zusammenhang auf die Stellung wagrechter Linien zum
Auge oder zum Horizont.

[Illustration: Fig. 25.]

In § 12 Fig. 15 und 16 wurde gezeigt, dass eine vom Auge nach dem
Augpunkt gezogene Linie einen rechten Winkel zum Horizont bilden würde,
d. h. mit andern Worten: ~wenn wir uns eine Linie von unserem Auge nach
dem Horizont gezogen denken, so dass sie rechtwinklig zu diesem steht,
so trifft sie den Augpunkt, der Augpunkt ist ihr Fluchtpunkt~.

Steht nun eine verkürzte wagrechte Linie geometrisch rechtwinklig zu
einer unverkürzten Wagrechten, wie in Fig. 25 _A D_ oder _B C_ zu
_C D_, so steht sie auch zum Horizont in einem rechten Winkel, sie ist
also parallel mit einer von unserem Auge nach dem Augpunkt gehenden
Linie und muss mit dieser denselben Fluchtpunkt haben.

~Also ist der Augpunkt der Fluchtpunkt aller verkürzten wagrechten
Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten (zum Horizont)
geometrisch rechtwinklig stehen~ oder welche, wie man häufig sagt, sich
in gerader Linie von uns entfernen. Vgl. in Fig. 14 die Linien _f_,
_f_, in Fig. 20 _a P_, _b P_, _c P_ u. s. w.


§ 33. Sind beide Linien, welche den rechten Winkel bilden, verkürzt,
wie in dem Rechteck _a b c d_ Fig. 25, so ist die Frage, wie gross die
Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander, d. h. das Stück des
Horizonts, welches zwischen beiden liegt, sein muss. Denn je nachdem
der Winkel, in welchem 2 verkürzte Linien zu einander stehen, grösser
oder kleiner ist, wird auch die Entfernung ihrer beiden Fluchtpunkte
eine grössere oder kleinere sein und umgekehrt, wie aus § 31 Fig. 23 zu
ersehen ist.

[Illustration: Fig. 26.]

Ausser der geometrischen Grösse des betreffenden Winkels ist jedoch
auch die Grösse der Distanz von Einfluss auf den Abstand der
Fluchtpunkte seiner beiden Schenkel. Eine vom Auge nach dem Horizont
gezogene Linie, welche zu diesem rechtwinklig steht, trifft immer den
Augpunkt und so kann auch die verkürzte Seite eines rechten Winkels in
gerader Ansicht nur im Augpunkt ihren Fluchtpunkt haben, gleichviel,
ob unsere Distanz grösser oder kleiner ist. Steht aber eine verkürzte
Wagrechte in einem beliebigen andern Winkel zum Horizont oder zu einer
unverkürzten Wagrechten, so liegt der Punkt, in welchem eine parallel
mit ihr d. h. in demselben Winkel vom Auge nach dem Horizont gezogene
Linie diesen treffen würde, näher am Augpunkt oder entfernter von ihm,
je nachdem die Entfernung des Auges vom Augpunkt grösser oder kleiner
ist. Dieselbe Linie, welche in Fig. 26 von _a_ aus gezogen die Linie
_m n_ in _z_ trifft, trifft sie von _b_ aus in _p_, von _c_ aus in
_n_ u. s. w. Und wenn wir 2 verkürzte wagrechte Linien vor uns haben,
welche in Wirklichkeit rechtwinklig (oder in einem beliebigen Winkel)
zu einander stehen, so werden die 2 Punkte, in welchen 2 parallel mit
ihnen vom Auge ausgehende Linien den Horizont treffen, desto näher
beisammen liegen, je kleiner die Distanz ist und desto weiter von
einander entfernt sein, je grösser dieselbe ist, wie Fig. 26 deutlich
zeigt: _o p_ ist grösser als _y z_, _m n_ grösser als _o p_.

[Illustration: Fig. 27.]

Demnach kann der Abstand der beiden Fluchtpunkte eines rechten Winkels
in schräger Ansicht ein sehr verschiedener sein. So zeigt Fig. 27
zwei verschiedene Ansichten eines Rechtecks, welche es in derselben
Stellung, aus derselben Höhe und Richtung, aber aus verschiedener
Entfernung gezeichnet darstellen. Mit zunehmender Distanz erscheint
nicht nur das Ganze kleiner, sondern auch die Form der rechten Winkel
wird eine verschiedene: da mit der Distanz die Entfernung der beiden
Fluchtpunkte von einander zunimmt, so erscheinen die Seitenwinkel
bei _b_ und _d_ in _B_ spizer, der Winkel bei _a_ und _c_ erscheint
stumpfer als in _A_.

Natürlich ist die Wirkung dieselbe, wenn wir, statt die Entfernung
unseres Standpunkts zu verändern, den betreffenden Gegenstand näher
oder ferner rücken, vgl. Fig. 29.

Es muss daher die genaue Grösse der für eine Zeichnung angenommenen
Distanz mittels eines Distanzpunkts angegeben und dieser zu Hilfe
genommen werden, wenn der Abstand jener 2 Fluchtpunkte von einander
genau berechnet werden soll. Wie lezteres geschehen kann, ist in §
81--85 gezeigt. Da jedoch die Grösse der vom Zeichner angenommenen
Distanz mit blossem Auge aus den Linien einer Zeichnung nicht zu
ersehen ist, so kann gewöhnlich diese genauere Berechnung entbehrt und
durch Beobachtung der nachfolgenden Regel ersezt werden.


§ 34. ~Überall, wo die Grösse der Distanz von wesentlichem Einfluss ist
auf die perspectivische Form, kommt es hauptsächlich darauf an, die
falsche Wirkung zu vermeiden, welche aus einer zu klein angenommenen
Distanz entsteht. Bei Darstellung eines rechten Winkels in schräger
Ansicht entsteht diese falsche Wirkung, wenn die Entfernung der beiden
Fluchtpunkte von einander zu klein ist.~

[Illustration: Fig. 28.]

Betrachten wir in Fig. 28 _D_ als unser Auge, _P_ als Augpunkt, so
bezeichnet die Linie _D P_ die Grösse der Distanz. Ziehen wir nun (mit
Hilfe des Winkels Fig. 9) von _D_ aus in verschiedener Richtung je 2
rechtwinklig zu einander stehende Linien nach der durch _P_ gehenden
Wagrechten d. h. nach dem Horizont, z. B. _D c_ und _D d_, _D a_ und
_D b_, _D Dg_ und _D Dp_, so ergibt sich, dass die 2 Punkte, in welchen
die verschiedenen Linienpaare den Horizont treffen, dann den geringsten
Abstand von einander haben, wenn sich die beiden Linien in der Stellung
zum Horizont befinden, welche _D Dg_ und _D Dp_ zeigen. Diese stehen
zum Horizont, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, wie
_m n_ und _m o_ zu _o n_, d. h. beide stehen in einem halben rechten
Winkel zum Horizont. _Dg_ und _Dp_ sind Diagonalpunkte: ihre Entfernung
vom Augpunkt ist gleich der Distanz und ihre Entfernung von einander
doppelt so gross als die Distanz, _Dg--Dp_ ist gleich 2 mal _Dp_.

Bei jeder andern Stellung der beiden Linien zum Horizont ist der
Abstand jener beiden Punkte ein grösserer und er wird immer grösser, je
ungleicher die Stellung der beiden Linien zum Horizont ist: _c d_ ist
grösser als _Dp--Dg_, _a b_ grösser als _c d_ u. s. w.


§ 35. Hieraus folgt, ~dass die 2 Fluchtpunkte eines rechten Winkels in
schräger Ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein müssen,
dass der zwischen ihnen liegende Teil des Horizonts doppelt so gross
ist, als die Distanz~. Diese muss nach § 18 wenigstens doppelt so gross
sein, als eine Diagonale des Bildes, oder als eine Linie vom Augpunkt
nach dem von ihm entferntesten Punkte, ~also muss, wenn beide Schenkel
eines aus 2 wagrechten Linien bestehenden rechten Winkels verkürzt
sind, die Entfernung ihrer Fluchtpunkte von einander wenigstens 4
mal so gross sein, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm
entferntesten Punkte der Zeichnung~. Z. B. in Fig. 31 müssen, wenn
_A B_ und _A C_ geometrisch rechtwinklige Linien sind, _P_ Augpunkt
und _f_ die von _P_ entfernteste Ecke des Bildes ist, die Fluchtpunkte
der beiden genannten Linien einen Abstand von einander haben, der
wenigstens = 4 mal _P f_ ist.

Kommen in demselben Bilde verschiedene rechte Winkel in schräger
Stellung vor, so müssen sie selbstverständlich in übereinstimmender
Weise behandelt, d. h. es muss überall dieselbe Distanz zu Grunde
gelegt werden.

Die falsche Wirkung, welche entsteht, wenn gegen jene Regel gefehlt
wird, zeigt Fig. 29. Die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von
einander ist = 4 mal _P f_; daher wirken alle rechten Winkel, welche
innerhalb der Kreislinie _f f_ liegen, perspectivisch richtig, aber die
Winkel bei _m_, _n_ und _o_ können nicht mehr als rechte Winkel gelten.

[Illustration: Fig. 29.]

Andererseits zeigt Fig. 25, dass dem Zeichner innerhalb der angegebenen
Grenze einige Freiheit gestattet ist: _a b e f_ wird auch dem
geübtesten Auge ebenso als richtiges Bild eines Rechtecks erscheinen,
wie _a b c d_.


§ 36. Allerdings ist nicht sofort ersichtlich, wie gross die Entfernung
der beiden Fluchtpunkte ist oder sein muss, da niemals beide
innerhalb der Zeichnung, häufig dagegen weit ausserhalb derselben
liegen. Will man sich nicht mit der Aushilfe begnügen, welche § 27 in
Betreff entfernter Fluchtpunkte angegeben wurde, so ist in Fig. 30
eine genauere Berechnung gezeigt. _A B_ und _A C_ seien 2 verkürzte
wagrechte Linien. Eine von _A_ zum Horizont gezogene Senkrechte _A P_
ist in 4 gleiche Teile geteilt und vom oberen Teilungspunkt _a_ sind
2 Linien _a b_ und _a c_ geometrisch parallel mit _A B_ und _A C_
gezogen, indem an beliebigen Punkten der lezteren Linien z. B. in _D_
und _E_ 2 Senkrechte errichtet und _D d_ und _E e_ = _A a_ gemacht
wurden. _c b_ kann nun als ein Viertel des Abstandes betrachtet werden,
welchen die Fluchtpunkte der Linien _A B_ und _A C_ von einander haben
und es lässt sich hienach bemessen, ob derselbe hinreichend gross ist.
Wäre z. B. _f_ der von _P_ entfernteste Punkt der Zeichnung, so dürften
die beiden Linien _A B_ und _B C_ nicht stärker als hier der Fall ist
gegen einander geneigt sein, der Abstand ihrer Fluchtpunkte dürfte
nicht kleiner sein als 4 mal _c b_; denn _c b_ ist = _P f_.

[Illustration: Fig. 30.]

Oder: wenn _A B_ als erste Linie gezeichnet ist, so muss, nachdem
_a b_ parallel mit _A B_ gezogen und _b c_ = _P f_ gemacht ist, die
zweite von _A_ ausgehende Linie entweder parallel mit _a c_ oder nach
einem ferner liegenden Fluchtpunkt gerichtet sein, d. h. eine flachere
Richtung haben, als _A C_.

Würden bei einer Vierteilung der erstgenannten Senkrechten nicht beide
den Punkten _b_ und _c_ entsprechenden Punkte innerhalb der Zeichnung
fallen, so halbiere man das dem Horizont zunächst liegende Viertel und
ziehe von hier aus die beiden Linien nach dem Horizont, also _i g_ und
_i k_ statt _a b_ und _a c_. Die Punkte, wo sie den Horizont treffen,
hier _g_ und _k_, müssen in diesem Fall einen Abstand haben, der
wenigstens halb so gross ist, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von
ihm entferntesten Punkte.


Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist.

§ 37. Wo die perspectivische Richtung einer verkürzten wagrechten Linie
ohne genauere Berechnung gefunden werden muss, bietet die Vergleichung
mit einer unverkürzten Wagrechten das beste Mittel, um den Grad, in
welchem jene nach dem Horizont hin fallen oder steigen muss, richtig
zu beurteilen. Man halte zu diesem Zweck den Rand des Zeichenblattes,
ein Lineal oder dergl. in der Richtung einer unverkürzten Wagrechten so
zwischen Auge und Gegenstand, dass ein Endpunkt der verkürzten Linie,
welche man zeichnen will, davon durchschnitten wird, wie in Fig. 34 der
Punkt _a_ von der Linie _e f_. Übrigens ist auch die perspectivische
Länge einer verkürzten Linie von wesentlichem Einfluss auf die richtige
oder unrichtige Wirkung ihrer perspectivischen Richtung. Je weniger die
Stellung einer verkürzten Wagrechten zum Horizont von der Richtung des
lezteren abweicht, desto weniger verändert sich ihr Grössenverhältnis
zu andern Linien; je mehr sie der rechtwinkligen Stellung zum
Horizont, ihr Fluchtpunkt dem Augpunkt sich nähert, desto kürzer
scheint sie zu werden, vgl. Fig. 23. Es kommt nun häufig vor, dass die
perspectivische Richtung verkürzter Linien, wenn sie ganz der Regel
entsprechend angegeben ist, dennoch eine falsche Wirkung macht, weil
ihr perspectivisches Grössenverhältnis verfehlt ist und zwar geschieht
dies gewöhnlich in der Weise, dass sie zu lang gezeichnet wird (vgl. §
7).


Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist.

[Illustration: Fig. 31.]

§ 38. In Fig. 31--33 ist gezeigt, wie die Richtung verkürzter
wagrechter Parallellinien, deren Fluchtpunkt nicht erreichbar ist,
genau berechnet werden kann. Es seien in Fig. 31 gegeben die Wagrechten
_A B_ und _A C_ sowie die Senkrechten _A D_ und _C E_ und sollen von
_D_ und _E_ Linien parallel mit _A B_, von _D_ und _B_ 2 weitere
parallel mit _A C_ gezeichnet werden. Man bilde über _A B_ mit der
Horizontlinie und einer in _B_ errichteten Senkrechten das Rechteck
_A B b P_ und errichte in _i_, dem Schnittpunkt seiner Diagonalen, eine
Senkrechte, ziehe hierauf eine Linie von _D_ nach _b_ und von _P_ durch
den Punkt _k_, in welchem _D b_ jene Senkrechte schneidet, eine Linie
nach der verlängerten _B b_, so ist _D G_ perspectivisch parallel mit
_A B_.

Ebenso ist auf der andern Seite durch die Diagonalen des Rechtecks
_A C c P_ dessen perspectivischer Mittelpunkt gefunden und eine in
diesem errichtete Senkrechte benüzt, um die Lage des Punktes _d_ und
hiemit die Richtung der mit _A C_ parallelen Linie _D d_ zu bestimmen.

Um von _E_ eine mit _A B_ parallele Linie zu zeichnen, kann leztere bis
zu der durch _E_ gehenden Senkrechten also bis _s_ verlängert und die
perspectivische Mittellinie des Rechtecks _s A P c_ wie oben benüzt
werden, um den Punkt _t_ zu erhalten. Oder kann seitwärts ein Rechteck
_s o H c_ gebildet, mittels seiner senkrechten Halbierungslinie oben
der Punkt _e_ gefunden und hierauf _e E_ nach rechts verlängert werden.

Wie auf gleiche Weise die mit _A C_ parallele Richtung der von _B_
ausgehenden Linie _B g_ und damit _B r_ mittels der Halbierungslinie
eines Rechtecks _b a f h_ gefunden wird, ist aus den Linien der Figur
zu ersehen. Statt der Linie _A C_ könnte auch eine andere mit ihr
parallele Linie z. B. _d D_ verlängert und durch die Diagonalen _y h_
und _z b_ die Mittellinie von _b h z y_ gefunden werden.

Um schliesslich den Punkt _F_ zu erhalten, kann von _C_ eine mit _A B_
parallele Linie gezeichnet und in dem Punkte _r_, in welchem sie die
verlängerte _B g_ trifft, eine Senkrechte errichtet werden, welche die
parallel mit _A B_ von _E_ ausgehende Linie in _F_ schneidet.

Ist so das schräg liegende Rechteck _E D G F_ gegeben, so lässt sich
die schräge Mittellinie desselben (welche sich durch Verbindung des
perspectivischen Halbierungspunktes von _D G_ mit dem Schnittpunkt der
Diagonalen _D F_ und _E G_ ergibt) verwenden, um von einem beliebigen
Punkte der Linien _D E_ oder _G F_ eine mit _D G_ parallele Linie zu
ziehen, z. B. _m n_.


§ 39. In Fig. 32 sollen, nachdem _A B_ und _A C_ als Seiten eines
Rechtecks gegeben sind, die beiden andern Seiten gezeichnet werden. Da
der Raum nicht gestattet, die genannten Linien wie in Fig. 31 bis zu
den 2 von _C_ und _B_ abwärts gezogenen Senkrechten zu verlangen, so
sind _A a_, _B b_ und _C c_ halbiert und durch die Halbierungspunkte
die Linien _g f e_ und _h f k_ gezogen, welche perspectivisch parallel
sind mit _A B_ und _A C_. Entsprechend § 38 ist nun eine Senkrechte
durch _i_, den Schnittpunkt der Diagonalen _a e_ und _c f_ gezogen,
welche von der Linie _f C_ in _m_ geschnitten wird. Eine Linie von
_e_ durch _m_ ergibt auf der Senkrechten _A a_ den Punkt _p_ und die
mit _A B_ parallele Richtung _C p_. In gleicher Weise ist die mit
_A C_ parallele Richtung _B o_ durch die senkrechte Mittellinie des
Rechtecks _a b k f_ gefunden; statt dessen könnte auch, wie die Figur
zeigt, ein seitwärts gebildetes Rechteck zu demselben Zweck verwendet
werden.

[Illustration: Fig. 32.]

Bequemer wäre jedoch in diesem Fall das in Fig. 33 angewendete
Verfahren, wo gleichfalls _A B_ und _A C_ die gegebenen Seiten eines zu
bildenden Rechtecks sein sollen.

[Illustration: Fig. 33.]

Wenn in einem von 6 Quadraten oder Rechtecken umschlossenen Raume
zwischen 2 entgegengesezten Ecken Diagonallinien gezogen werden, wie
in Fig. 40 die Linien _a b_ und _B c_, so schneiden sich dieselben in
der Mitte jenes Raums: _p_ Fig. 40 ist die Mitte von _A B b C c a G h_.
Eine durch _p_ gezogene Senkrechte trifft also die Rechtecke _a G h c_
und _A B b C_ in dem Durchschnittspunkt ihrer Diagonalen. Ziehen wir
nun in Fig. 33 von _A_, _B_ und _C_ bis zum Horizont die Senkrechten
_A a_, _B b_ und _C c_, so entsprechen die Linien _B c_ und _C b_,
welche sich in _e_ schneiden, den Diagonalen _B c_ und _a b_ Fig.
40 und eine von _e_ abwärts gezogene Senkrechte ergibt _o_ als
perspectivische Mitte der Diagonale _C B_. Die Diagonalen _A b_ und
_a B_ schneiden sich in _k_, _A c_ und _a C_ in _i_; _g_ und _m_ sind
also die perspectivischen Halbierungspunkte von _A B_ und _A C_; _z_
ist Fluchtpunkt der Diagonale _A o_ und folglich auch der von _g_ nach
der Mitte von _B D_ gehenden Linie, da beide geometrisch parallel sind.
_g z_ und die verlängerte _m o_ schneiden sich in _n_, _A z_ und die
verlängerte _B n_ in _D_, womit die Form des Rechtecks gegeben ist.

Die verlängerten Mittellinien _m n_ und _g o_ können sodann benüzt
werden, um entsprechend Fig. 31 und 32 weitere mit _A B_ und _A C_
parallele Linien zu ziehen. Soll z. B. von _d_ nach links eine
mit _A C_ parallele Linie gezeichnet werden, so schneidet man die
verlängerte _m n_ durch _D d_ in _p_ und zieht von _B_ durch _p_ eine
Linie nach _f_; _d f_ ist somit parallel mit _A C_ und _B D_.


§ 40. Muss eine grössere Anzahl von Parallellinien, deren Fluchtpunkt
unzugänglich ist, gezeichnet werden, so würde es zu umständlich
sein, jede einzelne genau zu berechnen. Man kann sich in diesem Fall
begnügen, einige in passenden Zwischenräumen zu konstruieren, um mit
Hilfe derselben ohne weitere Berechnung die übrigen zu zeichnen. So
können in Fig. 21, wenn die Richtung _c d_ gegeben ist, mittels der
senkrechten Halbierungslinie von _c d e f_ die von _g_, _h_ und _i_
ausgehenden Parallellinien genau berechnet und sodann die zwischen
ihnen liegenden ohne weitere Berechnung gezeichnet werden.

Oder können von 2 beliebigen Punkten der zuerst gezeichneten
Wagrechten 2 Senkrechte bis zum Horizont gezogen und beide in eine
gleiche Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden wie in Fig.
30 _A P_, _B G_ und _C F_ in je 4 Teile geteilt sind. Durch die
Verbindung der entsprechenden Teilungspunkte erhält man perspectivische
Parallellinien, zwischen welchen dann weitere gezogen werden können,
vgl. Fig. 75 die Teilung von _A D_ und _B C_ in je 9 Teile. Je nach
Bedürfnis kann sodann dieselbe Einteilung nach oben oder unten in der
Verlängerung jener Senkrechten fortgesezt werden.

Ein weiteres Verfahren, die Richtung verkürzter Parallellinien ohne
Hilfe ihres Fluchtpunkts zu bestimmen, ist in § 70 angegeben.


Verkürzte schräge Linien.

§ 41. In Fig. 36 ist _a c_ eine nach der Ferne hin steigende, _a g_
eine dorthin fallende Linie. (Wenn im Folgenden von fallenden oder
steigenden Linien die Rede ist, so sind immer Linien gemeint, welche
in ~Wirklichkeit~ oder geometrisch nach der Ferne hin fallen oder
steigen). Bilden wir das Massdreieck dieser Linien (vgl. § 23) mittels
der Wagrechten _a b_ und der 2 Senkrechten _b c_ und _b g_, so ist
klar, dass eine steigende Linie wie _a c_, soweit man sie verlängern
mag, niemals einen Punkt treffen kann, der unterhalb der wagrechten
Linie ihres Massdreiecks oder deren Verlängerung liegt und ebenso wenig
eine fallende Linie wie _a g_ einen Punkt, der über jener Wagrechten
liegt.

~Also liegt der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen Linie oberhalb
des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin steigt, unterhalb des
Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin fällt~; vgl. die steigenden und
fallenden Linien in Fig. 37.


§ 42. Es kann vorkommen, dass gemäss dieser Regel eine steigende
Linie so gezeichnet werden muss, dass ihr fernerer Endpunkt tiefer
liegt als der nähere, vgl. _a c_ Fig. 34. Häufiger ist der umgekehrte
Fall, dass Linien, welche in Wirklichkeit nach der Ferne hin fallen,
perspectivisch nach dorthin steigen, wie _a b_ und _c d_ Fig. 35.

[Illustration: Fig. 34.]

In solchen Fällen ist es nötig, durch Hervorheben von geometrisch
wagrechten Linien der nächsten Umgebung, welche zu den betreffenden
schrägen Linien einen sichtbaren Gegensaz bilden, die Wirkung der
lezteren zu unterstüzen, damit sie mit hinreichender Deutlichkeit
das ausdrücken, was sie sein sollen. In Fig. 34 sind es z. B. die
Balken der rechten Seite, in Fig. 35 die wagrechten Fugenlinien der
anstossenden Mauer, welche es dem Beschauer deutlich machen, dass _a c_
dort eine in Wirklichkeit von _a_ nach _c_ steigende, _a b_ in Fig. 35
eine nach _b_ fallende Linie ist.

[Illustration: Fig. 35.]


§ 43. In Fig. 36 sind _a b_ und _e f_ wagrechte Parallellinien, ebenso
_a e_, _b f_ und _c d_; _a c_ und _e d_ sind schräge Parallellinien.
Wenn zwischen parallelen Linien Verbindungslinien liegen, welche
unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang (§
1, Fig. 1); also sind _a e_, _b f_ und _c d_ gleich lang, d. h. die
Entfernung der schrägen Parallellinien _a c_ und _e d_ und diejenige
der wagrechten _a b_ und _e f_ von einander ist gleich gross. Da der
Abstand dieser Parallellinien von einander nach der Ferne hin in
gleichem Masse kleiner zu werden scheint, d. h. in gleicher Tiefe immer
wieder derselbe ist -- _m n_ ist = _o p_ u. s. w. -- so müssen beide in
gleicher Tiefe zusammentreffen, d. h. ihre Fluchtpunkte müssen in Einer
senkrechten Linie liegen, wie Fig. 36 deutlich zeigt.

[Illustration: Fig. 36.]

Dasselbe gilt selbstverständlich für die fallenden Linien _a g_ und
_e h_. Mit andern Worten: ~der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen
Linie liegt senkrecht über oder unter dem Fluchtpunkt der wagrechten
Linie ihres Massdreiecks~.

So liegt in Fig. 37 der Fluchtpunkt der Linien _a_, _b_, _c_ und _d_
senkrecht über _n_, der Fluchtpunkt der Linien _g_ und _i_ senkrecht
unter _n_, die Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ liegen in einer
Senkrechten, welche durch den Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_
geht.

Ist demnach _a c_ Fig. 36 als Richtung einer schrägen Linie, _a b_ als
Richtung der wagrechten Linie ihres Massdreiecks angenommen, so ist
auch die perspectivische Richtung aller mit _a c_ parallelen Linien
gegeben, indem _a b_ bis zum Horizont, _a c_ bis zu der senkrechten
durch den Fluchtpunkt von _a b_ gehenden Linie verlängert und so der
die Richtung der parallelen Linien bestimmende Fluchtpunkt gefunden
wird.


§ 44. ~Befinden sich in einer verkürzten senkrechten Fläche steigende
und fallende Linien, welche in Wirklichkeit denselben Neigungswinkel
haben, so liegen ihre Fluchtpunkte in gleicher Entfernung vom Horizont.~

Solche Linien sind z. B. _a c_ und _a g_ Fig. 36; _a_ und _g_, _d_
und _i_, _f_ und _k_ Fig. 37. In Fig. 36 ist _a c g_ in Wirklichkeit
ein gleichschenkliges Dreieck, also muss eine von seiner Spize _a_
nach der Grundlinie _c g_ gezogene Wagrechte die leztere in ihrem
Halbierungspunkt _b_ treffen; werden _a c_ und _a g_ verlängert und
an beliebiger Stelle durch eine Senkrechte _s m_ verbunden, so wird
leztere durch die verlängerte _a b_ gleichfalls halbiert, also muss
auch _z_, der Fluchtpunkt von _a b_, in der Mitte liegen zwischen _x_
und _y_, den Fluchtpunkten von _a g_ und _a c_.

[Illustration: Fig. 37.]

In Fig. 37 ist _h h_ parallel mit _i i_ (da beide denselben Fluchtpunkt
haben) und die Senkrechte _y z_ wird von der Wagrechten _m n_ in der
Mitte durchschnitten. Ebenso muss _n_ in der Mitte liegen zwischen
den Fluchtpunkten der Linien _h_, _i_, _g_ und _c_, _d_, _a_; die
Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ müssen gleich weit entfernt sein vom
Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_.


Berechnung der Richtung schräger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte.

§ 45. Man bedient sich jedoch, um die Richtung verkürzter schräger
Linien zu berechnen, selten ihrer Fluchtpunkte, da dieselben in den
meisten Fällen ausserhalb der Zeichenfläche liegen. Den nächstliegenden
Ersaz bietet die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks. Ist
Richtung und Länge der wagrechten sowie die Höhe der senkrechten Linie
eines solchen Dreiecks gegeben oder leicht zu berechnen, so ist damit
auch die Richtung (und Länge) der betreffenden schrägen Linien gefunden.

Nehmen wir z. B. an, dass in Fig. 38 die Linie _A C_ gegeben sei und
darüber ein Giebel von beliebiger Höhe, dessen 2 Seiten mit _A C_
in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck bilden, gezeichnet
werden soll, so kann _k_ als perspectivische Mitte von _A C_ durch
die Diagonalen eines Rechtecks _A C E D_ oder _A C g f_ gefunden und
in _k_ eine Senkrechte errichtet werden, in welcher die Spize des
Giebeldreiecks liegen muss. -- Ist das Dreieck _A B k_ gegeben, so dass
der Punkt _C_ bestimmt werden muss, so bildet man mit _A k_ und einer
beliebigen Parallellinie, z. B. _i D_, ein Rechteck _A k i D_ und zieht
eine Linie von _D_ durch die Mitte von _i k_ nach der verlängerten
_A k_, wodurch _C k_ = _A k_ gemacht ist.

[Illustration: Fig. 38.]

Soll, nachdem _D F_ und _D E_ gegeben sind, von _E_ abwärts eine Linie
gezeichnet werden, welche denselben Neigungswinkel hat, wie _D F_, so
wird leztere verlängert bis _e_, wo sie die senkrechte Mittellinie
trifft und von _e_ durch _E_ die Linie _E G_ gezogen. -- Oder kann
von _F_ eine mit _D E_ parallele Linie nach links und die senkrechte
Mittellinie von _E D f g_ gezogen, die von _y_ nach _H H_ gehende
Senkrechte halbiert und hierauf durch eine Linie von _r_ durch diesen
Halbierungspunkt der Punkt _G_ bestimmt werden.


§ 46. In Fig. 39 ist angenommen, dass die perspectivische Richtung
und Länge der Linien _A B_ und _A C_, die Höhe _A a_ und die Breite
_a c_ bestimmt seien, womit auch die Richtung der schrägen Linie
_A c_ gegeben ist, in welcher die inneren Ecken der Stufen liegen
müssen; die äusseren Ecken liegen in einer mit _A c_ parallel von _a_
ausgehenden Linie, deren Richtung gefunden wird, indem man _c d_ =
_b c_ macht. Eine Linie von _d_ nach dem Fluchtpunkt von _A C_ ergibt
_e_, eine Senkrechte von hier den Punkt _f_. Bildet man hierauf das
Rechteck _A C h g_, so kann mittels seiner Diagonalen _m n_ als
senkrechte Mittellinie gefunden werden; _C m n_ ist demnach = _A m n_
und die Ecken der ferneren Stufen können durch die von _a_ und _k_
nach dem Fluchtpunkt von _A C_ gezogenen Linien und die entsprechenden
Senkrechten gefunden werden. (Übrigens kann dieselbe Aufgabe auch ohne
Hilfe der zweiten schrägen Linie gelöst werden: man macht _a k_ und
_k g_ = _A a_, zieht von diesen Punkten aus die mit _A C_ parallelen
Linien und erhält die Punkte _d_ und _f_ durch die in _c_ und _e_
errichteten Senkrechten.) Die übrigen Linien der Figur sind teils
senkrecht, teils sind sie parallel mit _A C_ oder mit _A B_.

[Illustration: Fig. 39.]


§ 47. Ein Beispiel, wie die Richtung verkürzter schräger Parallellinien
ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts berechnet werden kann, ist auch in Fig.
31 enthalten, wo, um den Punkt _F_ zu finden, _B r_ und _C r_ gezogen
und in _r_ eine Senkrechte errichtet wurde, welche auf der von _E_
ausgehenden Wagrechten den Punkt _F_ und hiemit die mit _D E_ parallele
Richtung der Linie _G F_ ergibt. Auf dieselbe Weise kann in Fig. 40,
wenn das Dreieck _A B D_ und die Wagrechte _A C_ gegeben sind, die
Richtung der mit _A D_ parallelen Linie _C E_ berechnet werden, indem
man von _C_ eine mit _A B_, von _d_ und _D_ zwei mit _A C_ parallele
Linien zieht und in _e_ eine Senkrechte errichtet. Ebenso kann _F n_
gefunden werden durch die Linien _F m_ und _m n_.

[Illustration: Fig. 40.]

In Fig. 38 kann von _p_ aus eine Linie parallel mit _A B_ gezeichnet
werden mittels der Linien _k x_, _p x_ und einer in _x_ errichteten
Senkrechten. Oder kann man in _A_ und _p_ 2 Senkrechte errichten,
_B b_ parallel mit _A C_, _b o_ parallel mit _A p_ ziehen und hierauf
durch eine weitere mit _A C_ parallele Linie von _o_ aus den Punkt _n_
bestimmen.

Soll von _D_ aus abwärts eine mit _A B_ parallele Linie gezeichnet
werden, so kann durch die Verlängerung von _A B_, _A C_ und _D E_ ein
Dreieck _A c d_ gebildet und _d h_ = _c d_ gemacht werden, wodurch
_D h_ parallel mit _B A_ ist. Oder kann, nachdem das Dreieck _A B b_
gezeichnet ist, _D a_ = _A b_ gemacht und von _a_ eine mit _A C_ und
_b B_ parallele Linie bis zu der Senkrechten _B k_ gezogen werden,
wodurch _e D_ parallel mit _A B_ ist und von _D_ aus verlängert werden
kann. Es könnte ferner, wenn _F z_ geometrisch = _y z_ ist, durch den
Halbierungspunkt von _D z_ eine Linie von _i_ nach der verlängerten
_y z_ gezogen werden.


§ 48. In Fig. 41 sei _A G a_ und _A o_ gegeben. Um die Richtung
der parallel mit _A a_ von _B_, _i_ und _o_ ausgehenden Linien zu
berechnen, ist durch den Halbierungspunkt der Senkrechten _n a_ eine
mit _A G_ parallele Linie nach _f_ und von hier aus _f g_ als wagrechte
Mittellinie des Daches gezogen, welche nun ähnlich wie die Mittellinien
in Fig. 31 benüzt werden kann, um zwischen _A B_ und _a p_ beliebige
mit _A a_ parallele Linien z. B. _B b_, _i k_ und _o p_ zu zeichnen:
man zieht _a B_ und _A r b_, _b i_ und _B s k_ u. s. w. Die Richtung
der Linie _C c_ ist auf die in § 45 Fig. 38 angegebene Weise berechnet:
_d h_ ist = _n a_ gemacht und von _h_ eine Linie durch _C_ nach der
verlängerten _m z_ gezogen. Der Punkt _F_ ergibt sich durch eine
parallel mit _A G_ von _E_ nach der Verlängerung von _b B_ gezogenen
Linie; eine Senkrechte von _F_ abwärts schneidet die von _c_ nach
rechts gehende Wagrechte in _e_, womit _E e_ gegeben ist.

[Illustration: Fig. 41.]

Sind auf solche Weise einige Parallellinien gezeichnet, so kann die
perspectivische Richtung weiterer zwischen ihnen liegender Linien auch
ohne genaue Berechnung jeder einzelnen ohne Schwierigkeit bestimmt
werden.


Verschiedene Beispiele. Treppen, Dächer, Dachfenster, Turmhelme.

§ 49. Die Anwendung des vorangegangenen ist in Fig. 42--60 an weiteren
Beispielen gezeigt. Der Gleichartigkeit des Gegenstands wegen befinden
sich unter denselben auch solche, bei denen die im folgenden Abschnitt
besprochene Form des verkürzten Quadrats als gegeben betrachtet werden
muss.

Für die Construction der Treppe Fig. 42 nehmen wir die Höhe und Breite
der untersten Stufe, also die perspectivische Länge der Linien _B b_
und _b c_, sowie die Linie _A B_ als gegeben an. Da leztere eine
unverkürzte Wagrechte ist, so muss der Augpunkt Fluchtpunkt der Linie
_b c_ sein. Wird nun _b m_ = _B b_ gemacht, in _c_ eine Senkrechte
errichtet und von _m_ eine Linie nach _P_ gezogen, so ist _c n_ die
perspectivische Höhe der zweiten Stufe und es ist durch _b n_ die
Richtung der schrägen Linie gegeben, in welcher die vorderen Ecken
der folgenden Stufen liegen müssen. Hierauf wird auf der verlängerten
_B m_ die Höhe _B b_ mit dem Zirkel so oft wiederholt, als nötig
ist, um die gewünschte Zahl von Stufen zu erhalten und werden von
den Teilungspunkten Linien nach _P_ gezogen. Die Punkte, in welchen
leztere die Linie _b d_ schneiden, sind die vorderen Ecken der Stufen,
die hinteren dem Punkte _c_ entsprechenden Ecken ergeben sich durch
die von _o_, _p_ u. s. w. abwärts gezogenen Senkrechten. Auf der
andern Seite schneiden sich _a P_ und die von _c_ nach links gezogene
Wagrechte in _y_, eine Wagrechte von _n_ nach links und eine in _y_
errichtete Senkrechte schneiden sich in _z_ u. s. w.

[Illustration: Fig. 42.]

Um von _F_ aus die mit _a D_ und _b d_ parallele Linie des Geländers
zu zeichnen, ist durch die Diagonalen eines Rechtecks _g h d D_ dessen
wagrechte Mittellinie bestimmt, welche von der Linie _F d_ in _i_
geschnitten wird, worauf die von _h_ durch _i_ nach _D d_ gezogene
Diagonale den Punkt _f_ und hiemit _F f_ als Parallele von _h d_
ergibt.


§ 50. Fig. 43 zeigt 2 häufige Formen von Dachfenstern. _m y_ und _n z_
sind parallel mit _A D_ zu zeichnen, _y z_, _o p_, _m n_ parallel
mit _A C_; die Höhe _m o_ sowie die Länge _m y_ sind beliebig,
vorausgesezt, dass _o y_ und _p z_ als nach _y_ und _z_ hin steigende
Linien gezeichnet sind.

[Illustration: Fig. 43.]

Bei der zweiten Form ist _d f_ parallel mit _A D_; die Höhe des Giebels
kann beispielsweise in _i_ oder in _c_ angenommen werden; _e f_, _i k_,
_c b_ sind parallel mit _A B_; die Punkte _b_ oder _k_ liegen sodann
da, wo die von _c_ oder _i_ parallel mit _A B_ gezogenen Wagrechten
sich mit einer schrägen Linie schneiden, welche von _a_, der Mitte
von _d h_, parallel mit _A D_ aufsteigt. Durch den Punkt _b_, in
welchem die leztgenannte Linie und die Firstlinie des Hauptdaches sich
schneiden, ist _c b_ als grösste Höhe gegeben, welche für die obere
Wagrechte des Dachfensters angenommen werden darf, d. h. eine von
seiner Giebelspize parallel mit _A B_ gezogene Wagrechte darf die von
_a_ parallel mit _A D_ ausgehende Linie nicht jenseits des Punktes _b_,
nicht oberhalb der Firstlinie _D b_ treffen, es wäre denn, dass eine
entsprechende Fortsezung auf der andern Dachseite angenommen würde.


§ 51. In Fig. 44 seien _a b_ und _b c_ als zwei Seiten eines
quadratischen Turmes gegeben und soll darüber ein Dach gezeichnet
werden, dessen Spize über der Mitte des ganzen Turmes, d. h. seiner
quadratischen Grundfläche liegt. Zieht man die mit _a b_ und _b c_
parallelen Linien _d c_ und _a d_, so muss die Spize in einer
Senkrechten liegen, welche in dem Schnittpunkte der Diagonalen _a c_
und _b d_ errichtet wird; die Höhe der Spize ist beliebig. Bequemer
wird in den meisten Fällen die Mitte des Ganzen auf die § 39 angegebene
Weise gefunden: man zieht an beliebiger Stelle die mit _a b_ und
_b c_ parallelen Linien _e f_ und _f g_ (oder benüzt statt derselben
die Horizontlinie), um mittels der Diagonalen _c e_ und _a g_ den
gewünschten Punkt zu erhalten, in welchem jene Senkrechte zu errichten
ist.

[Illustration: Fig. 44.]

Häufig kann man sich auch damit begnügen, die 2 äusseren Senkrechten z.
B. in Fig. 44 _e a_ und _g c_, nach oben zu verlängern und die Spize in
die Mitte zwischen beide zu verlegen. Das Resultat stimmt zwar nicht
immer vollständig mit dem der genauen Berechnung überein, doch ist die
Abweichung eine so geringe, dass die richtige Wirkung nicht dadurch
beeinträchtigt wird; vgl. Fig. 45.


§ 52. In Fig. 45 sind zuerst von _a_, _b_ und _c_ aus 3 Linien nach
einem tiefer liegenden Punkte _o_ der senkrechten Mittellinie gezogen,
hierauf an beliebiger Stelle die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien
_k m_ und _m n_ und von den Punkten _k_, _m_ und _n_ 3 Linien nach der
höher liegenden Spize _p_.

[Illustration: Fig. 45.]

Die Construction von Fig. 46 ist hienach leicht zu verstehen. In Fig.
47 sind von _a_, _b_ und _c_ aus zuerst 3 Linien nach dem höher in
der Mittellinie liegenden Punkt _p_, hierauf die mit _a b_ und _b c_
parallelen _d e_ und _e f_, und nach dem tiefer liegenden Punkt _o_ die
Linien _d o_, _e o_ und _f o_ gezogen.

[Illustration: Fig. 46.]

[Illustration: Fig. 47.]


§ 53. Bei der in Fig. 48 und 49 dargestellten Dachform liegen die
Punkte _E_ und _F_ senkrecht über den Punkten _m_ und _n_, welche
ihrerseits in der Mittellinie _a b_ des Rechtecks _A B C D_ liegen.
_m a_ ist in Wirklichkeit = _n b_; denken wir uns die senkrecht
über _A B_ und _C D_ stehenden Giebelwände _A B d_ und _D C f_
hinzugezeichnet, so wäre auch _E d_ = _F f_. Gewöhnlich haben die
beiden schrägen Dreiecke (_A B E_ und _D C F_) denselben Neigungswinkel
wie die anstossenden Breitseiten des Daches. In diesem Fall müssen die
senkrecht unter _E_ und _F_ liegenden Punkte _m_ und _n_ Mittelpunkte
zweier Quadrate sein, deren Seiten = _A B_ sind, so dass _m a_ = _A a_
wäre. Doch ist die Form auch dann eine richtige, wenn angenommen wird,
dass der Neigungswinkel jener Flächen (_A B E_ und _A E F D_) ein
verschiedener sei. Die Hauptsache ist, dass _E_ und _F_ von _d_ und
_f_ oder _m_ und _n_ von _a_ und _b_ gleich weit entfernt sind, mit
andern Worten, dass die beiden Dreiecke _A B E_ und _C D F_ die gleiche
Neigung haben. Zu diesem Zweck bestimme man in Fig. 48, angenommen,
dass _A B E_ und _A D_ gegeben seien, die perspectivische Mitte der
Firstlinie in _h_ (mittels _A C_ und _B D_ oder _B z_ und _D y_) bilde
das Rechteck _E h e c_ und ziehe _c F_ durch die Mitte von _h e_, so
ist _F h_ perspectivisch = _E h_. Oder man verbinde (Fig. 49) den
Halbierungspunkt _r_ der Linie _A D_ mit _h_, der wie oben gefundenen
Mitte der Firstlinie, ziehe die Diagonale _E D_ und durch den Punkt, in
welchem _E D_ und _r h_ sich schneiden, eine Linie von _A_ nach _F_.

[Illustration: Fig. 48.]

[Illustration: Fig. 49.]

Oder auch man bestimme, nachdem _A B E_ und _A D_ (Fig. 49) gegeben
sind, die perspectivische Mitte von _A B_ und _C D_, also die Punkte
_a_ und _b_, ziehe von _a_ durch _E_ eine Linie nach der senkrechten
Mittellinie des Ganzen (errichtet im Schnittpunkte der Diagonalen _B z_
und _D y_) und von _o_ eine Linie nach _b_, welche die Firstlinie in
_F_ schneidet.


§ 54. Um das Dach Fig. 50 zu construieren, wird zuerst die einfache
Dachform _C A a g h_ und an beliebiger Stelle die Wagrechte _e f_
parallel mit _A a_, sowie _e c_ parallel mit _A C_ gezeichnet. Die
perspectivische Mitte von _A C_ ist _m_, eine Linie von hier durch den
Schnittpunkt _i_ ergibt den Punkt _n_ als Mitte der Firstlinie. Die
Lage des einen der beiden Punkte _D_ oder _d_ wird beliebig angenommen,
die des zweiten durch die Diagonalen _D c_ und _e d_, wie in Fig. 49, §
53, gefunden.

[Illustration: Fig. 50.]

Häufig wird es auch genügen, bei Darstellung von Dachformen wie Fig.
48--50 zuerst die gewöhnliche Dachform mit senkrechten Giebelwänden
oder die perspectivische Mitte der Firstlinie anzugeben und nach dem
Ermessen des Auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen
Teile kleiner zu zeichnen, als den näheren, also z. B. in Fig. 50 dafür
zu sorgen, dass _n d_ kleiner sei als _D n_, _d h_ kleiner als _g D_.


§ 55. Wenn in einem Dach von der Fig. 48--50 dargestellten Form
Dachfenster wie in Fig. 43 gezeichnet werden sollen, so muss die
schräge Mittellinie der betreffenden Seite gesucht werden. In Fig. 51
z. B. muss die Linie _e d_ perspectivisch parallel sein mit _c D_;
wäre das Dachfenster nicht in der Mitte von _A B D_, so müsste eine
mit _c D_ parallele Linie entsprechend der Linie _a b_ in Fig. 43
gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden.

[Illustration: Fig. 51.]

Auf der anstossenden Seite _A C E D_ müssen _a b_, _f g_ u. s. w.
parallel sein mit der Mittellinie _m n_. In Fig. 53 wäre _f c_ am
unteren, _c z_ am oberen Teil massgebend für die schrägen Linien eines
Dachfensters.


§ 56. Fig. 52, ein Staffelgiebel, ist so construiert, dass zuerst die
einfache Dachform _a b c g e_ und die parallel mit _a c_ von _f_ und
_d_ ausgehenden Linien gezeichnet wurden (_d g_ kleiner als _f c_). Um
die Höhe der einzelnen Absäze zu bestimmen, ist in _k_ eine über _a_
hinausreichende Senkrechte _k z_ errichtet und in die erforderliche
Anzahl von gleichen Teilen geteilt. Durch die Teilungspunkte sind
die Linien _m n_, _o p_ u. s. w. und nach dem Fluchtpunkt der
andern Seite _m i_, _o h_ u. s. w. gezogen. Das Weitere ist aus den
Constructionslinien der Fig. 52 leicht zu ersehen.

[Illustration: Fig. 52.]


§ 57. Die Form eines Mansardendaches Fig. 53 ist stets eine solche,
dass die 4 Seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen
Teiles denselben Neigungswinkel haben. Es muss daher, wenn _A B_ und
_A C_ gegeben sind, von _A C_ ein Teil _A f_ abgeschnitten werden,
welcher perspectivisch = _A B_ ist, so dass die senkrechte Linie, in
welcher die Punkte _k_ und _d_ liegen müssen, über der Mitte eines
Quadrats (_A B p f_) oder über dem Schnittpunkt der Diagonalen _B m_
und _f n_ errichtet werden kann. Nachdem nun _A a_, _a b_, _B b_, _a d_
und _b d_ gezeichnet sind (vergl. § 52, Fig. 47), so werden die von
_a_, _d_ und _k_ parallel mit _A C_ ausgehenden Linien gezogen; _i_
ergibt sich auf die § 53, Fig. 48 gezeigte Weise (nachdem _z_ als Mitte
der Firstlinie bestimmt ist), _e_ durch eine von _i_ abwärts gezogene
Senkrechte, _g_ durch eine Linie von _i_ nach _C_.

[Illustration: Fig. 53.]


§ 58. Der Turmhelm Fig. 54 und 55 ist eine an Bauten des romanischen
Stils häufige Form: die 4 Seiten des quadratischen Turms schliessen
oben mit 4 Giebeln ab, von deren Spizen 4 Linien nach der Turmspize
gehen und so mit den Giebellinien 4 rautenförmige Flächen bilden.
Zunächst müssen die Giebelspizen in gleicher Höhe liegen; angenommen,
dass in Fig. 54 _a b d_ und _a c_ gegeben seien, so können die
senkrechten Ecklinien von _a_ und _b_ nach oben verlängert werden,
bis sie eine parallel mit _a b_ durch _d_ gezogene Wagrechte treffen;
eine Wagrechte von _g_ aus parallel mit _a c_ und eine Senkrechte über
der perspectivischen Mitte von _a c_ ergeben sodann den Punkt _f_,
eine gleichfalls mit _a c_ parallele Linie von _h_ und eine mit _a b_
parallele Linie von _f_ aus den Punkt _e_ (vergl. Fig. 56).

[Illustration: Fig. 54.]

[Illustration: Fig. 55.]

In Fig. 55 ist die Stellung des Turmes eine solche, dass nur eine der
oberen 4 Flächen und keine der Umrisslinien des dritten Giebelfeldes
zu sehen ist. Die Höhe des zweiten Giebels ist hier dadurch gefunden,
dass, nachdem _a c f_ und die Linie _a b_ gezeichnet waren, von _f_
eine mit _a b_ parallele Wagrechte bis zur senkrechten Mittellinie des
ganzen Turmes, d. h. bis _o_ und von hier eine mit _a c_ parallele
Linie bis zu der in der Mitte von _a b_ errichteten Senkrechten gezogen
wurde, wodurch _d_ als Spize des rechtseitigen Giebels gegeben ist.

[Illustration: Fig. 56.]

So könnte auch in Fig. 54 statt der oben angewendeten Construction
von _d_ eine mit _a c_ parallele Wagrechte nach der senkrechten
Mittellinie, durch den so gewonnenen Punkt _o_ eine mit _a b_ parallele
Linie und hierauf _b e_ perspectivisch parallel mit _a f_ gezogen
werden (vergl. Fig. 56).

Ferner muss, damit _a i_ eine gerade Linie, _a d i f_ eine Fläche sei,
_a d_ und _a f_ = _d i_ und _f i_ sein; _a d f_ und _i d f_ sind in
Wirklichkeit 2 einander gleiche Dreiecke, _o i_ muss daher = _k o_
sein. Oder kann zu demselben Zweck die senkrechte Mittellinie eines
Giebelfeldes z. B. _m f_ benüzt werden: _f p_ wird = _m f_ gemacht und
eine mit _a b_ parallele Linie von _p_ nach der senkrechten Mittellinie
des ganzen Turmes gezogen.


§ 59. Soll ein viereckiges Türmchen an beliebiger Stelle auf ein
Giebeldach gesezt werden, wie in Fig. 57, so geht die Construction am
besten von der mit _a b_ parallelen Linie _c d_ aus, deren Länge nach
Gutdünken bestimmt wird. Man errichtet über _c_ und _d_ 2 Senkrechte,
bildet mit denselben ein Rechteck _m n o p_ und zieht aus _n_ durch den
Halbierungspunkt von _m o_ eine Linie, welche in _f_ die verlängerte
_o p_ trifft und damit die Breite der ganzen Seite angibt. Für die
perspectivische Breite der anstossenden Seite _p g e c_ sind, wenn sie
genau berechnet werden soll, die im folgenden Abschnitt enthaltenen
Regeln über die Construction des Quadrats massgebend.

[Illustration: Fig. 57.]

In Fig. 58 ist ein ähnliches Türmchen auf die Mitte eines Giebeldaches
gesezt. Ist wie hier die Grundfläche ein Quadrat, d. h. _a b_ = _b c_,
so ist wie bei Fig. 46 zu verfahren, nachdem von _i_, der Mitte der
Firstlinie, die Linien _i a_, _i b_ und _i c_ gezogen sind. Ist _a b_
länger als _b c_ oder umgekehrt, so schneide man von der Mitte der
Firstlinie aus 2 perspectivisch gleich grosse Teile _i d_ und _i e_
entsprechend der gewünschten Grösse des oberen Türmchens ab, ziehe von
_d_ und _e_ 2 schräge Linien parallel mit den Seitenlinien des Dachs
abwärts und verfahre wie bei Fig. 57.

[Illustration: Fig. 58.]

In Fig. 59 ist zuerst der Turmaufsaz über _a b g h_ wie oben mittels
der Linien _d a_, _d b_ und _d c_ construiert (vergl. Fig. 55, 56 und
57), die Punkte _f_ und _e_ ergeben sich sodann durch die senkrechten
Mittellinien der beiden Seiten des Turmaufsazes.

[Illustration: Fig. 59.]


§ 60. Fig. 60 ist zuerst geradlinig wie Fig. 47 construiert, wodurch
die für die perspectivische Schweifung der Ecklinien wichtigen Punkte
_n_, _m_ und _k_ gewonnen werden.

[Illustration: Fig. 60.]

In Fig. 61 ist zuerst _a b c d_ gezeichnet, sodann (vergl. Fig. 45) die
Lage der Punkte _k m n_ bestimmt, von welchen die geschweiften Linien
ausgehen, ferner die Lage der 3 Punkte, an welchen sie ihre stärkste
Ausladung haben. Diese Punkte liegen ebenso wie _k m n_ in 2 mit _a b_
und _b c_ parallelen Linien und ergeben sich, je nachdem die Ausladung
eine stärkere oder schwächere ist, durch Verlängerung der senkrechten
Ecklinien, wie _x y z_ oder dadurch, dass von andern in gleicher
Höhe liegenden Punkten der Linien _a d_, _b d_, _c d_, oder ihrer
Verlängerung, z. B. von _e_, _f_ und _g_, 3 Senkrechte und zwischen
diesen in entsprechender Höhe 2 mit _a b_ und _b c_ parallele Wagrechte
wie _o h_ und _o i_ gezogen werden.

[Illustration: Fig. 61.]


§ 61. In Fig. 62 ist schliesslich gezeigt, wie auf Grund der bisher
angewandten Constructionslinien vorspringende Dächer zu zeichnen sind.

[Illustration: Fig. 62.]

Nachdem _A_ als vordere Ecke des Daches angenommen wurde, sind die mit
_a b_, _b c_, _a c_ und _a t_[6] parallelen Linien _A B_, _B C_, _A C_
und _A D_ gezeichnet. _C d_ und _e f_ sind parallel mit _A D_, _m n_
und _o p_ mit _A C_. _z y_ ist geometrisch = _B b_, aber entfernter,
muss also entsprechend kleiner sein als _B b_. Selbstverständlich wird
die Mitte der Giebelseiten bezeichnet durch die von _b_ und _h_ abwärts
gezogenen Senkrechten und dürfen hiezu nicht die Punkte _B_ und _g_
benüzt werden.

    [6]: Statt des bei _k_ und _D_ stehenden Buchstaben _b_ ist ein _t_
    zu sezen.



IV. Die perspectivischen Grössenverhältnisse.


Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben.

§ 62. Wir sind in § 22 ausgegangen von dem wichtigsten Gesez in Betreff
der perspectivischen Grössenverhältnisse, wonach jeder Gegenstand im
Verhältnis seiner Entfernung vom Auge kleiner zu werden scheint. Ferner
wissen wir aus § 8, dass wir es nur mit der perspectivischen Grösse
solcher Linien zu thun haben, deren geometrisches Grössenverhältnis zu
andern Linien ein symmetrisches, regelmässiges und notwendiges ist.

Es lassen sich in dieser Beziehung 3 Fälle unterscheiden: 1)
Parallellinien, welche in Wirklichkeit gleich lang sind, aber
verschiedene Entfernung vom Auge haben (in verschiedener Tiefe sich
befinden), wie z. B. in Fig. 62 die senkrechten Umrisslinien der
3 grösseren Fenster. 2) Verkürzte Linien, auf welchen sich gleich
grosse Masse wiederholen, oder welche nach bestimmten symmetrischen
Verhältnissen geteilt sind, wie die Linie _i k_ Fig. 62, wenn die
Fenster in Wirklichkeit gleiche Breite und gleiche Abstände haben.
3) Verkürzte Linien, welche zu einer nicht parallelen Linie in einem
bestimmten Grössenverhältnisse stehen, wie die Seiten eines verkürzten
Quadrats oder die Teile der Linie _i s_ Fig. 62, wenn die Fenster und
Zwischenräume in Wirklichkeit auf beiden Seiten gleiche Breite haben.


Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe.

§ 63. Die Berechnung der perspectivischen Länge paralleler Linien,
welche geometrisch gleich gross sind, aber in ungleicher Tiefe liegen,
geschieht nach dem § 1 angeführten Geseze, dass parallele Linien,
welche zwischen 2 gleichfalls parallelen Linien liegen, gleich lang
sind.

Mehrfache Beispiele sind schon in den vorangegangenen Figuren
enthalten, z. B. in Fig. 20 sind _i k_ und _c d_, _g h_ und _a b_
perspectivisch gleich lang (stellen Linien dar, welche geometrisch
gleich lang sind), weil sie als unverkürzte Wagrechte unter sich
parallel sind und die Linien _a P_ und _b P_, _c P_ und _d P_, zwischen
welchen sie liegen, gleichfalls perspectivisch parallel sind, vergl.
die gleich langen Linien _a i_, _b g_, _k e_ und _f h_, oder _a e_
und _c d_ in Fig. 36, ähnliche Linien in Fig. 40 und 41 und andere.
Soll in Fig. 62 die Linie _r x_ massgebend sein für die Höhe der
übrigen Fenster, so werden durch _r_ und _x_ 2 Linien parallel mit
den wagrechten Linien dieser Seite bis zu der senkrechten Ecklinie
gezogen und von lezterer aus auf der andern Seite parallel mit _a c_
fortgesezt, wodurch sämtliche zwischen diesen Parallelen liegende
senkrechte perspectivisch gleich lang sind.


§ 64. In Fig. 63 sei die Aufgabe gestellt, die Höhe der Figur _a b_ auf
die in derselben wagrechten Fläche liegenden Punkte _c_, _e_ und _g_ zu
übertragen oder auf den leztgenannten Punkten Figuren von gleicher Höhe
mit _a b_ zu zeichnen. Ziehen wir von _a_ durch _c_ eine Linie nach dem
Horizont, und nach dem Punkte _x_, wo sie denselben trifft, eine zweite
von _b_ aus, so sind alle senkrechten Linien, welche zwischen den 2
Parallellinien _a x_ und _b x_ liegen, perspectivisch gleich hoch.
Eine Linie von _a_ durch _e_ oder von _g_ durch _a_ nach dem Horizont
würde diesen in 2 weit ausserhalb der Zeichenfläche liegenden Punkten
treffen. Man benüzt daher 2 von _a_ und _b_ nach einem beliebigen Punkt
des Horizonts gezogene Linien, z. B. _a x_ und _b x_, zieht von _e_
eine unverkürzte Wagrechte nach _i_ und errichtet dort die Senkrechte
_i k_, welche somit in gleicher Tiefe mit _e_ steht und mittels
einer unverkürzten Wagrechten von _k_ aus auf die gewünschte Stelle
übertragen werden kann. Da eine von _g_ aus nach der verlängerten _x a_
gezogene Wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche
erreichen würde, so ist ein Punkt _y_ wie oben benüzt, von _g_ eine
Wagrechte nach der verlängerten _y a_, d. h. nach _m_ gezogen, _m n_ =
_a b_ gemacht und ist somit auch _g h_ = _a b_.

[Illustration: Fig. 63.]

Liegt der Horizont in gleicher Höhe mit dem oberen Ende einer
senkrechten Linie, z. B. in der Scheitelhöhe einer menschlichen Figur,
so ist die Höhe aller gleich grossen senkrechten Linien oder anderer
Figuren, welche in derselben wagrechten Fläche stehen, durch die
Horizontlinie gegeben, vgl. Fig. 64.

[Illustration: Fig. 64.]


§ 65. In Fig. 65 sei _A B_ gegeben und sollen 2 weitere Figuren in _f_
und _g_, d. h. in 2 Punkten gezeichnet werden, welche in gleicher Höhe
und gleicher Tiefe mit den Punkten _a_ und _e_ liegen. Zu diesem Zweck
sind die durch _a_ und _e_ gehenden Senkrechten verlängert bis zu der
wagrechten Fläche, auf welcher _A B_ steht, also bis _o_ und _p_, und
ist auf die oben beschriebene Weise _o c_ = _A B_ gemacht. Die Höhe
_o c_ kann nun mit dem Zirkel nach _a d_ und von hier mittels einer
Wagrechten nach _f k_ übertragen werden. _e p_ ist = _o c_ = _e b_,
somit ist auch _g h_ = _A B_.

[Illustration: Fig. 65.]


§ 66. In Fig. 66 ist angenommen, dass _A B_ als Höhe einer in _A_
stehenden Figur gegeben sei und der Punkt _C_, in welchem eine zweite
Figur stehen soll, um 3 Stufen tiefer liege, als die obere Fläche. Man
errichte eine Senkrechte in _g_, mache _i g_ = 3 mal _g e_, d. h. =
_a g_, und _i p_ = _a b_, d. h. = _A B_, ziehe _i P_ und _p P_, eine
Wagrechte von _C_ nach _m_ und errichte eine Senkrechte in _m_ bis
_p P_, so ist _m n_ und folglich auch _C D_ = _A B_.

[Illustration: Fig. 66.]

Wäre die Höhe _A B_ auf eine der beiden andern Stufen oder auf irgend
einen Punkt der Fläche, in welcher _g_ liegt, zu übertragen, so würde
man bei _b d_, _d f_ und _f h_ = _g e_, _e c_ und _c a_ machen, so dass
_g h_, _e f_ und _c d_ je = _a b_ = _A B_ wären und könnte hierauf jede
dieser Senkrechten auf einen beliebigen Punkt der Fläche, in welcher
ihr unteres Ende liegen soll, wie oben übertragen werden.


§ 67. In Fig. 67 ist die mit _a b_ gleiche Höhe einer in _c_
stehenden Figur berechnet, indem von _c_ abwärts eine mit _d f_ und
_g h_ parallele schräge Linie bis _i_, d. h. bis zu der wagrechten
Ebene, in welcher _a_ liegt, gezogen, die Höhe _a b_ nach _i k_ und
hierauf mittels der weiteren schrägen Parallellinien _k e_ nach _c_
übertragen wurde. In einem derartigen Falle ist vorauszusezen, dass der
Fluchtpunkt oder das Massdreieck einer in der betreffenden schrägen
Fläche liegenden schrägen Linie, wie hier _g m h_, bekannt sei. Ein
ähnliches Beispiel zeigt Fig. 35: Die Höhe _g i_ ist zuerst mittels
_g n_ und _i n_ nach _f_ übertragen, wo die wagrechte Fläche beginnt,
in welcher eine zweite Figur stehen soll. Die Höhe der lezteren ergibt
sich sodann durch _f P_ und _e P_.

[Illustration: Fig. 67.]

Die perspectivische Grösse von Figuren oder irgend welchen Linien,
welche auf unregelmässigem Terrain in verschiedener Tiefe sich
wiederholen, kann nicht genau berechnet werden.


§ 68. Wie auf dieselbe oder ähnliche Weise ~wagrechte~ Parallellinien
von gleicher Länge in verschiedener Tiefe zu zeichnen sind, ist in Fig.
68--70 gezeigt.

Es sei die Aufgabe gestellt, 2 Rechtecke von gleicher Grösse und in
gleicher Stellung wie _A B C D_, Fig. 68, zu zeichnen, so, dass die
linke vordere Ecke des einen in _E_, die des andern in _e_ liegt.
Zieht man von _E_ eine unverkürzte Wagrechte nach _r_, so ist _r s_ =
_A B_ und kann mit dem Zirkel von _E_ nach _F_ übertragen werden. Die
Richtung der verkürzten Seiten ist durch _P_ gegeben, ihre Länge durch
eine Linie von _E_ nach _z_, dem Fluchtpunkt der Diagonale _A C_ und
folglich auch der mit _A C_ parallelen _E G_. Ebenso kann _e f_ = _a b_
gemacht und die Länge _f g_ durch die Diagonale _e g_ bestimmt werden.

[Illustration: Fig. 68.]

Wären die Fluchtpunkte beider Diagonalen des gegebenen Rechtecks
_A B C D_ unzugänglich, so könnten _A B_, _E F_ und _e f_ halbiert
werden, um _y_ als Fluchtpunkt von _o C_ wie oben _z_ behufs Berechnung
der Länge _F G_ und _f g_ zu benüzen. _e h_ könnte auch = _F G_ gemacht
werden mittels einer von _F_ durch _e_ nach dem Horizont und einer
zweiten von _G_ nach _y_ gezogenen Linie. Sollte auf diesem Wege die
Länge _E H_ = _B C_ bestimmt werden, so müsste, da eine Linie von _B_
durch _E_ den Horizont ausserhalb der Zeichnung trifft, eine näher bei
_E_ liegende Linie, z. B. _m n_ = _B C_ gezeichnet werden, um _m E y_
und _n H y_ ziehen zu können.


§ 69. In Fig. 69 ist von _a_ aus ein Rechteck = _E F G H_ gezeichnet,
indem von _E_ eine Linie durch _a_ nach dem Horizont gezogen und
hierauf die Lage von _b_, _c_ und _d_ durch die Linien _F P_, _G P_,
_H P_ und die nach den betreffenden Fluchtpunkten gezogenen _a b_,
_b c_, _a d_ bestimmt wurde. Wäre statt _a_ der Punkt _A_ als vordere
Ecke des zweiten Rechtecks gegeben, welcher in gleicher Tiefe mit _E_
liegt, so könnte man von _E_, _F_, _G_ und _H_ unverkürzte Wagrechte
nach links ziehen, in welchen auch die Punkte _B_, _C_ und _D_ liegen
müssen und hierauf die Lage der lezteren ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte
dadurch näher bestimmen, dass man nach einem beliebigen Punkt des
Horizonts, z. B. nach _P_, Linien von _E_, _F_, _G_, _H_ und _A_ zieht,
und hierauf _f g_ = _i k_, _f C_ = _i G_, _f e_ = _i h_ macht u. s. w.
Ebenso ist _m n_ = _x y_, _n o_ = _y a_ u. s. w.

[Illustration: Fig. 69.]

Wäre _A B C D_ und der Punkt _a_ gegeben, somit der Fluchtpunkt einer
von _A_ durch _a_ gezogenen Linie unzugänglich, so könnte auf die
zulezt angegebene Weise das erstere Rechteck leicht soweit als nötig
zur Seite gerückt werden, wie oben die Linie _B C_, Fig. 68 nach _m n_.


§ 70. Aus dem Vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen
Fällen bequemes Mittel, die Richtung verkürzter Parallellinien, deren
Fluchtpunkt unzugänglich ist, zu berechnen. Wenn in Fig. 70 _E_ die
vordere Ecke eines Rechtecks = _A B C D_ sein soll und wie oben eine
Wagrechte durch _A_ sowie die Linien _A E z_, _B z_, _C z_ und _D z_
gezogen sind, so bilde man mit einer aus einem beliebigen Punkt des
Horizonts z. B. aus _y_ durch _B_ gezogenen Linie ein Dreieck _a c B_
und ziehe _c z_. _b d_ ist nun = _a c_, eine Linie von _d_ nach _y_
macht _b F_ = _a B_, somit sind die Dreiecke _a c B_ und _b d F_ oder
_A a B_ und _E b F_ einander gleich und ist _E F_ perspectivisch gleich
gross und parallel mit _A B_. Die Lage der Ecke _G_ ist durch _C z_ und
die Diagonale _E y_ gegeben, könnte aber gleichfalls dadurch berechnet
werden, dass auf die angegebene Weise _F h g_ = _B f e_ gemacht und
eine unverkürzte Wagrechte von _h_ nach _G_ gezogen würde. Um _K_ zu
erhalten, ist schliesslich _D m_ gezogen, durch _m z_ _G n_ = _C m_
gemacht, und durch eine Wagrechte von _n_ nach _D z_ der Punkt _K_
bestimmt.

[Illustration: Fig. 70.]

Da sowohl Richtung als Länge einer schrägen Linie durch die senkrechte
und wagrechte Linie ihres Massdreiecks gegeben ist, so gilt das
Gesagte auch für verkürzte gleich grosse ~schräge~ Parallellinien in
verschiedener Tiefe.


Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen.

§ 71. Die einfachste und häufigste Art einer solchen Teilung ist die
Halbierung mittels der Diagonalen eines Rechtecks, dessen eine Seite
die zu halbierende Linie bildet. Die vorangehenden Figuren, z. B.
38--41, bieten hievon mehrfache Beispiele. Ebenso von der Verdopplung
einer Linie: in Fig. 48 z. B. ist, nachdem _E h_ gegeben, die zweite
Hälfte _h F_ = _E h_ gemacht mittels eines Rechtecks _E h e c_ und
einer Linie aus _c_ durch die Mitte von _e h_ nach _F_.

[Illustration: Fig. 71.]

Soll in Fig. 71 die Länge _e f_ auf der Fortsezung dieser Linie
wiederholt werden, so bilde man mit _e f_ ein beliebiges Rechteck
_e f b a_, ziehe von _a_ eine Linie durch die Mitte von _b f_ nach _g_,
von _b_ durch die Mitte von _c g_ nach _h_ u. s. w. Auf dieselbe Weise
ist in Fig. 72 die Länge _a b_ nach _c_ u. s. w. übertragen. In Fig. 71
ergibt sich _f n_ als Hälfte von _e f_, wenn _m_ (vom Schnittpunkt der
Diagonalen _a f_ und _e b_ aus) als Hälfte von _a b_ bestimmt und von
da eine Linie durch _d_ gezogen wird.

[Illustration: Fig. 72.]

In der Mitte des Rechtecks _a b c d_ Fig. 73 kann ein Fenster
gezeichnet werden, indem die senkrechte Mittellinie _e f_ gezogen,
_m n o p_ als nähere Hälfte angenommen und _n z_ durch die Mitte von
_m p_ gezogen wird, vgl. die beigefügte geometrische Figur.

[Illustration: Fig. 73.]

Soll auf der Linie _B P_ Fig. 68 von _b_ aus ein Stück = _B C_
abgeschnitten werden, so bilde man ein Rechteck _C b a D_, ziehe _D b_
und _C a_ und durch _i_ eine Linie von _A_ nach _c_.


§ 72. Die Teilung einer verkürzten Linie in eine grössere Anzahl von
Teilen, welche in einem bestimmten geometrischen Verhältnis zu einander
stehen, geschieht gewöhnlich zufolge dem Geseze, dass in einem Dreieck
Linien, welche parallel mit einer Seite zwischen den beiden andern
gezogen werden, auf lezteren Teile von gleichem Verhältnis ergeben.

[Illustration: Fig. 74.]

In Fig. 74 ist z. B. die Linie _a b_ so geteilt, dass _a d_ und _e f_
gleich gross und je die Hälfte von _d e_ und _f b_ sind. Zieht man nun
von _f_, _e_ und _d_ Linien parallel mit _b c_ nach _a c_, so erhält
man auf lezterer Linie Teile von demselben Verhältnis. Ist die Aufgabe
gestellt, die Linie _D C_ Fig. 75 so zu teilen, dass die Fenster je
halb so gross als die Zwischenräume sein sollen, so wird durch _D_
eine unverkürzte Wagrechte gezogen, mit dem Zirkel, nachdem _D a_ als
erster Teil beliebig angenommen ist, _a b_ = 2 mal _D a_, _b c_ = _D a_
u. s. w. gemacht und eine Linie von _f_, dem Endpunkt des letzten
Teilabschnitts, durch _C_ nach dem Horizont gezogen, worauf die Linien
_a p_, _b p_, _c p_ u. s. w. auf _D C_ die gewünschten Verhältnisse
ergeben.

[Illustration: Fig. 75.]

Statt auf _D f_ könnten die Teile auch auf einer höher gelegenen Linie,
z. B. von _m_ aus in der Weise angetragen werden, dass eine Linie von
_m_ durch _D_ nach dem Horizont, eine zweite von _p_ durch _C_ nach _n_
gezogen und _m n_ mit dem Zirkel nach den gewünschten Verhältnissen
geteilt würde.

Auch in Fig. 72 könnte auf diese Weise die perspectivische Weite der
Zwischenräume berechnet werden, wie auf der Linie _a d_ angedeutet ist.

Dasselbe Verfahren ist in Fig. 42 angewandt, um die verkürzte schräge
Linie _b d_ in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen und so die
perspectivische Höhe der Stufen zu bemessen, mit dem Unterschied, dass
die senkrechte Linie _b e_ hier die Stelle der unverkürzten Wagrechten
in Fig. 75 vertritt.


§ 73. Ein anderes Verfahren ist das folgende: Wenn in Fig. 73 das
Rechteck _a b c d_ gegeben ist und die Breite eines in der Mitte davon
zu zeichnenden Fensters 1/5 der Linie _a d_ betragen soll, so wird
_a b_ in 5 gleiche Teile geteilt und die Diagonale _a c_ oder _b d_
gezogen. Zieht man nun von _g_ und _h_ Linien parallel mit _a d_
und _b c_, so erhält man da, wo dieselben die Diagonalen schneiden,
die Punkte, welche die Breite des Fensters bestimmen, vergl. die
geometrische Figur. Auch die perspectivische Breite der Fenster und der
Zwischenräume in Fig. 75 könnte dadurch bestimmt werden, dass _A D_
mit dem Zirkel in 9 gleiche Teile geteilt würde (vorausgesezt, dass
das oben angegebene Verhältnis massgebend sein soll). Die Punkte, in
welchen die von 1, 3, 4, 6 und 7 aus gezogenen Parallelen die Diagonale
_D B_ schneiden, ergeben, wie die Figur zeigt, dasselbe Verhältnis wie
die obige Berechnung.


Perspectivisches Grössenverhältnis nicht paralleler Linien.

§ 74. Wenn wir uns von unserem Auge eine Linie nach dem Augpunkt und
2 andere nach den beiden Diagonalpunkten (§ 18) gezogen denken, so
entstehen 2 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Denn eine Linie
vom Auge nach dem Augpunkt steht zum Horizont in einem rechten Winkel
und die Entfernung der Diagonalpunkte vom Augpunkt ist gleich der
Entfernung des Auges vom Augpunkt. Wenn in Fig. 76 _D_ unser Auge, _P_
der Augpunkt ist, so sind _Dp_ und _Dg_ Diagonalpunkte.

[Illustration: Fig. 76.]

~Die beiden Linien vom Auge nach den Diagonalpunkten~ -- _D Dp_ und
_D Dg_ -- ~stehen zum Horizont in einem halben rechten Winkel~, wie die
Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, vergl. _a b c d_. Steht
eine Linie unseres Gegenstands in einem halben rechten Winkel zu einer
unverkürzten Wagrechten, so steht sie auch zum Horizont in einem halben
rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer Linie von unserem Auge
nach einem der beiden Diagonalpunkte und dieser muss ihr Fluchtpunkt
sein. ~Die Diagonalpunkte sind also die Fluchtpunkte aller wagrechten
Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten in einem halben rechten
Winkel stehen.~

Umgekehrt, ~jede Linie des Bildes, deren Fluchtpunkt ein Diagonalpunkt
ist, stellt eine Linie dar, welche zum Horizont und zu den unverkürzten
Wagrechten derselben Zeichnung in einem halben rechten Winkel steht~.

Ist also in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _A P_ = _P Dg_, so ist _Dg_
ein Diagonalpunkt und stellt _A C_ eine Linie dar, welche in einem
halben rechten Winkel zu _A B_ steht; die Linie _B C_, welche ihren
Fluchtpunkt im Augpunkt hat, ist demnach eine rechtwinklig zu
_A B_ stehende Linie und _A B C_ ist die perspectivische Form eines
gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks = _a b c_ Fig. 76. _B C_ Fig.
77 ist = _A B_, wie in Fig. 76 _b c_ = _a b_ ist.

[Illustration: Fig. 77.]


§ 75. Demgemäss kann die Länge einer unverkürzten Wagrechten auf
eine rechtwinklig zu ihr stehende, d. h. nach dem Augpunkt gehende
Wagrechte übertragen werden, indem entweder von einem Endpunkt der
gegebenen unverkürzten Wagrechten eine Linie nach einem der beiden
Diagonalpunkte gezogen wird, welche die nach dem Augpunkt gehende Linie
schneidet: _B C_ Fig. 77 wird = _A B_ gemacht durch eine Linie von _A_
nach _Dg_, welche die Linie _B P_ in _C_ schneidet; oder indem man
eine Linie von einem Diagonalpunkte durch einen Endpunkt der gegebenen
unverkürzten nach der verkürzten Wagrechten zieht: so wird _E A_ =
_C E_ mittels einer Linie von _Dg_ durch _C_ nach _A_. _A B C E_ ist
somit die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats.

Ebenso kann die Länge einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf eine
anstossende unverkürzte Wagrechte übertragen werden: durch _Dg C A_
wird _A B_ = _B C_, durch _A C Dg_ wird _C E_ = _A E_ gemacht.


§ 76. Ist in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _P A_, so ist _D_/2 die
Hälfte, _D_/3 ein Drittel, _D_/4 ein Viertel der Distanz. Ebenso ist
_B a_ die Hälfte, _B b_ oder _B e_ ein Drittel und _B c_ ein Viertel
von _A B_. Ziehen wir, statt von _A_ nach _Dg_, eine Linie von _a_ nach
_D_/2 oder von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, so wird von der
aus _B_ nach _P_ gehenden Linie dieselbe Länge _B C_ abgeschnitten;
gehen wir von der verkürzten Linie _B C_ aus, so erhalten wir durch
eine aus _D_/2, _D_/3 oder _D_/4 durch _C_ gezogene Linie auf der durch
_B_ gehenden Wagrechten die Hälfte, ein Drittel oder ein Viertel von
_B C_.

Da ein Diagonalpunkt stets ausserhalb der Zeichnung liegt, so bedarf
man eines Ersazmittels, welches durch jene Teilpunkte gegeben ist:
soll _B C_ = _A B_ gemacht werden, so zieht man eine Linie von _a_
nach _D_/2, von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, soll _A B_ =
_B C_ gemacht werden, so erhält man durch eine Linie von _D_/2 nach
_a_, _D_/3 nach _b_ u. s. w. zunächst die Hälfte, ein Drittel oder
Viertel von _A B_ und kann hienach mit dem Zirkel die ganze Länge _A B_
leicht ergänzt werden. Statt der Linie _b D_/3 könnte auch eine Linie
von _e_ nach dem rechts vom Augpunkt liegenden Drittel der Distanz
gezogen werden, sowie man statt der rechtsseitigen Punkte _D_/2 und
_D_/4 die entsprechenden Teilpunkte links vom Augpunkt benüzen und
mittels derselben rechts von _B_ die Hälfte oder ein Viertel von _A B_
abschneiden könnte.


§ 77. Hienach ist es leicht, auch einer nach einem Distanzpunkt
gehenden Linie jedes beliebige Grössenverhältnis zu einer anstossenden
unverkürzten Wagrechten zu geben oder umgekehrt. Wird z. B. in Fig.
77 die Senkrechte _B F_ = _A B_ gemacht, so ist das Dreieck _A B F_ =
_A B C_ (da auch _B C_ = _A B_ ist); _A C_ ist = _A F_ = _A g_; _A f_
ist = _A d_ = _A n_, _A h_ = _A i_. Es kann also ein beliebiger Teil
der Linie _A z_ mit dem Zirkel auf _A F_ oder ihre Verlängerung und von
hier mittels einer Senkrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden
Linie auf die Linie _A Dg_ übertragen werden.

Soll die Länge der nach einem Distanzpunkt gehenden Linie _A C_ auf die
durch _A_ gezogene Wagrechte übertragen werden, so zieht man eine Linie
von _P_ durch _C_ nach _B_, eine Senkrechte _B F_ = _A B_ und macht
mit dem Zirkel _A g_ = _A F_ = _A C_.

Das unverkürzte Dreieck kann natürlich ebensowohl oberhalb als
unterhalb der Linie _A B_ gebildet werden. Um z. B. _A o_ auf _A B_
zu übertragen, kann _P o g_ gezogen, die Senkrechte _g p_ = _A g_
errichtet und _A z_ = _A p_ gemacht werden.

[Illustration: Fig. 78.]

Oder sei in Fig. 78 _A B_ die zuerst gegebene Linie, _D_/2 die Hälfte,
_D_/3 ein Drittel der Distanz. _B e_ ist die Hälfte, _B d_ ein Drittel
von _A B_; somit wird _B C_ = _A B_ mittels einer Linie von _D_/2 durch
_e_, oder von _D_/3 durch _d_. _B f_ ist = _A B_, also ist _A B f_ =
_A B C_; _A f_ ist = _A C_; _A h_ ist = _A B_, also erhält man auf
_A C_ den Teil _A i_ = _A B_, indem man eine Senkrechte von _h_ nach
_A B_, und durch den Punkt, in welchem sie _A B_ trifft, eine Linie von
_P_ aus zieht.


§ 78. Mit Hilfe desselben Verfahrens kann nun das perspectivische
Grössenverhältnis jeder verkürzten wagrechten Linie zu einer
andern bemessen werden. Nehmen wir an, dass in Fig. 79 _D_/2 als
Hälfte der Distanz, die perspectivische Richtung der (nicht nach
einem Diagonalpunkt gehenden) Linien _A B_ und _A C_, sowie die
perspectivische Länge _A B_ gegeben und die Aufgabe gestellt sei,
leztere auf _A C_ zu übertragen, so wird durch _A_ eine unverkürzte
Wagrechte und nach dieser aus dem Augpunkt eine Linie durch _B_
gezogen. _B b_ steht somit rechtwinklig zu _A b_; da _D_/2 die Hälfte
der Distanz ist, so ist _b f_ = die Hälfte von _B b_; _b c_ ist = 2
mal _b f_, also = _B b_, folglich ist _A c_ = _A B_. Hierauf ist durch
einen beliebigen Punkt _o_ der zweiten Linie gleichfalls eine Linie aus
_P_ und aus _D_/2 gezogen und hiedurch gefunden, dass _o n_ = _m n_ (=
2 mal _n p_) ist; _A d_ wird nun = _A c_ gemacht und schliesslich eine
Senkrechte von _d_ nach _a_ und eine Linie von hier nach _P_ gezogen,
wodurch sich die Länge _A C_ = _A B_ ergibt.

[Illustration: Fig. 79.]

Wäre _A F_ statt _A B_ als Mass gegeben, so dass eine von _D_/2 durch
_F_ gezogene Linie die durch _A_ gehende Wagrechte nicht mehr innerhalb
der Zeichenfläche treffen würde, so können 2 Senkrechte _A g_ und _F h_
bis zum Horizont und die Diagonalen _F g_ und _A h_ gezogen und kann
von ihrem Schnittpunkt aus durch eine Senkrechte der perspectivische
Halbierungspunkt von _A F_ gefunden werden, um auf dem angegebenen
Wege zunächst die Hälfte von _A F_ auf die Linie _A a_ zu bringen. Ist
angenommen, dass die beiden verkürzten Linien einen rechten Winkel
darstellen, so wird auf kürzerem Wege _A C_ = _A B_ gemacht, indem mit
dem Winkel (Fig. 9) _A d_ = _A c_ rechtwinklig zu _A c_ gezeichnet und
hierauf _d a_ und _a P_ gezogen wird.

[Illustration: Fig. 80.]

In Fig. 80 sind die Wagrechten _A B_ und _A C_, deren Richtung von
_A_ aus gegeben ist, = der in gleicher Fläche liegenden _E F_ gemacht.
Zu diesem Zweck ist zunächst _A G_ = _E F_ gemacht mittels einer Linie
von _F_ durch _A_ nach _z_ und einer zweiten von _z_ nach _E_ und ist
hierauf von _P_ eine Linie nach einem beliebigen Punkte _b_ der Linie
_A B_ gezogen. _D_/2 sei die Hälfte der Distanz; also ist _a c_ = 2 mal
_a n_, _a b_ = 2 mal _a m_, das wagrechte Dreieck _A a c_ ist somit =
dem senkrechten _A a e_, _A a b_ ist = _A a g_ (_a e_ = 2 mal _a n_,
_a g_ = 2 mal _a m_). Nachdem nun _A f_ und _A h_ = _A G_ gemacht sind,
werden die Senkrechten _f m_ und _h i_ gezogen und ergeben die von _P_
nach _m_ und durch _i_ nach _B_ gezogenen Linien die Länge _A C_ und
_A B_ = _A G_ = _E F_.

[Illustration: Fig. 81.]

Fig. 81 zeigt die Anwendung des Vorangegangenen auf eine geöffnete
Thüre. Es ist angenommen, dass die Länge _A B_ und die Richtung _A D_
gegeben, die Richtung _D E_ beliebig und die Breite der Thüre = _A C_
sein soll. In beliebiger Richtung ist aus _P_ nach der durch _A_
gehenden Wagrechten die Linie _a b_ gezogen, welche, wenn _D_/3 ein
Drittel der Distanz darstellt, = 3 mal _b c_, also = _b d_ ist; _A e_
ist = _A C_, somit ist auch _A D_ = _A C_. Nun ist eine Wagrechte durch
_D_ gezogen und in gleicher Weise zuerst an beliebiger Stelle ein
Dreieck _D m i_ = _D g i_ construiert (_i m_ = 3 mal _i h_), um sodann
_D n_ = _D F_, _D E_ = _D n_ zu machen; _D F_ ist = _A C_, somit ist
_E D_ ebenfalls = _A C_.


§ 79. Kann die Länge einer verkürzten auf eine unverkürzte Wagrechte
übertragen werden und umgekehrt, so ist damit auch das Mittel
gegeben, eine bestimmte Grösse von einer ~Senkrechten~ oder einer
~unverkürzten schrägen~ Linie auf eine verkürzte Wagrechte zu
übertragen und umgekehrt, vgl. Fig. 81, wo die Linien _A D_ und _E D_
= der Senkrechten _A C_ gemacht wurden, oder Fig. 78, wo _A C_ = der
unverkürzten schrägen Linie _A f_ und = der Senkrechten _A g_ ist.

[Illustration: Fig. 82.]

Die Berechnung der perspectivischen Länge einer ~verkürzten schrägen~
Linie ist in Fig. 82 und 83 gezeigt. In beiden Beispielen ist die
Richtung der Linien _c e_ und _b c_, sowie die Länge _b c_ als gegeben
angenommen und soll _c e_ = _b c_ gemacht werden. Es ist zunächst die
Länge _b c_ auf die durch _b_ gehende Wagrechte zu übertragen. In Fig.
82 geht _b c_ nach dem Augpunkt, folglich ist _b g_ die Hälfte von
_b c_. Die von _c_ ausgehende schräge Linie ist bis zu einer in _b_
errichteten Senkrechten verlängert, _b i_ ist = 2 mal _b g_, d. h. =
_b c_, somit ist das Dreieck _b i h_ = _b h c_; _i m_ ist = _b i_ =
_b c_; zieht man eine unverkürzte Wagrechte von _m_ nach _n_ und von
_n_ eine mit _b c_ parallele Linie nach _P_, so ist _c e_ = _i m_ =
_b c_. Eine Senkrechte von _e_ nach _o_, eine Wagrechte von _o_ nach
_k_ und eine Senkrechte von _k_ nach _f_ ergeben _f d_ als die mit
_c e_ parallele Seite.

[Illustration: Fig. 83.]

In Fig. 83 ist zuerst eine Linie von _P_ durch _c_ nach _o_ gezogen;
_c o_ ist = 2 mal _o g_ = _x z_, _x y_ ist = _o b_; folglich ist das
Dreieck _b o c_ = _x y z_ und _b c_ ist = _y z_ = _b i_, das Dreieck
_b i h_ ist = _b h c_ u. s. w.

Ist statt _c e_ die Richtung der Linie _c k_ gegeben und soll auf
leztere die Länge _c b_ übertragen werden, so kann _c p_ = _c b_
gemacht (vgl. Fig. 68) und links von _p s_ ein unverkürztes Dreieck =
_c p s_ gebildet werden; oder kann, wenn der Raum dies nicht gestattet,
_s h_ parallel mit _b p_ gezogen, der Punkt _n_ wie oben bestimmt und
von hier aus mittels _n k_ die schräge Linie _c k_ = _b c_ gemacht
werden.

Eine andere Lösung der Aufgabe wäre die Construction eines Halbkreises
über _b p_, indem alle von diesem nach _c_ gezogenen Linien = _b c_
sein würden.


Das Quadrat in gerader Stellung.

§ 80. Die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats
in gerader Stellung ist gegeben durch den Augpunkt, welcher die
Richtung der beiden verkürzten Seiten bestimmt (§ 32) und durch die
Diagonalpunkte, welche Fluchtpunkte der beiden Diagonalen sind und
hiemit das perspectivische Grössenverhältnis der Seiten zu einander
angeben (§ 74); die Ausführung ist aus § 74--75 und aus Fig. 77--78
ersichtlich.

Auch in diesem Fall kommt es hauptsächlich darauf an, dass die
Entfernung des betreffenden Diagonalpunkts vom Auge, welche
gleichbedeutend ist mit der Distanz, nicht zu klein angenommen werde
(§ 34). Die Folge wäre, dass die verkürzten Seiten zu lang erscheinen
würden im Verhältnis zu den unverkürzten. _E F B D_ Fig. 84 kann
ebensowohl ein Quadrat darstellen, als _E F G H_; der Unterschied ist
nur, dass die leztere Form einen näheren Standpunkt voraussezt als die
erstere. Sobald wir aber die Linie _G H_ näher nach dem Horizont hin
rücken, z. B. nach _m n_, so erscheinen die beiden verkürzten Seiten
länger als die unverkürzten. Denn _P D_/2 ist = _P F_ und 2 mal
_P F_ ist in diesem Fall die kleinste Distanz, welche angenommen werden
kann.

[Illustration: Fig. 84.]

~Es ist daher im allgemeinen darauf zu achten, dass bei der
besprochenen Stellung des Quadrats der Punkt, in welchem eine Linie von
der Mitte der unverkürzten Vorderseite durch eine gegenüberliegende
Ecke nach dem Horizont~ (_A G_ oder _A H_, Fig. 84) ~diesen trifft,
wenigstens ebenso weit vom Augpunkt entfernt sein muss, als dieser von
der entferntesten Ecke des Bildes.~


Das Quadrat in schräger Stellung.

§ 81. Ist die Stellung des Quadrats eine solche, dass die eine
Diagonale eine unverkürzte Wagrechte ist, so steht die andere
rechtwinklig zum Horizont, hat also ihren Fluchtpunkt im Augpunkt und
die Seiten haben dieselbe Stellung, welche im vorhergehenden Fall die
Diagonalen hatten, ihre Fluchtpunkte sind die beiden Diagonalpunkte, s.
Fig. 77. Ist _A D_ in Fig. 84 als erste Seite eines solchen Quadrats
gezeichnet, also angenommen, dass der Fluchtpunkt von _A D_ ein
Diagonalpunkt sei, so ergibt sich _B_ dadurch, dass eine unverkürzte
Wagrechte von _D_ nach rechts, eine Linie von _A_ nach _P_ gezogen und
hierauf _k B_ = _D k_ gemacht wird, der Punkt _C_ durch _P D E_, _A E_
und eine Linie aus _E_ durch die Mitte von _D k_ nach _A P_. Oder man
bildet das einschliessende Quadrat in gerader Stellung und bestimmt in
diesem die Halbierungspunkte der Seiten.


§ 82. Wie die geometrisch gezeichneten Quadrate _a b c d_ und
_e f g h_, Fig. 84 zeigen, entstehen, wenn durch Verbindung der
Halbierungspunkte _a b c d_ ein kleineres Quadrat innerhalb des
grösseren gebildet wird, zwischen beiden 4 gleichschenklige
rechtwinklige Dreiecke von gleicher Grösse: _a f b_, _b g c_ u. s. w.
Wird eine Quadratseite in zwei ungleiche Teile geteilt und dieselbe
Teilung auf den 3 andern Seiten wiederholt, wie in Fig. 85 (_a f_ =
_b g_ = _c h_ = _d e_ und folglich _a e_ = _d h_ u. s. w.), so bilden
die Verbindungslinien der 4 Teilungspunkte, hier _a_, _b_, _c_ und _d_,
gleichfalls ein Quadrat und entstehen wieder 4 rechtwinklige Dreiecke
von gleicher Form und Grösse (_a f b_, _b g c_ u. s. w.) mit dem
Unterschiede, dass dieselben nicht gleichschenklig sind. Zieht man aus
_a_ und _c_ 2 Linien parallel mit _f g_, aus _d_ und _b_ zwei weitere
parallel mit _e f_ je nach der gegenüberliegenden Seite des äusseren
Quadrats, so ist _e m_ = _a f_, _m f_ ist = _a e_ und dieselben
Verhältnisse ergeben sich auf allen 4 Seiten.

[Illustration: Fig. 85.]

Ist nun ein verkürztes Quadrat in gerader Stellung z. B. _E F G H_
Fig. 85, gegeben und in demselben ein Punkt _A_ als vordere Ecke eines
inneren Quadrats, dessen Ecken die Seiten des äusseren berühren sollen,
so wird man _F M_ = _A E_ machen, _M P_ und _A P_ sowie eine Diagonale
des äusseren Quadrats und durch die Schnittpunkte _y_ und _z_ oder _i_
und _k_ zwei Wagrechte ziehen, wodurch sich die Lage der Punkte _B_,
_D_ und _C_ ergibt.


§ 83. Ist _A B_ als Seite eines Quadrats und zweimal _P F_ als Distanz
angenommen, so zieht man eine Wagrechte durch _A_ und eine Linie aus
_P_ durch _B_ nach _F_. Eine Linie aus _D_/3 durch _B_ ergibt _F p_
als ein Drittel von _B F_, _F M_ ist = 3 mal _F p_, also ist _F M_ =
_B F_. Wird nun _A E_ = _F M_ gemacht, so kann _E P_ gezogen und das
äussere Quadrat _E F G H_ entweder durch Verlängerung der Diagonale des
Quadrats _M F B z_ oder durch eine Linie aus _D_/3, nach _s_, d. h. dem
Drittel von _F E_ gebildet werden, worauf man wie oben verfährt.

Oder kann man, nachdem _P F_ gezogen, _F M_ = _B F_ und _A E_ = _F M_
gemacht ist, _E P_ und eine Linie von _D_/3 nach _m_, d. h. einem
Drittel von _A F_ ziehen, wodurch das Quadrat _A F n y_ entsteht. Die
verlängerte _n y_ ergibt den Punkt _D_, die verlängerte Diagonale
_F y_ den Punkt _H_, von wo aus eine Wagrechte die Linie _M P_ in _C_
schneidet.

Die Quadrate _A F n y_ oder _E M k D_, durch welche der Punkt _D_
gegeben ist, lassen sich auch ohne die zweite von _D_/3 nach _s_
gezogene Linie durch Verlängerung der Diagonale _F z_ und die von _A_
und _M_ nach _P_ gezogenen Linien bilden.


§ 84. Die Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens kann überhaupt
eine mannigfaltige sein. Wäre statt _A B_ die Linie _A D_ als erste
Seite gegeben, so würde man mittels einer von _D_/3 durch _D_ gezogenen
Linie auf der nach links verlängerten _A E_ ein Drittel von _A D_
erhalten oder zieht man eine Linie aus _D_/3 durch _y_, wo sich _A P_
und die von _D_ nach rechts gehende Wagrechte schneiden, nach _o_, um
_A o_ oder _E o_ als ein Drittel von _E D_ zu bestimmen und somit _E M_
= _E D_ zu erhalten. Hierauf wird _A F_ = _E M_ gemacht und mit der
verlängerten Diagonale des Quadrats _E M k D_, welche von _F P_ in _G_
geschnitten wird, das grössere Quadrat gebildet.

[Illustration: Fig. 86.]

Fig. 86 zeigt dasselbe Verfahren mit etwas veränderter Stellung des
inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal _P A_ angenommen, also ist
_B r_ ein Viertel von _B F_; _B m_ ist = 4 mal _B r_, also = _B F_,
folglich ist das verkürzte Dreieck _E B F_ = dem unverkürzten _E B f_.
_A H_ ist = 4 mal _A a_ = _A m_ und = _A h_, folglich ist _A H E_ =
_A h E_ und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei
wagrechten Quadrate nach Grösse und Winkelstellung durch die Linien
der senkrecht sich anschliessenden Quadrate _A B c d_ und _E f g h_
geometrisch wiedergegeben sind.


§ 85. Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen
Form eines rechten Winkels in schräger Stellung gegeben, auf welche in
§ 33 verwiesen wurde.

Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels
verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z.
B. in Fig. 86 von _E_ aus eine zu _E F_ rechtwinklige Linie gezeichnet
werden soll, so genügt hiezu eine Linie von _D_/4 durch _F_, wonach
_E A_ = 4 mal _B r_, d. h. = _B F_ zu machen ist, eine zweite Linie
von _A_ nach _P_ und eine dritte von _D_/4, nach _a_, indem _A a_ ein
Viertel von _E B_ und somit _A H_ = _E B_ ist. Ist _E H_ gegeben und
soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde
man das Rechteck _H A E y_, mache _E B_ = _A H_ (= 4 mal _A a_), ziehe
_B P_ und eine Linie von _D_/4 nach _r_. Da _B r_ ein Viertel von _A E_
ist, so ist hiemit _F B_ = _A E_. Welcher Weg im einzelnen Fall der
bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für
die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger Übung leicht erkennen.

Bei der Construction ~senkrecht stehender verkürzter Quadrate~ handelt
es sich nur um die Übertragung eines gegebenen Masses von einer
senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber
in § 74--78 das Nötige angegeben ist; ebenso ist aus § 78 zu ersehen,
wie ein verkürztes ~schräges Quadrat~ zu zeichnen wäre; doch kommt die
leztere Aufgabe seltener vor.


Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks.

§ 86. Wenn man in Fig. 87, nachdem _g h i k_ gegeben ist, von _b_ aus
die mit _g h_ und _h i_ parallelen _b f_ und _b e_ zieht, oder wenn
man 4 Punkte der Diagonalen _g i_ und _h k_ durch Linien verbindet,
welche mit den Seiten parallel sind, so entsteht bei _A_ wiederum ein
Quadrat _f b e k_ oder _a b c d_, bei _B_ ein Rechteck _f b e k_ oder
_a b c d_, dessen Seitenpaare dasselbe Verhältnis von 2 : 3 haben,
wie _g h_ und _h i_. Wie auf die gleiche Weise aus einem kleineren
ein grösseres Quadrat oder Rechteck durch Verlängerung der Diagonale
gemacht werden kann, ist hienach leicht zu verstehen.

[Illustration: Fig. 87.]

Aber während in _A_ die Linien des inneren Quadrats _a b c d_ überall
gleich weit von _g h i k_ entfernt sind, ist dies bei den Rechtecken
_a b c d_ und _g h i k_ in _B_ nicht der Fall: der Zwischenraum
zwischen den kürzeren Seiten ist grösser, als zwischen den längeren.
Soll auf einem Wege, der auch bei verkürzter Stellung des Rechtecks
anwendbar wäre, innerhalb _g h i k_ ein (paralleles) Rechteck
gezeichnet werden, so dass die Seiten beider überall gleiche Entfernung
von einander haben, so muss auf einer längeren Seite z. B. auf _g h_
ein Teil = der Länge der kürzeren Seite abgeschnitten, also z. B. _g n_
= _g k_ gemacht und so ein Quadrat _g n m k_ gebildet werden, um dessen
Diagonalen zu dem genannten Zwecke zu benüzen. Soll _f g_ die Breite
des Zwischenraums sein, so wird von _f_ eine mit _g h_ parallele Linie
gezogen, welche die Diagonale _g m_ in _o_ schneidet und hiemit den
Punkt _p_ ergibt. Zieht man nun von _m_ durch den Schnittpunkt der
Diagonalen _g i_ und _h k_ eine Linie nach _s_, so ist _g s_ = _n h_,
_s h_ = _g n_ = _h i_; _s i_ ist somit die Diagonale eines Quadrats =
_g n m k_, und können die Punkte _y_ und _z_ durch die mit _k i_ und
_i h_ parallelen Linien bestimmt werden.


§ 87. Die Construction der verkürzten Quadrate und Rechtecke in Fig.
88 und 89 ist hiemit gegeben. In Fig. 89 dient dieselbe dazu, die 4
Tischbeine an die richtige Stelle zu sezen. Fig. 90 stellt in grösserem
Massstab die Verjüngung der Tischbeine nach unten dar.

[Illustration: Fig. 88.]

[Illustration: Fig. 89.]

[Illustration: Fig. 90.]

Fig. 91 zeigt einen Stuhl ohne Lehne. Der Siz bildet ein Quadrat, die
Punkte _a b c d_, von welchen die Stuhlbeine ausgehen, ergeben sich
daher durch die Diagonalen wie in Fig. 87 _A_ und Fig. 88. Da sie nach
auswärts stehen, so ist senkrecht unter _a b c d_ das Quadrat _e f g h_
gebildet und mittels seiner Diagonalen vergrössert.

[Illustration: Fig. 91.]

Stühle mit Lehnen sind gewöhnlich so geformt, dass der Siz hinten
schmäler ist als vorn. Man kann deshalb, wenn beispielsweise _a b_ Fig.
92 die Vorderseite des Sizes sein soll, zunächst ein Quadrat _a b c d_
bilden, um sodann die Lage der geometrisch gleichweit von _c_ und _d_
entfernten Punkte _e_ und _f_ entweder auf früher beschriebene Weise
oder nach dem Augenmass (_e c_ kleiner als _d f_) zu bestimmen. Für die
Punkte, von welchen die Füsse ausgehen, sind nun die Diagonalen _a e_
und _b f_ massgebend.

[Illustration: Fig. 92.]



V. Verkürzte Kreise, Achtecke und Sechsecke. Gewölbeformen.


Der Kreis in verkürzter Stellung.

§ 88. Die Berechnung der perspectivischen Form eines verkürzten Kreises
kann nur darin bestehen, dass gewisse Punkte desselben gewonnen
werden, mit deren Hilfe es leichter ist, die Kreislinie aus freier
Hand zu zeichnen. Die zu diesem Zweck geeignetsten Punkte sind die
Halbierungspunkte der Seiten eines den Kreis einschliessenden Quadrats
und ferner die Punkte der Diagonalen in lezterem, welche von der
Kreislinie durchschnitten werden, vgl. die geometrische Zeichnung von
Quadrat und Kreis in Fig. 93.

Gewöhnlich kann man sich eines Quadrats in gerader Ansicht bedienen.
Die Halbierungspunkte der Seiten, _a_, _b_, _c_ und _d_ Fig. 93, erhält
man mittels einer unverkürzten Wagrechten und einer nach dem Augpunkt
gehenden Linie, welche durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen
werden. Ein geübter Zeichner wird sich für gewöhnlich mit diesen 4
Hilfspunkten begnügen können.

[Illustration: Fig. 93.]

Um die Punkte der Diagonalen, welche der Kreis durchschneiden muss,
_m_, _n_, _o_ und _p_ Fig. 93, zu erhalten, wird über oder unter einer
der unverkürzten Seiten oder der unverkürzten Mittellinie, also mit
_A B_, _C D_ oder _b d_, ein senkrecht stehendes Rechteck halb so hoch
als breit, z. B. _A B F E_ oder _C D G H_ gebildet und in diesem ein
Halbkreis beschrieben. In Fig. 93 werden diese Halbkreise von den
Diagonalen _a E_ und _a F_ oder _c G_ und _c H_ in _g_ und _h_, _y_
und _x_ durchschnitten. Zieht man nun die Senkrechten _g i_ und _h k_
oder _y z_ und _x s_ und 2 Linien von _P_ nach _i_ und _k_ oder durch
_s_ und _z_, so ergeben sich auf den Diagonalen des verkürzten Quadrats
die gesuchten Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_. Es genügt auch nur eine der
Linien nach dem Augpunkt zu ziehen, z. B. _i P_, um durch 2 unverkürzte
Wagrechte von _m_ und _p_ aus die Punkte _n_ und _o_ zu erhalten.


§ 89. Ein anderes Verfahren beruht darauf, dass die Entfernung der
Punkte _i_ und _k_ Fig. 93 von _a_, der Mitte der Linie _A B_, ebenso
gross ist, als die Diagonale eines Quadrats, dessen Seiten je = ein
Viertel von _A B_ sind. _A f_ ist ein Viertel von _A B_. Wird also
_A e_ = _A f_ gemacht, so kann die Länge _e f_ von _a_ aus nach _i_ und
_k_ übertragen und so die Lage dieser beiden Punkte und der Punkte _m_,
_n_, _o_, _p_ bestimmt werden.


§ 90. In Fig. 94 ist gezeigt, wie mittels derselben Hilfspunkte ein
Kreis innerhalb eines Quadrats in schräger Ansicht gezeichnet werden
kann. Nachdem in _A B C D_ die Diagonalen und Halbierungslinien
gezeichnet sind, ist eine Linie aus _P_ durch _B_ nach der durch _A_
gehenden Wagrechten gezogen und _A b_ ebenso geteilt, wie _A B_ in Fig.
93. Statt abwärts von _A_ aus ist hier seitwärts das Dreieck _b g f_
gebildet, in welchem _b g_ und _g f_ je = ein Viertel von _A b_ sind;
_a i_ und _a k_ werden = _b f_ gemacht und dieselben Verhältnisse
mittels _i P_ und _k P_ auf die Linie _A B_ übertragen.

[Illustration: Fig. 94.]

Aus § 72 Fig. 72 und 75 erhellt, dass man statt _P_ auch einen
beliebigen andern Punkt des Horizonts benüzen könnte, um von demselben
eine Linie durch _B_ nach der Linie _A g_ zu ziehen und sodann wie oben
weiter zu verfahren.

Statt durch _A_ könnte man auch durch _C_ eine Wagrechte und von _D_
eine Linie nach _P_ ziehen, um auf dieselbe Weise wie oben die Punkte
_e_ und _c_, _m_ und _n_ zu bestimmen.

Aus Fig. 94 ist zugleich die Anwendung der beiden in § 88 und 89
angegebenen Berechnungsweisen auf einen ~senkrecht~ stehenden Kreis
zu ersehen. Es ist klar, dass hiebei die zwei senkrechten Seiten des
Quadrats an Stelle der unverkürzten wagrechten treten und dass die
Linien _A E_, _B F_, _i g_, _h k_ der Fig. 93 jezt als Wagrechte
gezeichnet werden müssen. Das Übrige ergibt sich deutlich genug aus den
Linien der Fig. 94.


Parallele und concentrische Kreise.

§ 91. Fig. 95 zeigt 2 in gleicher Höhe stehende parallele Kreise.
Der eine ist von dem Quadrat _a b c d_, der andere von _e f g h_
umschlossen. Die Schnittpunkte der Diagonalen _a c_ und _b d_, _e g_
und _f h_ ergeben die beiden Mittelpunkte _y_ und _z_; die Punkte
_o_, _p_, _i_, _k_ sind auf die oben angegebene Weise bestimmt, die
entsprechenden 4 Punkte auf _e g_ und _f h_ durch Linien, welche
parallel mit _a e_ und _b f_ von _k_, _o_, _p_, _i_ nach links gezogen
sind.

[Illustration: Fig. 95.]


§ 92. In Fig. 96 soll, nachdem der Kreis _A B C D_ gegeben ist, durch
_a_ ein Kreis mit dem gemeinschaftlichen Mittelpunkt _i_, sodann durch
_F_ ein mit _A B C_ paralleler Halbkreis gezeichnet werden. Zunächst
wird _C c_ = _A a_ gemacht, sodann das Quadrat des inneren Kreises
gebildet, indem man durch _a_ und _c_ Linien nach dem Augpunkt zieht
und die Punkte _m_ und _n_, _o_ und _p_, in welchen hiedurch die
Diagonalen des grösseren Kreises geschnitten werden, durch 2 Wagrechte
verbindet. Die Halbierungspunkte der Seiten dieses kleineren Quadrats
sind _a b c d_. Die Punkte der Diagonalen, durch welche der innere
Kreis geht, können auf die § 88--89 angegebene Weise bestimmt werden,
doch sind sie, wenn der Massstab der Zeichnung kein sehr grosser ist,
entbehrlich, nachdem die Linie des äusseren Kreises gezeichnet ist.

[Illustration: Fig. 96.]

Um den unteren Halbkreis zu zeichnen, wird die durch _F_ gehende _E G_
mittels _h E_ und _k G_ = _h k_ gemacht und das Quadrat _E G g e_
gebildet, womit für den unteren Kreis ausser _F_ die Punkte _s_, _r_
und _f_ gegeben sind. Die Punkte der Diagonalen _E g_ und _G e_, welche
er durchschneiden muss, ergeben sich durch die von _m_, _n_, _o_, _p_
abwärts gezogenen Senkrechten.


Teilung eines verkürzten Kreises.

§ 92. In Fig. 96 ist zugleich gezeigt, wie diese Kreise in eine
beliebige Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden können: mit dem
Halbmesser _F G_ ist von _F_ oder von _H_ aus ein Halbkreis gebildet,
der mit dem Zirkel auf die gewünschte Weise, hier in 8 Teile, geteilt
wird. Hierauf sind von den Teilungspunkten senkrechte Linien bis _E G_
und von da Linien parallel mit _E e_ und _G g_, d. h. nach _P_ bis zur
Linie des unteren Halbkreises gezogen. Das Weitere ist aus der Figur
ersichtlich, vgl. die Teilung eines verkürzten Kreises in 8 oder 6
Teile, Fig. 100--104.


Verkürzte Achtecke.

§ 93. Wie Fig. 97 zeigt, entsteht ein Achteck, wenn dieselben 8
Punkte, welche zur Darstellung des Kreises dienten, durch gerade
Linien verbunden werden, nämlich die Halbierungspunkte der Seiten
eines Quadrats und die Punkte seiner Diagonalen, welche von einem
in demselben beschriebenen Kreis durchschnitten werden. Die
perspectivische Form eines verkürzten Achtecks, welches die in Fig. 97
angenommene Stellung zu den Seiten eines gegebenen Quadrats hat, bedarf
also keiner weiteren Erklärung.

[Illustration: Fig. 97.]

Etwas Anderes ist es, wenn ein Quadrat oder eine Seite eines Quadrats
gegeben ist, in welchem ein Achteck wie _a b c d e f g h_ in _A B C D_
Fig. 98 gezeichnet werden soll, d. h. so, dass sämtliche 8 Ecken in den
4 Seiten des Quadrats liegen. Die geometrische Construction würde darin
bestehen, dass die 4 von _i_, dem Mittelpunkte des gegebenen Quadrats,
nach den Halbierungspunkten der Seiten gehenden Linien über diese
hinaus um soviel verlängert würden, dass jede die Länge einer halben
Diagonale des Quadrats hätte, also _i m_, _i n_, _i o_ und _i p_ je =
_i A_ wären. Durch Verbindung der Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ entsteht
ein zweites dem ersten gleiches Quadrat und die Verbindungslinien der
Punkte _b_ und _c_, _d_ und _e_, _f_ und _g_, _h_ und _a_ ergeben das
Achteck.

[Illustration: Fig. 98.]

Ist nun das verkürzte Quadrat _A B C D_ Fig. 99 gegeben, so kann eine
der unverkürzten Seiten z. B. _C D_ benüzt werden, um mit einer Hälfte
derselben ein gleichschenkliges Dreieck _C E F_ zu bilden. Wird hierauf
_E k_ = _E F_ gemacht, so ist das äussere Quadrat _H G K L_ leicht
zu bilden: eine Linie von _P_ durch _k_ schneidet die verlängerten
Diagonalen _A C_ und _D B_ in _H_ und _G_ und 2 unverkürzte Wagrechte
von hier aus ergeben die Punkte _L_ und _K_. Hiermit sind auch die
Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ und die Seiten des Achtecks gegeben.

[Illustration: Fig. 99.]

Oder könnte auch die Länge _E F_ von _C_ nach _f_ und von _D_ nach _e_
getragen werden -- denn aus Fig. 98 ist ersichtlich, dass _C f_ oder
_D e_ = _C i_ sind -- um hierauf die weiteren Constructionslinien teils
parallel mit den Diagonalen, teils parallel mit den Seiten des Quadrats
_A B C D_ zu ziehen.

Wäre statt des Quadrats _A B C D_ _a b_ als Seite eines zu zeichnenden
Achtecks gegeben, so würde man mit der Hälfte derselben ein
gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _b z y_ bilden, _b B_ und
_a A_ = _y b_ machen und hierauf das Quadrat _A B C D_ construieren, um
wie oben zu verfahren; vgl. die geometrische Zeichnung Fig. 98.[7]

    [7]: Fig. 99 ist insofern ungenau, als _b B_ und _a A_ etwas
    kleiner sind als _y b_. Der Fehler wurde zu spät bemerkt und ist so
    geringfügig, dass es genügen dürfte, hiedurch darauf aufmerksam zu
    machen.


§ 94. Fig. 100 zeigt die Construction eines Achtecks, wenn ein solches
anschliessend an die Seiten eines Quadrats in schräger Ansicht
gezeichnet werden soll.

[Illustration: Fig. 100.]

Angenommen, es sei das Quadrat _A B C D_ gegeben, so ziehe man eine
unverkürzte Wagrechte durch _A_ und eine Linie von _P_ durch _B_ nach
_E_. Die perspectivischen Verhältnisse, in welche _A B_ zu teilen ist,
können nun auf _A E_ geometrisch angegeben und durch Linien, welche
mit _E B_ parallel sind, auf _A B_ übertragen werden (vgl. Fig. 72
und 75). Man bildet entsprechend Fig. 98 mit der Hälfte von _A E_ ein
gleichschenkliges Dreieck _p E y_, macht _A o_ und _E s_ je = _p y_
und zieht von _s_ und _o_ zwei mit _E B_ parallele Linien nach _a_ und
_b_. Zieht man nun von _a_ und von _b_ aus zwei Linien nach _r_, dem
Fluchtpunkte der Diagonale _A C_, zwei weitere parallel mit _A D_ und
_B C_, so erhält man die Punkte _c_, _d_, _e_ und _f_, durch eine Linie
von _r_ durch _f_ den Punkt _g_ und ist schliesslich noch die mit _B D_
und _e d_ parallele Seite _a h_ zu zeichnen.

Der Augpunkt ist übrigens nur zufällig benüzt; es könnte statt
desselben ein beliebiger Punkt des Horizonts gewählt werden.

Nehmen wir an, dass _a b_ Fig. 100 als Seite eines zu zeichnenden
Achtecks gegeben sei, so wäre das Verfahren ein ähnliches wie oben:
von _P_ (oder einem andern Punkte des Horizonts) wird eine Linie nach
der durch _a_ gehenden Wagrechten gezogen, _a n_ in _m_ halbiert, ein
gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _a m t_ gebildet und _n x_
sowie _a z_ je = _m t_ gemacht. Die von _P_ nach _x_ und durch _z_
gezogenen Linien ergeben die Punkte _A_ und _B_, es kann nun mit _A B_
das Quadrat _A B C D_ gebildet werden u. s. w.


§ 95. Es kann auch der Fall eintreten, dass ein verkürzter Kreis
gegeben ist und innerhalb desselben von einem bestimmten Punkte aus ein
Achteck gezeichnet werden soll.

[Illustration: Fig. 101.]

Es sei z. B. die Aufgabe gestellt, in dem verkürzten Kreise _A B C D_
Fig. 101 von dem Punkte _a_ aus ein Achteck zu zeichnen. _o D_ ist =
_D F_ gemacht, mit der Zirkelweite _D F_ von _o_ aus ein Halbkreis
_e D f_ beschrieben und eine Linie von _P_ durch _a_ nach _c_ gezogen;
_o x_ wird rechtwinklig zu _o b_, durch die Mitte von _b x_ der
Halbmesser _o z_ und rechtwinklig zu diesem _o y_ gezogen (vgl. Fig.
97), worauf die Punkte _x y z_ mittels senkrechter Linien nach _E F_
gebracht und von hier durch die aus _m_, _n_ und dem Punkte zwischen
_z_ und _g_ nach _P_ gezogenen Linien auf den Kreis übertragen werden.
Die 4 jenseitigen Punkte sind durch den Mittelpunkt des Kreises,
beziehungsweise den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, gegeben.


Verkürzte Sechsecke.

§ 96. Die geometrische Construction eines Sechsecks besteht darin, dass
ein Kreis in 6 Teile geteilt wird, von welchen jeder die Grösse eines
Halbmessers jenes Kreises hat: man gibt -- Fig. 102 -- dem Zirkel die
Weite eines Halbmessers z. B. _O B_, schneidet von _B_ aus den Kreis
in _C_, von _C_ aus in _D_ u. s. w. und verbindet diese Punkte durch
gerade Linien. Zieht man von den 6 Ecken Linien nach dem Mittelpunkt
_O_, so entstehen 6 gleichseitige Dreiecke; schliesst man das Sechseck
in ein Rechteck, wie _H K M N_ ein, so sind die beiden längeren Seiten
je = 2 Seiten des Sechsecks: _H K_ ist gleich 2 mal _A B_, _H G_ =
_A B_; _H A_, _A G_, _G B_ und _B K_ sind gleich gross. Die kürzeren
Seiten sind je = 2 mal _G O_; _H F_ und _F N_ sind je = _G O_.

[Illustration: Fig. 102.]

Ist nun _a b_ als Seite eines verkürzten Sechsecks, _P_ als Augpunkt
und _D_/3 als Drittel der Distanz gegeben, so wird _b k_ und _a h_ je
= der Hälfte von _a b_ gemacht, ein gleichseitiges Dreieck _a i b_
gebildet (indem von _a_ und _b_ aus 2 Kreise mit der Zirkelweite _a b_
beschrieben werden, welche sich in _i_ schneiden) und _k c_ = _g i_
gemacht durch eine Linie aus _D_/3, nach _y_ (_k y_ = ein Drittel von
_g i_). Hiemit sind das Rechteck _h k m n_ und die weiteren Punkte _d_,
_e_ und _f_ gegeben.


§ 97. In Fig. 103 ist angenommen, dass _h n_ als kürzere Seite des von
unten gesehenen Rechtecks, _P_ als Augpunkt und _D_/2 als halbe Distanz
gegeben sei, in _f_ also eine Ecke des Sechsecks liege. Beschreibt man
von _n_ und von _f_ aus zwei Kreisbögen mit der Zirkelweite _n f_,
so schneiden sich dieselben in _s_ und es entsteht, indem durch _s_
eine rechtwinklig zu _f s_ stehende Linie bis zu den in _f_ und _n_
errichteten Senkrechten gezogen wird, ein gleichseitiges Dreieck,
dessen Mittellinie _s f_ = _f n_ oder = _f h_ ist, dessen Seiten also
(vgl. § 96, Fig. 102) auf die durch _f_ gehende Wagrechte übertragen,
die Länge einer Seite des zu zeichnenden Sechsecks darstellen. _h p_
ist = _f z_; die von _h_ nach _P_ gehende Seite des zu bildenden
Rechtecks muss also = 2 mal _h p_ sein (wie _H K_ Fig. 102 = 2 mal
_A B_ ist), was durch eine Linie von _D_/2 nach _p_ erreicht wird. Ist
so das Verhältnis der Seiten in dem Rechteck _h k m n_ das gleiche,
wie in _H K M N_ Fig. 102, so bleibt nur noch übrig, dasselbe mittels
Diagonalen wie dort in 4 gleiche Teile zu teilen, um die weiteren Ecken
zu erhalten.

[Illustration: Fig. 103.]


§ 98. In Fig. 104 soll von dem Punkte _d_ des Kreises _A B C D_ aus ein
Sechseck gezeichnet werden. Das Quadrat des Kreises ist _E F G H_. Wie
in Fig. 101 ist _E e_ und _F f_ = der Hälfte von _E F_ gemacht und von
_o_ aus ein Halbkreis beschrieben, auf welchem _x_ dem Punkte _d_ des
verkürzten Kreises entspricht (mittels _P d m_ und _m x_). Von _x_ aus
schneidet der Zirkel mit der Weite eines Halbmessers _D o_ oder _x o_
den Halbkreis in _b_, von hier aus in _y_, und diese beiden Punkte
werden auf die mehrfach beschriebene Weise nach _a_ und _c_ übertragen;
Linien aus _d_, _a_ und _c_ durch den Mittelpunkt des Quadrats gezogen,
ergeben die 3 jenseitigen Ecken.

[Illustration: Fig. 104.]


Weitere Beispiele. Rad, Wasserrad, Walze, Cylinder.

§ 99. Fig. 105 zeigt die Anwendung von § 91 Fig. 95 auf 2 durch eine
Achse verbundene Räder. Der Deutlichkeit wegen sind hier sowie in der
folgenden Figur nur die wichtigsten Constructionslinien angegeben, mit
deren Hilfe das Übrige ohne Schwierigkeit, so genau als der malerische
Zweck erfordert, ergänzt werden kann.

[Illustration: Fig. 105.]

In Fig. 106 sind zunächst die 4 Kreise entsprechend Fig. 95 und
96 gezeichnet. Hierauf ist der durch _a b c_ gehende Halbkreis in
5 gleiche Teile geteilt und diese Teilung auf die andere Hälfte
übertragen (vgl. Fig. 101 und 104), indem nach dem Halbkreis _c d a_
Linien von jenen Teilpunkten aus durch den Mittelpunkt gezogen wurden.
Diese Linien ergeben zugleich die Stellung der einzelnen Schaufeln;
die wagrechten Linien der lezteren sind parallel mit _e f_, _g h_ und
_o n_; die Verbindungslinien der Punkte _i_ und _k_, _y_ und _z_ u. s.
w. gehen durch den Mittelpunkt _n_.

[Illustration: Fig. 106.]


§ 100. In Fig. 107 ist der Kreis _a b c d_ als vorderer Durchschnitt
einer wagrecht liegenden Walze angenommen. Da derselbe unverkürzt ist
und die durch _i_ gehende Achse der Walze geometrisch rechtwinklig zu
_d b_ steht, so sind von _d_ und _b_ 2 Linien nach dem Augpunkt gezogen
und dieselben an beliebiger Stelle durch die Wagrechte _h f_ verbunden.
Ein Kreis aus _o_, der Mitte von _h f_, durch _h_ und _f_ beschrieben,
ergibt _e f g h_ als den ferner liegenden Durchschnitt, worauf vom
Augpunkt aus 2 die beiden Kreise berührende Linien (Tangenten) parallel
mit _i o_ als Aussenlinien der Walze gezogen werden.

[Illustration: Fig. 107.]

Um den Cylinder Fig. 108 zu construieren, sind den beiden vorderen
Kreisen entsprechend auf die oben gezeigte Weise die beiden ferneren zu
zeichnen.

[Illustration: Fig. 108.]

Dieselben Formen mit verkürzter Ansicht des Kreises zu zeichnen, bietet
hienach keine Schwierigkeit. Man achte dabei auf die bereits erwähnte
geometrisch rechtwinklige Stellung der Achse und der Seitenlinien zur
Kreisfläche, beziehungsweise zu einem Durchmesser derselben.


Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel.

§ 101. Fig. 109 stellt ein sogenanntes ~Tonnengewölbe~ dar. Dasselbe
hat die Form eines halben Cylinders, welcher in Fig. 109 auf den nach
dem Augpunkt gehenden Linien _a e_ und _b f_ ruht. Die Construction
besteht einfach darin, dass über _a b_ und _e f_ je ein Halbkreis von
den Mittelpunkten _c_ und _d_ aus beschrieben wird. Die Fugenlinien
des Gewölbes gehen teils parallel mit _a e_ und _b f_, teils sind
sie Teile von Halbkreisen, welche mit den beiden ersteren parallel
sind, deren Mittelpunkte somit in der Linie _c d_ liegen. So ist der
Mittelpunkt des Halbkreises _m n p_ da, wo die Wagrechte _m p_ von
_c d_ durchschnitten wird, in _o_. Die Fugenlinien _g h_, _i k_ u. s.
w. haben die Richtung nach _c_, dem Mittelpunkt der beiden durch _k h_
und _i g_ gehenden Halbkreise.

[Illustration: Fig. 109.]


§ 102. Fig. 110 zeigt die Hauptlinien eines von aussen und oben
gesehenen rundbogigen ~Kreuzgewölbes~. _A B C D_ ist ein Quadrat; über
jeder Seite desselben erhebt sich ein Halbkreis, die gegenüberliegenden
Ecken des Quadrats, _A_ und _C_, _B_ und _D_, sind nach oben verbunden
durch 2 elliptische Linien, die sogenannten Diagonalrippen oder
-gurten, welche sich über den Diagonalen _A C_ und _B D_ hinziehen.
Der Scheitelpunkt _n_ des Gewölbes, in welchem die beiden Ellipsen
sich durchschneiden, liegt senkrecht über der Kreuzung der Diagonalen
_A C_ und _B D_, er ist zugleich Schnittpunkt der Diagonalen _E z_ und
_F t_. Es entstehen so 4 ~Gewölbefelder~ oder ~Kappen~, welche je von
einem Halbkreis und 2 Hälften jener Ellipsen begrenzt werden, z. B. von
_A m B_, _A n_ und _B n_, vgl. die innere Ansicht Fig. 111--113.

[Illustration: Fig. 110.]

Bei der perspectivischen Construction einer solchen Gewölbeform handelt
es sich, nachdem über jeder Seite des zu Grunde gelegten Quadrats ein
Halbkreis gezeichnet ist, hauptsächlich um die Bestimmung einiger
weiteren Hilfspunkte ausser dem durch _E z_ und _F t_ gegebenen Punkte
_n_ behufs Darstellung der beiden elliptischen Linien. Die Halbkreise
_A m B_ und _A h D_ werden von 2 Linien, welche man aus _E_ nach der
Mitte von _A B_ und von _A D_ zieht, in _a_ und in _b_ geschnitten.
Diese beiden Punkte liegen in gleicher Höhe; zieht man aus _a_ eine
Linie parallel mit _A D_, also nach dem Augpunkt, und aus _b_ eine
Parallele mit _A B_, d. h. eine unverkürzte Wagrechte, so müssen diese
beiden Linien in dem Punkte _c_ der von _A_ ausgehenden Ellipse _A n C_
zusammentreffen, welcher mit _a_ und _b_ in gleicher Höhe liegt und
kann somit dieser Punkt benuzt werden, um _A c n_ zu zeichnen.

Dem Punkte _a_ entspricht auf der rechten Seite _e_, eine Linie von
hier nach dem Augpunkt und eine Wagrechte aus _c_ schneiden sich in
_d_. Die entsprechenden jenseitigen Punkte der beiden Ellipsen ergeben
sich durch die aus _a_ und _e_ nach dem Augpunkt gehenden Linien und
eine Wagrechte von _g_ nach _f_ oder umgekehrt.


§ 103. Fig. 111 zeigt dieselben Linien von unten und von innen gesehen,
mit dem Unterschied, dass die 2 Seitenkappen geschlossen bis _A D_
und _B D_ herabgehen (wie auch in Fig. 113). Der Fluchtpunkt dieser
und der mit ihnen parallelen Linien ist wiederum der Augpunkt; _A B_,
_C D_ und die beiden Halbkreise sind unverkürzt. Um die beiden
Diagonalgurten zu zeichnen, ist hier ein anderer Weg eingeschlagen. In
Fig. 110 liegen die Punkte _y_ und _x_ in gleicher Höhe mit _a_, _b_
und _f_. Zieht man von _y_ eine mit _A C_ und _E z_ parallele Linie
nach _x_, von _E_ und _z_ 2 Linien nach _p_, so erhält man da, wo die
Linie _y x_ von _E p_ und _z p_ geschnitten wird, gleichfalls die
Punkte _c_ und _s_, welche nun mittels unverkürzter Wagrechter nach _d_
und _r_ übertragen werden können.

[Illustration: Fig. 111.]

In Fig. 111 entspricht das senkrecht stehende von unten gesehene
Rechteck _E A C z_ dem Rechteck _E A C z_ in Fig. 110; auch die übrigen
einander entsprechenden Punkte beider Figuren sind durch dieselben
Buchstaben bezeichnet. Der Halbkreis _A m B_ wird von der Diagonale
_E G_ in _a_ geschnitten. Zieht man von _a_ eine Wagrechte nach _y_ und
von _y_ eine mit _E z_ parallele Linie nach _x_, so erhält man durch
_E p_ und _z p_ die Punkte _c_ und _s_ u. s. w.


§ 104. In Fig. 112 ist von einem beliebigen Punkte _a_ des Halbkreises
_A m B_ eine Senkrechte nach _o_ und von hier eine Linie parallel mit
_E y_ d. h. nach dem Augpunkt gezogen, welche die Diagonalen des
Quadrats _E F z y_ in _i_ und _k_ schneidet. Zieht man nun von _i_ und
_k_ 2 Senkrechte nach der aus _a_ nach dem Augpunkt gehenden Linie, so
erhält man die Punkte _c_ und _r_, vgl. dieselben Punkte in Fig. 110.

[Illustration: Fig. 112.]

Durch eine Wagrechte aus _a_ nach _e_, eine Linie von _e_ nach dem
Augpunkt und 2 Wagrechte aus _c_ und _r_ ergeben sich sodann _d_ und
_s_.

[Illustration: Fig. 113.]

Wenn die seitlichen Kappen, wie in Fig. 113, geschlossen bis auf die
wagrechte Linie herabgehen, auf welcher das Gewölbe ruht, so ist das
leztgenannte Verfahren bequemer als das in § 102 beschriebene. Die
Anwendung desselben auf Fig. 113 ist aus den Constructionslinien zu
ersehen. _A m B_ ist hier nicht ein Halbkreis, sondern ein flacher
Bogen, ein sogenannter Korbbogen. Der obere Teil desselben ist aus dem
senkrecht unter _G_ liegenden Punkte _g_ beschrieben, die Fortsezung
bis _A_ und _B_ kann leicht aus freier Hand ergänzt werden.


§ 105. Ein ~Spizbogen~ wird gebildet durch 2 sich durchschneidende
Bögen, wie _A_, _B_, _C_ Fig. 114 zeigen. In _A_ sind die beiden Bögen
von _a_ und von _b_ aus mit der Zirkelweite _a b_ beschrieben, in
_B_ von den Punkten _m_ und _n_ aus mit der Weite _m c_, in _C_ von
_o_ und _i_ aus mit der Weite _i e_ (_m d_ = _n c_, _o e_ = _i f_).
Die den Spizbogen umgebenden Fugenlinien haben die Richtung nach dem
Mittelpunkte des betreffenden Bogens: in _A_ nach _a_ und _b_, in _B_
nach _m_ und _n_, in _C_ nach _i_ und _o_.

[Illustration: Fig. 114.]

Sind mehrere in einer Flucht liegende Spizbögen in verkürzter Stellung
zu zeichnen, so bilde man das Rechteck eines Spizbogens z. B. _a b c d_
Fig. 115 und ziehe in demselben die senkrechte Mittellinie. Man kann
nun eine der Bogenlinien z. B. _a B_ (leichter als _b B_) aus freier
Hand zeichnen und den Punkt _o_, in welchem sie von der Diagonale _A d_
geschnitten wird, mittels _e f_, _A c_, _g C_ u. s. w. nach _n_, _m_
u. s. w. übertragen, was für gewöhnlich genügen wird. Ist grössere
Genauigkeit erforderlich, so kann mit Hilfe eines Distanzpunktes
anschliessend an _a d_ ein unverkürztes Rechteck _a d z y_ gebildet und
_a h_ als geometrische Form der anstossenden unverkürzten Bogenlinie
gezeichnet werden, worauf der Punkt _i_ nach _e_ und von hier nach _o_,
_n_, _m_ u. s. w. übertragen wird.

[Illustration: Fig. 115.]


§ 106. Als Beispiel eines spizbogigen Kreuzgewölbes ist in Fig. 116
der Deutlichkeit wegen die einfachste Form eines solchen gewählt; es
wird jedoch nicht schwierig sein, das dabei angewandte Verfahren auf
andere Formen, welche sehr mannigfaltiger Art sein können, anzuwenden.
Die Mittelpunkte der Bogen _A m_ und _B m_, _D o_ und _C o_ sind in _a_
und _b_, _e_ und _f_. _A a_ ist ein Viertel von _A B_, _A B C D_ ist
ein Quadrat. _A i_ ist = _A B_; eine Linie von _B_ nach _i_ stellt also
die geometrische Länge der Diagonale _A C_ dar. Es ist nun ein Rechteck
_G H h g_ gebildet, in welchem _G H_ = _B i_ = _A C_ und _G g_ = _A E_
ist; _G H h g_ ist somit die geometrische Form des verkürzten Rechtecks
_A E z C_; der von _g_ nach _h_ führende Bogen ist = der von _A_ nach
_C_ führenden Diagonalrippe. Da _G g_ die Hälfte von _G H_ ist, so
ergibt sich, dass jene Diagonalrippe ein Halbkreis ist. Wird nun _E y_
= _G k_ gemacht, so kann die Lage der Punkte _c_, _s_, _d_ und _r_ wie
bei Fig. 111 bestimmt werden.

[Illustration: Fig. 116.]


§ 107. Fig. 117 zeigt eine von oben gesehene, in 8 Felder geteilte
~Halbkugel~. Der ihren äusseren Umriss bildende Halbkreis ist mit
dem Zirkel vom Mittelpunkt der Linie _A a_ aus beschrieben. Indem
die Linien _A i_ und _a i_ zugleich als Teilungslinien angenommen
wurden, ergeben sich die weiteren Teilpunkte der durch _A_ und _a_
gehenden Kreislinie, nämlich _B_, _C_, _D_, _b_, _c_ und _d_, durch
die Halbierungslinie und Diagonale des jenen Kreis umschliessenden
Quadrats, und es stellt sich der von _C_ durch _i_ nach _c_ führende
Halbkreis als Eine senkrechte Linie dar. Um die verkürzten Halbkreise
_B m o b_ und _D n p d_ zu zeichnen, ist das Quadrat _E F G H_ (_E B_
= der Hälfte von _B D_) senkrecht über _B D b d_ gebildet, in welchem
die auf bekannte Weise bestimmten Punkte _m_, _n_, _o_, _p_ als
Hilfspunkte für jene Halbkreise dienen.

[Illustration: Fig. 117.]


§ 108. In Fig. 118 sei der durch _A B C D_ gehende Kreis und in diesem
der Punkt _B_ gegeben, um von hier aus eine achtseitige eiförmige
~Kuppel~ und darüber eine gleichfalls achtseitige Laterne zu zeichnen.

[Illustration: Fig. 118.]

Die Teilung des Kreises in 8 Teile ist in § 95 Fig. 101 gezeigt. Die
Ausführung in Fig. 118 ist nur insofern verschieden, als hier die
Constructionslinien an die fernere Linie des den Kreis einschliessenden
Quadrats nach unten angefügt sind. Sodann ist entsprechend dem Umfang,
welchen die Laterne haben soll, ein kleinerer Kreis von demselben
Mittelpunkt _y_ aus gezeichnet, welcher durch den von _A_, _B_, _C_,
_D_ nach _y_ gehenden Halbmessern in den Punkten _a b c d_ geschnitten
wird. Die in _a b c d_ errichteten Senkrechten bilden die Ecklinien
der 3 sichtbaren Seiten der Laterne, welche oben und unten durch
Parallelen der Linien _A B_, _B C_ und _C D_ begrenzt sind. Die Linien
_A n_, _B e_, _C o_ und _D m_ treffen in ihrer Verlängerung zusammen
in einem Punkte der senkrechten Mittellinie, hier in _z_, und es ist
zu beachten, dass dieser Punkt bei einer derartigen Kuppelform höher
liegen muss, als der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch _n_, _e_,
_o_, _m_ geht, hier also höher, als _x_.



Weitere Anmerkungen zur Transkription


Offensichtliche Satzfehler und fehlende Auszeichnungen wurden
stillschweigend korrigiert.

Die Abbildungen wurden soweit wie möglich zu den entsprechenden
Paragraphen verschoben.

Die Korrekturliste von S. VIII wurde eingearbeitet, diese Korrekturen
sind hier einzeln aufgeführt.

Der doppelte Paragraph § 92 wurde beibehalten.

Korrekturen:

    Seite V: _Bedürfniss_ -> _Bedürfnis_
      haben dem Verfasser das _Bedürfnis_

    Seite VIII: _paralleller_ -> _paralleler_,
      _Größenverhältniss_ -> _Grössenverhältnis_
      Perspectivisches _Grössenverhältnis_ nicht _paralleler_ Linien

    S. 4: Sachlicher Fehler (nicht korrigiert):
      Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang,

    S. 17: _desto schmaler, je höher wir stehen_ ergänzt
      je tiefer wir stehen, _desto schmaler, je höher wir stehen,_
      desto breiter erscheint uns dieselbe,

    S. 26: _a d_ und _b c_ vertauscht
      da _b c_ ferner liegt als _a d_,

    S. 50: _g_ -> _B_
      und zieht von _B_ durch _p_ eine Linie

    S. 57: _E_ -> _F_
      Oder kann von _F_ eine mit _D E_ parallele

    S. 62: _m d_ -> _n a_
      _d h_ ist = _n a_ gemacht

    S. 72: _b_ -> _B_
      Mitte eines Quadrats (_A B p f_)

    S. 99: die -> der
      so ist _b f_ = _die_ Hälfte von _B b_;

    S. 122: _Atwas_ -> _Etwas_
      Etwas Anderes ist es,

    S. 133: _Coustruction_ -> _Construction_
      Die Construction besteht einfach darin,

    S. 135: _y_ -> _t_
      dem durch _E z_ und _F t_ gegebenen Punkte _n_

    S. 136: _ruht_ nach vorn verschoben
      auf welcher das Gewölbe _ruht_,





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